Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 3: Δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (1) Δένδρα: Συνδεδεμένοι άκυκλοι γράφοι Θεώρημα: Ένας γράφος G είναι δένδρο αν και μόνο αν δύο οποιεσδήποτε κορυφές ενώνονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Θεώρημα: Σε ένα δένδρο Τ ισχύει η σχέση: m=n-1 Πόρισμα: Σε κάθε δένδρο υπάρχουν τουλάχιστον δύο εκκρεμείς κορυφές, δηλαδή κορυφές με βαθμό 1. Πόρισμα: Μία μη αύξουσα ακολουθία ακεραίων S: d1,d2,…,dn ανήκει σε ένα δένδρο μόνο αν κάθε di είναι θετικός αριθμός και ισχύει η σχέση: Θεώρημα: Ένας άκυκλος γράφος με n κορυφές και n-1 ακμές είναι συνδεδεμένος. Θεώρημα: Κάθε συνδεδεμένος γράφος με n κορυφές και n-1 ακμές είναι δένδρο. Θεώρημα: Ένας γράφος είναι δένδρο αν είναι συνδεδεμένος κατά ελάχιστο τρόπο. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (2) Ένας γράφος G με n κορυφές είναι δένδρο αν: o G είναι συνδεδεμένος και δεν έχει κύκλους o G είναι συνδεδεμένος και έχει n-1 ακμές o G δεν έχει κύκλους και έχει n-1 ακμές o G είναι συνδεδεμένος κατά ελάχιστο τρόπο αν υπάρχει ακριβώς ένα μονοπάτι μεταξύ δύο οποιωνδήποτε κορυφών του G. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (3) Πόρισμα: Δάσος με n κορυφές και k συνιστώσες έχει n-k ακμές. Θεώρημα: Ένα δένδρο έχει κέντρο που αποτελείται από 1 ή 2 κορυφές Πόρισμα: Αν το κέντρο ενός δένδρου αποτελείται από δύο κορυφές, τότε αυτές είναι γειτονικές. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (4) Κάθε κορυφή του δένδρου χαρακτηρίζεται από την αντίστοιχη εκκεντρότητα. Η ακτίνα του δένδρου είναι 4, ενώ η διάμετρος είναι 7. Όπως φαίνεται, το δένδρο έχει κέντρο αποτελούμενο από δύο γειτονικές κορυφές με εκκεντρικότητα 4. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Απαρίθμηση Δένδρων (1) 1857 Cayley CkH2k+2, # ισομερών Άτομα άνθρακα με κορυφές βαθμού 4 και υδρογόνου με κορυφές βαθμού 1 n=k+2k+2=3k+2 m=½(Σd(v))=½(4k+2k+2)=3k+1 Θεώρημα: Ο αριθμός των διακριτών δένδρων με επιγραφές που έχουν n>=2 κορυφές είναι nn-2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Απαρίθμηση Δένδρων (2) Απόδειξη Cayley: Αριθμούμε τις κορυφές του δένδρου με 1,2,...,n. Βρίσκουμε την εκκρεμή ακμή με τη μικρότερη επιγραφή, έστω a1. Τη διαγράφουμε και θέτουμε b1 τη γειτονική της. Έτσι, μετά από n-2 διαγραφές, το δένδρο εκφυλίζεται σε πλευρά. Το δένδρο ορίζεται κατά μοναδικό τρόπο από την ακολουθία b1, b2, ..., bn-2, όπου 1≤ bi≤n-2 και 1≤ i≤n-2=> nn-2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Απαρίθμηση Δένδρων (3) Θεώρημα: Έστω ότι το άθροισμα των θετικών ακεραίων d1,d2,…,dn (όπου n>=2) είναι 2n-2. Το πλήθος των δένδρων με n κόμβους, όπου οι βαθμοί των κόμβων είναι d1,d2,…,dn, ισούται με: Μέθοδος ανακατασκευής δένδρου από ακολουθία επιγραφών, όπως στην απόδειξη του Cayley: Έστω ότι n=8 και b=4,3,5,3,4,5. Αρχικά αναζητείται ο μικρότερος αριθμός από το διάστημα [1,8], που δεν εμφανίζεται στην ακολουθία b. Ο αριθμός αυτός είναι ο a1=1. Έτσι προσδιορίζεται η ακμή (a1, b1)=(1,4). Με τον ίδιο τρόπο προσδιορίζονται οι ακμές (a2, b2)=(2,3), (a3, b3)=(6,5), (a4, b4)=(7,3), (a5, b5)=(3,4) και (a6, b6)=(4,5). ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Απαρίθμηση Δένδρων (4) Θεώρημα: Ο αριθμός των διακριτών ριζωμένων δένδρων με επιγραφές που έχει n κορυφές είναι nn-1. Απόδειξη: Σε ένα ριζωμένο δένδρο με επιγραφές ένας κόμβος ορίζεται ως η ρίζα. Για κάθε ένα λοιπόν από τα nn-2 διακριτά δένδρα με επιγραφές παράγονται n διαφορετικά ριζωμένα δένδρα, επειδή οποιαδήποτε κορυφή μπορεί να είναι ρίζα. Τελικά πόσα είναι τα ισομερή του CkH2k+2; Εφόσον οι κορυφές που αναπαριστούν το H είναι εκκρεμείς και άρα εξαρτώνται κατά μοναδικό τρόπο από τις κορυφές που αναπαριστούν τον άνθρακα, δε χρειάζεται να απεικονίζονται στο σχετικό γράφο. Έτσι, αρκεί να εξετασθεί τι συμβαίνει με τα k άτομα του άνθρακα σε έναν απλουστευμένο γράφο όπου πλέον δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ των κορυφών. Έτσι, για παράδειγμα για το C4H10 υπάρχουν μόνο δύο διακριτά δένδρα που είναι τα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (1) Από κάθε συνδεδεμένο γράφο G(V,E) μπορούν να παραχθούν 2|Ε| διαφορετικοί υπογράφοι (πόρισμα 1ου κεφαλαίου). Ζευγνύον δένδρο ενός συνδεδεμένου γράφου G ονομάζεται ένα δένδρο Τ που είναι υπογράφος του G με σύνολο κορυφών V(T)=V(G). Οι ακμές ενός ζευγνύοντος δένδρου Τ ενός γράφου G ονομάζονται κλαδιά. Οι ακμές του G που δεν είναι κλαδιά ονομάζονται χορδές. Ο αριθμός των κλαδιών ενός ζευγνύοντος δένδρου ισούται με τη σειρά του γράφου G, ενώ ο αριθμός των χορδών του γράφου ισούται με τη μηδενικότητα του γράφου. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (2) Θεώρημα: Κάθε συνδεδεμένος γράφος έχει τουλάχιστον ένα ζευγνύον δένδρο Πόρισμα: Κάθε συνδεδεμένος γράφος G με n κορυφές και m ακμές μπορεί να θεωρηθεί ως η ένωση ενός ζευγνύοντος δένδρου T με n-1 κλαδιά και ενός υπογράφου με m-n+1 χορδές. Ας θεωρήσουμε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα που απεικονίζεται με ένα γράφο από n κορυφές και m ακμές. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ακμών που πρέπει να διαγράψουμε, έτσι ώστε να μην υπάρχει κανένα ρεύμα στο κύκλωμα; Απάντηση: Ο αριθμός των χορδών m-n+1. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (3) Θεώρημα: Αν σε ένα γράφο G ισχύει d(G)>=k και ο γράφος Τ είναι δένδρο με k+1 κορυφές, τότε το Τ είναι ζευγνύον δένδρο του G. Πόσα ζευγνύοντα δένδρα μπορούν να προκύψουν από ένα συνδεδεμένο γράφο; Θεώρημα: Ο αριθμός των διακριτών ζευγνύοντων δένδρων ενός πλήρους γράφου Κn είναι nn-2. Θεώρημα: Ο αριθμός των διακριτών ζευγνύοντων δένδρων ενός πλήρους διμερούς γράφου Km,n είναι mn-1nm-1. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (4) Θεώρημα: Ο αριθμός των διακριτών ζευγνύοντων δένδρων ενός πλήρους διμερούς γράφου K2,n είναι n2n-1 α b x ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (5) Θεώρημα: Ο αριθμός των διακριτών ζευγνύοντων δένδρων ενός πλήρους διμερούς γράφου K3,n είναι n23n-1 Θεώρημα: Ο αριθμός των διακριτών ζευγύοντων δένδρων ενός τροχοειδούς γράφου Wn είναι α b c α b c x y z ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (6) Πίνακας βαθμών για και αν Επιπλέον, αν από ένα δισδιάστατο πίνακα Β με nxn στοιχεία διαγραφεί η i-οστή γραμμή και η j-οστή στήλη, τότε προκύπτει ένας πίνακας που συμβολίζεται με Bij και ονομάζεται ελάσσων στη θέση i,j. Συμπαράγοντας του πίνακα B στη θέση i,j λέγεται η τιμή Θεώρημα πίνακα – δένδρου του Kirchoff: Έστω ένας μη ασήμαντος γράφος G με πίνακα γειτνίασης Α και πίνακα βαθμών C. Ο αριθμός των διαφορετικών ζευγνύοντων δένδρων του G ισούται με την τιμή οποιουδήποτε συμπαράγοντα του πίνακα C-A. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (7) Θεμελιώδες κύκλωμα: Ένας κύκλος που δημιουργείται από ένα ζευγνύον δένδρο και μια χορδή Σύνολο χορδών: m-n+1 G=TUT Αριθμός θεμελιωδών κυκλωμάτων: m-n+1 Κυκλικές εναλλαγέςπαράγουμε όλα τα ζευγνύοντα δένδρα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (8) Δοθέντος ενός ζευγνύοντος δένδρου κάποιου γράφου μπορούμε να κατασκευάσουμε όλα τα ζευγνύοντα δένδρα του γράφου με τη μέθοδο του στοιχειώδους δενδρικού μετασχηματισμού. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, σε ένα δεδομένο ζευγνύον δένδρο εισάγεται μία χορδή, οπότε δημιουργείται ένα θεμελιώδες κύκλωμα. Ένα νέο ζευγνύον δένδρο παράγεται διαγράφοντας ένα κλαδί από αυτό το θεμελιώδες κύκλωμα. Έτσι, θεωρώντας κάθε φορά ένα διαφορετικό κλαδί για διαγραφή παράγεται ένα διαφορετικό ζευγνύον δένδρο, μέχρι να εξαντληθούν τα κλαδιά του θεμελιώδους κυκλώματος. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται και για τα άλλα θεμελιώδη κυκλώματα που προκύπτουν. Έχει αποδειχθεί ότι από οποιοδήποτε ζευγνύον δένδρο και αν ξεκινήσει η διαδικασία, τελικά θα παραχθούν όλα τα ζευγνύοντα δένδρα του γράφου μετά από πεπερασμένο αριθμό κυκλικών ανταλλαγών. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (9) Απόσταση δύο ζευγνυόντων δένδρων ενός συνδεδεμένου γράφου G είναι ο αριθμός των ακμών που ανήκουν στο ένα δένδρο αλλά δεν ανήκουν στο άλλο και δίνεται εξορισμού ως dist(Ti, Tj) = dist(Tj, Ti) dist(Ti, Tj) ≥ 0 και dist(Ti, Ti)=0 αν και μόνο αν Ti=Tj dist(Ti, Tj) ≤ dist(Tj, Tk)+ dist(Tk, Tj) Θεώρημα: Η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο ζευγνύοντων δένδρων Ti και Tj ενός συνδεδεμένου γράφου G(V,E) είναι Κεντρικό λέγεται ένα ζευγνύον δένδρο T0 αν για κάθε ζευγνύον δένδρο Τα ισχύει η σχέση Έτσι, ένας γράφος μπορεί να έχει περισσότερα του ενός κεντρικά δένδρα. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (10) Δεδομένου ενός γράφου G μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα δένδρο, έτσι ώστε η απόσταση από κάποια κορυφή v του δένδρου προς όλες τις υπόλοιπες κορυφές του να είναι ίδια με την ελάχιστη απόσταση της κορυφής v προς κάθε μία από τις ίδιες κορυφές στον αρχικό γράφο. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το συγκεκριμένο ζευγνύον δένδρο διατηρεί την απόσταση από την κορυφή v. Θεώρημα: Για κάθε κορυφή v ενός συνδεδεμένου γράφου G, υπάρχει ένα ζευγνύον δένδρο που διατηρεί την απόσταση. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (11) Το πρόβλημα του συνδέσμου εξετάζει την εύρεση ενός δένδρου που ονομάζεται βέλτιστο και είναι το ζευγνύον δένδρο με το ελάχιστο βάρος (για ζυγισμένους γράφους). Εφαρμογή στη σχεδίαση δικτύων (τηλεπ/κό, οδικό κ.λ.π.) που συνδέει ένα πλήθος κόμβων, που μπορούν να συνδεθούν ανά δύο με κάποιο επιμέρους κόστος. Αλγόριθμοι Kruskal, Prim και Boruvka (άπληστοι) Πολυπλοκότητες: Ο(|Ε| log|E|) ο πρώτος Ο(|V|2) ο δεύτερος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (12) Αλγόριθμος Kruskal Αρχικά το δένδρο Τ είναι κενό. Θέτουμε i=0 Οι ακμές ταξινομούνται κατά μη φθίνον βάρος. Εισάγεται στο Τ η πρώτη ακμή που δεν ανήκει ήδη στο Τ και δε δημιουργεί κύκλωμα με τις υπόλοιπες ακμές του Τ. Θέτουμε i=i+1 Αν i<n-1, τότε πηγαίνουμε στο Βήμα 2. Θεώρημα Ο αλγόριθμος του Kruskal δίνει ένα ζευγνύον δένδρο με ελάχιστο βάρος. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (13) Αλγόριθμος Prim Στο αρχικό δένδρο Τ εισάγεται μία τυχαία κορυφή v. Θέτουμε i=0 Από το σύνολο των ακμών που πρόσκεινται στις κορυφές του Τ επιλέγεται εκείνη με το μικρότερο βάρος που δε δημιουργεί κύκλωμα και εισάγεται στο Τ. Θέτουμε i=i+1 Αν i<n, τότε πηγαίνουμε στο Βήμα 2. Θεώρημα Ο αλγόριθμος του Prim δίνει ένα ζευγνύον δένδρο με ελάχιστο βάρος. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (14) Αλγόριθμος Prim Αρχικά δίνεται το δάσος F που αποτελείται από τις n κορυφές. Για κάθε συνιστώσα F’ του F, ενώνουμε μία κορυφή του F’ με μία ακμή ελάχιστου βάρους e. Θέτουμε F=F+e Αν |E(F)|<n-1, τότε πηγαίνουμε στο Βήμα 2. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ζευγνύoντα Δένδρα (15) Παράδειγμα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων