Θέμα: Υπολογισμός της συνάρτησης φάσματος με αριθμητική αντιστροφή της συνάρτησης Green φανταστικού χρόνου. Νικόλαος Διαμαντής Αθήνα

Matsubara Συνάρτηση Green Έστω η Hamiltonian συστήματος πολλών σωματιδίων με H o επιλύσιμη Matsubara Συνάρτηση Green (συνάρτηση φανταστικού χρόνου) είναι: Όπου αναπαράσταση Heisenberg του τελεστή καταστροφής σωματιδίου στην κατάσταση k (αντίστοιχα δημιουργίας). Με την διαγραμματική μέθοδο diag-Monte Carlo (standard-DMC,FHDMC) υπολογίζουμε το ιστόγραμμα της G(τ).

Πληροφορία από την G(τ) Η Matsubara Green Function συνδέεται με την συνάρτηση φάσματος Α(ω), ποσότητα πειραματικά μετρήσιμη με την μέθοδο φωτοεκπομπής, με την σχέση: Με Για φερμιόνια και θερμοκρασία :

Ορισμός chi square Είναι Data πίνακας όπου με το πλήθος των μετρήσεων και με L το πλήθος των χρονικών διαστημάτων της L- διαμέρισης του χρονικού διαστήματος Είναι: Όπου η covariance είναι: Με

Ορισμός chi square Όπου G είναι το άνυσμα: Λύνοντας τη σχέση: παίρνουμε μια λύση Όμως ελάχιστες διαφοροποιήσεις των έχουν αποτελέσματα A(ω) τελείως διαφορετικά.

Μέθοδοι Αντιστροφή 1)Maximum-Entropy Method (MEM): [1]Gubernatis,Silver, Sivia Phys. Rev. B Volume 41 Number 4 (1990) 2)Stochastic Analytical Inference(SAI): [2] S. Fuchs,T. Pruschke, M. Jarrell Phys. Review E81, (2010)

Maximum Entropy Method (MEM) Τυχών πληροφορία για το Α(ω) ενσωματώνεται στο καλούμενο default model D(ω) και μετριέται με την εντροπία: Η πιθανότητα μιας μορφής Α(ω) να είναι η ακριβής λύση είναι: Όπου: Η λύση τώρα είναι η λύση της εξίσωσης : Που είναι η πιο πιθανή μορφή του Α(ω).

Stochastic Analytical Inference (SAI) Κεντρική παραδοχή :μια μορφή του συντελεστή φάσματος να είναι η πραγματική με δεδομένα τα πειραματικά αποτελέσματα έχει πιθανότητα: όπου οι μορφές του Α(ω) επιλέγονται γύρω από ένα D(ω), default model το οποίο περιέχει τις a-priori γνώσεις για την ακριβή λύση. Αποδεικνύεται ότι είναι μια γενίκευση της MEM. Για μια αξιόπιστη απάντηση μπορούμε να θέσουμε και τότε πρέπει να είναι της τάξεως του 1. Αυτό βέβαια εξαρτάται και από την ακρίβεια των πειραματικών δεδομένων.

Εφαρμογή -Αποτελέσματα Κίνηση μιας οπής Θεωρούμε :Κατάληψη πλεγματικών σημείων μόνο από ένα ηλεκτρόνιο Έχει ισχύ η spin wave θεωρία και τότε η Hamiltonian έχει την μορφή

Εφαρμογή -Αποτελέσματα Περιορισμός στην NCA (non crossing approximation) Υπολογισμός του G(τ) με diag-MC Εφαρμογή της SAI για j/t=0.2,k=(π/2,π/2), με default model : 1.‘Exact Solution’,αποτέλεσμα υπολογισμού του Α(ω) με άλλη μέθοδο που δίνει σχεδόν ακριβή λύση 2.Flat default model (καμία a-priory γνώση) 3.Παραπλανητικό default model Αποτελέσματα από fitting της G(τ) με τρία εκθετικά έδωσαν τιμές παραπλήσιες με αυτή της εφαρμογής της SAI με Flat default model

Εφαρμογή -Αποτελέσματα Συμπεράσματα: 1 Όταν το default model είναι κοντά στην πραγματικότητα τότε αναπαράγεται με την μέθοδο της αντιστροφής 2. Με την χρήση του chi square δεν περιγράφονται οι τυχόν λεπτομέρειες της ακριβής λύσης.

Εφαρμογή -Αποτελέσματα Για την πλήρη λύση χρησιμοποιώντας ως default model την απάντηση της NCA έχουμε το παρακάτω αποτέλεσμα για j/t=0.3 και διάφορες τιμές του k.

Εξεταζόμενο Πρόβλημα: Κίνηση μιας οπής σε Columnar Για την Χαμιλτονιανή με Έχουμε ότι για το πλέγμα έχει τη μορφή columnar Υπολογισμός της G(τ) με diag-MC Υπολογισμός της spectral function με αντιστροφή