2.6. ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΠΙΕΣΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ α) Οριζόντιες Επίπεδες Επιφάνειες Η δύναμη πιέσεως F που δέχεται η επιφάνεια Ε είναι dF=pdE και η ολική δύναμη είναι F h E Ελεύθερη επιφάνεια υγρού

Άρα (2.63) Δηλαδή η δύναμη της πιέσεως P είναι ίση με το βάρος στήλης υγρού η οποία έχει βάση τη θεωρούμενη οριζόντια επιφάνεια και ύψος την απόσταση της από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Η διεύθυνση της είναι κάθετη στην επιφάνεια και το σημείο εφαρμογής της συμπίπτει με το κέντρο βάρους Κ της επιφάνειας.

Σχ. 2.7. Υδροστατική πίεση σε κεκλιμένη επιφάνεια β) Κεκλιμένες Επίπεδες Επιφάνειες Έστω η επιφάνεια ΑΒΓΔ η οποία είναι κεκλιμένη κατά τη διεύθυνση ox. Η επιφάνεια αυτή προεκτεινόμενη τέμνει την ελεύθερη επιφάνεια του νερού ox’ κατά γωνία φ στο σημείο Ο. Δηλαδή x’ox=φ. Θεωρούμε μια τυχούσα επιφάνεια Ε της οποίας το κέντρο βάρους είναι άγνωστο και παίρνουμε μια στοιχειώδη λωρίδα αυτής την dE η οποία είναι παράλληλη στον άξονα y. Σχ. 2.7. Υδροστατική πίεση σε κεκλιμένη επιφάνεια

Η δύναμη της υδροστατικής πιέσεως επάνω στη λωρίδα dE είναι: dF= p dE= γ z dE= γ x ημφ dE (2.64) Η ολική δύναμη της πιέσεως επάνω στην επιφάνεια Ε είναι: (2.65) Και επειδή zκ = xκ ημφ η εξίσωση (2.65) γίνεται: F=γ zκ Ε (2.66) Στην εξίσωση (2.65) είναι η στατική ροπή της επιφάνειας Ε ως προς Ψ.

Άρα: Η ένταση της συνισταμένης δυνάμεως υδροστατικών πιέσεων επί κεκλιμένης επιπέδου επιφάνειας Ε ισούται με το γινόμενο του εμβαδού της επιφανείας επί την υδροστατική πίεση (γ zκ) επί του κ.β. αυτής ή αλλιώς ισούται με το βάρος στήλης του υγρού (F=γ zκ Ε =γ V=B) η οποία έχει βάση μεν την επιφάνεια Ε, ύψος δε την κατακόρυφη απόσταση του κ.β. της Ε από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού.

Κέντρο Πιέσεως καλείται το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης δυνάμεως των υδροστατικών πιέσεων. Τούτο όταν η επιφάνεια είναι κεκλιμένη δεν συμπίπτει με το κέντρο βάρους.   Στο σχήμα 2.7. το κέντρο πιέσεως Π απέχει από τον άξονα oy απόσταση (2.67) Όπου iy2 είναι η ακτίνα αδρανείας της επιφάνειας Ε και δίδεται για τις διάφορες επιφάνειες στους πίνακες 2.7.1 έως 2.7.3.

γ) Καμπύλες Επιφάνειες Α’ Περίπτωση Ας θεωρήσουμε την κάθετη τομή μιας καμπύλης επιφάνειας που δίδεται από την καμπύλη ΑΒ. Εξετάζουμε την περίπτωση (α) όταν το υγρό ευρίσκεται μόνο από την επάνω κοίλη πλευρά της καμπύλης. F

Η κατακόρυφη συνιστώσα Fv της P ισούται με το βάρος w του νερού που περιέχεται στον όγκο ΑΒΓΔ ήτοι Η δύναμη Fh ισούται με την δύναμη που εξασκείται από την υδροστατική πίεση επί της κατακορύφου επιφανείας ΕΒ προβολής της ΑΒ. Η (2.69) Η γραμμή ενέργειας της P δίδεται ως προς το οριζόντιο επίπεδο εφθ=Fv/Fh (2.70) F

B’ Περίπτωση: Στην περίπτωση (β) ο όγκος ΑΒΓΔ είναι είτε κενός ή καταλαμβάνεται από στερεό υλικό. Ο υπολογισμός των δυνάμεων των υδροστατικών πιέσεων γίνεται με τις παραπάνω ίδιες εξισώσεις μόνο που οι διευθύνσεις των δυνάμεων είναι αντίθετες. F

Άρα: Η ένταση της κατακόρυφης συνιστώσας δυνάμεως πιέσεων επάνω σε μια πλευρά καμπύλης επιφάνειας ισούται με το γινόμενο του ειδικού βάρους του υγρού επί τον όγκο υπεράνω της καμπύλης επιφάνειας και μέχρι του επιπέδου της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού. (ανεξάρτητα αν ο όγκος αυτός είναι κενός ή καταλαμβάνεται από στερεό υλικό). F

Αρχή του Αρχιμήδη. Συνθήκες Ισορροπίας Σωμάτων Μέσα σε Υγρό Η F1 = γ (όγκος ΑΒΓΖΕ) υδροστατική πίεση F2 = γ (όγκος ΑΔΓΖΕ) υδροστατική πίεση Η καθαρή κατακόρυφη δύναμη υδροστατικών πιέσεων είναι F2 – F1= γ (όγκος ΑΔΓΖΕ - όγκος ΑΒΓΖΕ). Άνωση FA = F2 – F1= γ (όγκος ΑΒΓΔ), όγκος ΑΒΓΔ = όγκος σώματος

Άρα: «κάθε σώμα ευρισκόμενο εντός υγρού δέχεται άνωση ίση με το βάρος του εκτοπισμένου υγρού» Το κέντρο ανώσεως ταυτίζεται με το κέντρο βάρους μόνον όταν το σώμα είναι ομογενές Όταν το σώμα αιωρείται FA=W Όταν το σώμα βυθίζεται FA<W Όταν το σώμα επιπλέει FA>W Στην περίπτωση που το σώμα επιπλέει ο όγκος του σώματος που βρίσκεται μέσα σε ένα υγρό επί το ειδικό βάρος του υγρού ισούται με την άνωση η οποία ισούται με το ολικό βάρος του σώματος. Σχ. 2.10 FA = W = γ (όγκος ΑΒΓΔ)

Να προσδιοριστούν το μέτρο και η κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης πιέσεως, η οποία ενεργεί πάνω σε κυλινδρικό φράγμα διαμέτρου 10 m και μήκους 30 m, όταν το βάθος του νερού ανάντη του φράγματος είναι 7,5 m. Δίνονται: ρνερού­ = 1000 kg/m3, g = 9,81 m/s2

Να προσδιοριστούν το μέγεθος και η διεύθυνση της συνισταμένης δυνάμεως των πιέσεων, η οποία ενεργεί πάνω σε κυλινδρικό φράγμα διαμέτρου 8 m και μήκους 10 m όταν το βάθος του νερού ανάντη του φράγματος είναι 8 m και κατάντη 4 m. Δίνονται: ρνερού­ = 1000 kg/m3, g = 9,81 m/s2