Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς Γεννήθηκε περίπου το 200 μ.Χ Πέθανε περίπου το 284 μ.Χ.

Σχετικά με τη ζωή του Διοφάντου, του γενάρχη της μεγάλης οικογένειας των αλγεβριστών, ελάχιστα είναι γνωστά. Γνωρίζουμε ότι ήταν έλληνας μαθηματικός, μάλλον από την Αλεξάνδρεια.. Οι περισσότερες λεπτομέρειες που έχουμε (και αυτές δεν είναι βέβαιες) λένε ότι παντρεύτηκε σε ηλικία 33 ετών και απέκτησε ένα γιο ο οποίος πέθανε σε ηλικία 42 ετών και μόλις 4 χρόνια, πριν το θάνατο του Διόφαντου. Τα συγγράμματα του τον ανέδειξαν μεταξύ των μεγάλων μαθηματικών της Αλεξανδρινής Σχολής και τον καταξίωσαν ως "Πατέρα της άλγεβρας", δεδομένου ότι υπήρξε ο εισηγητής της συγκεκριμένης άλγεβρας, γιατί για πρώτη φορά χρησιμοποίησε συμβολικές συντομογραφίες εγκαταλείποντας τη ρητορική άλγεβρα των νεοπυθαγορείων και νεοπλατωνικών σχολών, που την χαρακτήριζε η έλλειψη κάθε συμβολισμού Βιογραφία

Ο Διόφαντος έγραψε (όπως τουλάχιστον γνωρίζουμε) τέσσερις πραγματείες, με τίτλους "Αριθμητικών βιβλία ιγ'", "Περί πολυγώνων αριθμών", "Πορίσματα" και "Μοριαστικά". Από τα 13 βιβλία των " Αριθμητικών" σώθηκαν 10 που περιέχουν 290 προβλήματα, που λύνονται με απλές εξισώσεις ή με συστήματα εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθμού. Πολλά από τα προβλήματα είναι απροσδιόριστης ανάλυσης α' και β' βαθμού, στα οποία όμως δεν ζητούνται ακέραιες λύσεις. Από την πραγματεία "Περί πολυγώνων αριθμών" διασώθηκαν μόνο λίγα αποσπάσματα. Οι άλλες εργασίες του Διόφαντου χάθηκαν. Βιογραφία

Πρόβλημα σχετικό την ηλικία του Διόφαντου Σύμφωνα με μια παράδοση που βρίσκουμε σε μια ομάδα προβλημάτων του πέμπτου ή έκτου αιώνα γνωστή ως «Ελληνική Ανθολογία» με συγγραφέα πιθανόν τον Σιμπλίκιο βρίσκουμε το παρακάτω πρόβλημα σχετικό με την ζωή του Διόφαντου: «Ο Θεός του χάρισε τη ζωή ενός αγοριού για το ένα έκτο της ζωής του και μετά από ένα δωδέκατο, γέμισε τα μαγουλά του με γένια. Τον πάντρεψε μετά από ένα έβδομο και πέντε χρόνια μετά από το γάμο του του χάρισε ένα γιο. Δυστυχώς ! Αργοπορημένο, κακότυχο παιδί. Όταν έφτασε στα μισά χρόνια της ζωής του πατέρα του, η Μοίρα τον πήρε μαζί της. Αφού παρηγορήθηκε με την επιστήμη των αριθμών για τέσσερα χρόνια τελείωσε τη ζωή του».

Τα " Αριθμητικά" του Διόφαντου αποτελούν σταθμό στην εξέλιξη της μαθηματικής διανόησης, γιατί θεωρούνται ως το πρώτο βιβλίο άλγεβρας, εφόσον σ' αυτό γίνεται χρήση συστηματικού συμβολισμού και λύνονται με ειδικές μεθόδους προβλήματα, τα οποία οι προγενέστεροι του Διόφαντου μαθηματικοί θεωρούσαν άλυτα. Βέβαιο, ακόμα, είναι ότι το έργο του Διόφαντου δεν είναι δυνατόν να ανήκει αποκλειστικά σ' αυτόν και ότι άλλοι αρχαιότεροι ή σύγχρονοι του μαθηματικοί είχαν συμβάλλει στην επινόηση των γνώσεων που περιέχονται στα " Αριθμητικά Την πρώτη συστηματική χρησιμοποίηση αλγεβρικών συμβόλων τη συναντάμε στον Διόφαντο. Είχε ένα ειδικό σημάδι για να παρασταίνει τον άγνωστο, άλλο για το πλην και άλλο για τους αντίστροφους.. Επίσης χρησιμοποιούσε ξεχωριστά σημάδια για τις δυνάμεις του άγνωστου. Αριθμητικά

Τα βασικά σύμβολα που χρησιμοποιεί ο Διόφαντος είναι τα ακόλουθα Αριθμητικά

Αριθμητικά Χρησιμοποιεί ακόμα τα σύμβολα:

Για τις δυνάμεις χρησιμοποιεί την ορολογία: δύναμη = δεύτερη δύναμη κύβος = τρίτη δύναμη δυναμοδύναμη = τέταρτη δύναμη κυβόκυβος = έκτη δύναμη Αριθμητικά

Τα κλάσματα παριστάνονται ως εξής: Αν μεν ο αριθμητής είναι μονάδα, γράφει τον παρονομαστή με την ένδειξη "μέρους" ή με τόνο ή με τους προηγούμενους συμβολισμούς των δυνάμεων του χ με την επισήμανση χ. Έτσι πχ. είναι = μέρους δ, = γ',. Όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος της μονάδας, το κλάσμα σημειώνεται όπως στη σύγχρονη αριθμητική, με τη διαφορά ότι γράφεται πάνω ο παρονομαστής και κάτω ο αριθμητής. Έτσι πχ. είναι Αριθμητικά

Αριθμητικά Για τα κλάσματα με αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή δυνάμεις του χ χρησιμοποιεί την ορολογία

Αριθμητικά Όταν σε μια εξίσωση συμβολίζεται πρόσθεση, γράφονται οι όροι χωρίς σύμβολο. Η αφαίρεση συμβολίζεται με ειδικό σύμβολο. Ο πολλαπλασιασμός συμβολίζεται με την πρόθεση «επί». Στον Διόφαντο υπάρχει ο κανόνας: "λείψις επί λείψιν πολλαπλασιασθείσα ποιεί ύπαρξιν, λείψις δε επί ύπαρξιν ποιεί λείψιν".(δηλαδή (-) · (-) = (+) και (-) · (+) = (-)). Η πρόταση αυτή θεωρήθηκε από πολλούς ως απόδειξη περί του ότι ο Διόφαντος γνώριζε τη διάκριση των αριθμών σε αρνητικούς και θετικούς. Ως προς τη διαπίστωση, όμως, αυτή δεν υπάρχει ομοφωνία, διότι στα έργα του Διόφαντου δεν συναντάται ορισμός που να διακρίνει τους αριθμούς, όπως κάνει η σημερινή άλγεβρα, σε θετικούς και αρνητικούς. Είναι ωστόσο, αναμφισβήτητο το γεγονός ότι εκτελεί αλγεβρικούς πολλαπλασιασμούς κατά το σύστημα της σύγχρονης άλγεβρας.

Ο Διόφαντος γνωρίζει ακόμα να καταστρώνει εξισώσεις συσχετίζοντας τα δυο μέλη τους με την ένδειξη " ίσος". Καθένα από τα δυο μέλη της εξίσωσης ονομάζεται από τον Διόφαντο "είδος". Στα αλγεβρικά προβλήματα που επιλύονται λαμβάνονται υπόψη μόνο οι θετικές λύσεις, όχι όμως οι αρνητικές και οι μιγαδικές. Τις λύσεις αυτές ο Διόφαντος χαρακτηρίζει ως " αδυνάτους" και " άτοπους". Αριθμητικά

Σύμφωνα με τους συμβολισμούς του Διοφάντου, έχουμε τις επόμενες γραφές για τις αντίστοιχες παραστάσεις της σύγχρονης άλγεβρας: Αριθμητικά

Αριθμητικά

Αν προσπαθήσουμε να διακρίνουμε την ιστορική ανάπτυξη της άλγεβρας θα έχουμε : (1) το ρητορικό ή αρχικό στάδιο, κατά το οποίο τα πάντα γράφονταν, πλήρως, με λέξεις, (2) το συγκεκριμμένο ή ενδιάμεσο στάδιο, κατά τα οποίο υιοθετούνται ορισμένες συντομεύσεις, και (3) το συμβολικό ή τελικό στάδιο. Μια τέτοια αυθαίρετη διαίρεση της εξέλιξης της άλγεβρας σε τρία στάδια είναι, φυσικά, μια εύκολη υπεραπλούστευση, από την άλλη μεριά, παρουσιάζει με αποτελεσματικότητα τα όσα συνέβησαν. Σύμφωνα με την παραπάνω διάκριση ο Διόφαντος σαφώς ανήκει στο δεύτερο στάδιο. Αλγεβρα

H συλλογή προβλημάτων του Διόφαντου παρουσιάζει πλατιά ποικιλία και οι λύσεις τους είναι συχνά εξαιρετικά ιδιοφυείς. Η «Διοφαντική Ανάλυση» συνίσταται στην εύρεση απαντήσεων για απροσδιόριστες εξισώσεις, όπως Αχ 2 + Βχ + C = y 2 Αχ 3 + Βχ 2 + Cx + D = y 2, καθώς και για συστήματα από τέτοιες εξισώσεις. Τυπικό γνώρισμα του Διόφαντου ήταν ότι τον ενδιέφεραν μόνο οι θετικές ρητές λύσεις· τις όχι ρητές λύσεις τις ονόμαζε «αδύνατες». Διάλεγε προσεχτικά τους συντελεστές των εξισώσεων, ώστε oι χειρισμοί πού έκανε να τον οδηγούν στη θετική ρητή λύση πού αναζητούσε. Διοφαντική Ανάλυση

Τα ερωτήματα που πρέπει να απαντηθούν στην Διοφαντική ανάλυση είναι: 1.Υπάρχουν λύσεις; 2.Υπάρχουν λύσεις που κάποιος μπορεί να τις βρει με εικασία; 3.Υπάρχουν πεπερασμένες ή μη λύσεις ; 4.Μπορούν όλες οι λύσεις να βρεθούν από την θεωρία; 5.Μπορεί κάποιος στην πράξη να απαριθμήσει όλες τις λύσεις; Διοφαντική Ανάλυση

Γραμμική διοφαντική εξίσωση Για ν=2 υπάρχουν άπειρες λύσεις οι πυθαγόρειες τριάδες. Για ν>2 είναι το τελευταίο του Fermat που λέει ότι δεν υπάρχουν θετικές ακέραιες λύσεις χ,y, z που να ικανοποιούν την εξίσωση. Παραδείγματα εξισώσεων διοφαντικής ανάλυσης

Ανάμεσα στις εξισώσεις του, βρίσκουμε και τις χ y 2 = 1 χ y 2 = 1. Ανήκουν στο είδος αυτών πού είναι γνωστές με την ονομασία «εξισώσεις του Πέλ» (χ 2 = 1 +p y 2 ). Στο έργο του Διόφαντου βρίσκονται και διάφορες προτάσεις της αριθμοθεωρίας, όπως το θεώρημα ότι, αν δύο ακέραιοι έχουν την ιδιότητα να εκφράζονται ως αθροίσματα δύο τετραγώνων, τότε το γινόμενο τους μπορεί κι αυτό ν' αναλυθεί σε δύο τετράγωνα και μάλιστα με δύο τρόπους. Υπάρχουν επίσης θεωρήματα για την ανάλυση ενός αριθμού σε άθροισμα τριών και τεσσάρων τετραγώνων. Παραδείγματα εξισώσεων διοφαντικής ανάλυσης

Θα αναφέρουμε ένα προβλήμα από την Αριθμηηκή, ως δείγμα της διοφαντικής ανάλυσης. Στο πρώτο, ζητούμε δύο αριθμούς, το άθροισμα των οποίων είναι 20 και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 208. Οι άγνωστοι αριθμοί δεν συμβολίζονται με χ και y αλλά με 10 + x και 10-x (σύμφωνα με το σύγχρονο συμβολισμό). Τότε, (10+x) 2 +(10-x) 2 = 208, άρα χ = 2· έτσι, οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 8 και 12. Στο πρόβλημα αυτό, ο Διόφαντος ασχολείται με μια ορισμένη εξίσωση αλλά χρησιμοποίησε την ίδια διαδικασία και στην απροσδιόριστη ανάλυση. Ας σημειώσουμε εδώ, ότι η παραπάνω λύση είναι σχεδόν μια "μέθοδος" στη δουλειά του Διόφαντου: όταν ζητά δύο αριθμούς που να ικανοποιούν δύο συνθήκες, επιλέγει αυτούς τους αριθμούς έτσι ώστε να ικανοποιούν μία από τις συνθήκες και κατόπιν στρέφει την προσοχή του στη δεύτερη συνθήκη. Με άλλα λόγια, ο Διόφαντος αντί να λύνει ένα σύστημα εξισώσεων δύο αγνώστων, αντιμετωπίζει τις συνθήκες διαδοχικά ώστε μόνο ένας άγνωστος να εμφανίζεται στη λύση. Πρόβληματα Διοφαντικής ανάλυσης

Θαυμασμό προκαλούν και οι μαθηματικές γνώσεις που χρησιμοποιεί ο Διόφαντος τις οποίες θεωρεί ως γνωστές όπως: Η χρήση των ταυτότητων (2αβ) 2 +(β 2 -α 2 ) 2 =(β 2 +α 2 ) 2, (α 2 +β 2 )(c 2 +d 2 )=(ac+bd) 2 +(bc-ad) 2 (α 2 +β 2 )(c 2 +d 2 )=(ad+bc) 2 +(ac-bd) 2 Η λύση της ανίσωσης β' βαθμού Η λύση της εξίσωσης χ 3 -4χ 2 +χ-4 = 0 Όλα αυτά δείχνουν τον βαθμό της εξέλιξης της άλγεβρας των Αρχαίων Ελλήνων. Ταυτότητες

Σχολιαστές του Διοφαντου Πρώτος σχολιαστής των " Αριθμητικών" του Διοφάντου θεωρείται η Υπατία. Τα σχόλια της, δυστυχώς, δεν σώθηκαν. Από τους βυζαντινούς σχολιαστές θεωρούνται αξιόλογοι οι Μιχαήλ Ψελλός (11ος μ.Χ. αιώνας), Γεώργιος Παχυμέρης (13 μ.Χ. αιώνας) και Μάξιμος Πλανούδης (13ος μ.Χ. αιώνας). Έγκυρος σύγχρονος σχολιαστής των "Αριθμητικών" είναι ο γάλλος Ρ. Tannery. To έργο του Διοφάντου δεν αναγνωρίστηκε από τους σύγχρονους του μαθηματικούς, μεταφράστηκε, όμως, αρκετά αργότερα στην αραβική και διαδόθηκε στους άραβες λόγιους που το αξιοποίησαν. Το 1464 έγινε γνωστό στην Ευρώπη από τον γερμανό μαθηματικό J. Muller.

Η έκδοση των Αριθμητικών του 1621 απέκτησε τεράστια φήμη αφού ο Pierre de Fermat έγραψε το «τελευταίο του θεώρημα στα περιθώρια του βιβλίου: “Αν ένας ακέραίος n είναι μεγαλύτερος από 2,τότε η a n + b n = c n δεν έχει μη μηδενικές ακέραιες λύσεις a, b, και c. Έχω μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη του θεωρήματος αυτής της πρότασης αλλά το περιθώριο είναι πολύ στενό για να την χωρέσει..” Η απόδειξη του Fermat ποτέ δεν βρέθηκε και το θεώρημα έμεινε άλυτο για αιώνες. Η απόδειξη έγινε το 1994 από τον Andrew Wiles μετά από επταετή δουλειά. Λέγεται ότι ο Fermat δεν είναι ο πρώτος μαθηματικός που έγραψε σε περιθώριο βιβλίου του Διόφαντου. Ο πρώτος ήταν ο Μάξιμος Πλανούδης που έγραψε: «Η δική σου ψυχή Διόφαντε, σίγουρα βρίσκεται δίπλα στον Σατανά εξαιτίας της δυσκολίας των θεωρημάτων σου ».

Εξώφυλλο της έκδοσης του 1621 της αριθμητικής του Διόφαντου, που μεταφράστηκε στα Λατινικά από τον Claude Gaspard Bachet de Méziriac

Πρόβλημα II.8 στα Arithmetica (έκδοση του 1670), σχολιασμένη με το κείμενο του Fermat που κατέληξε στο «τελευταίο θεώρημα».