3 Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων

Γενικά χαρακτηριστικά καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Τοπική βάση συνδεδεμένη με τις καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Καμπυλόγραμμες συντεταγμένες q1, q2, q3, στον Ευκλείδειο χώρο: ορίζονται μέσω των καρτεσιανών συντεταγμένων x1, x2, x3: ή (κυρίως) καμπύλη κάθε συντεταγμένης : από τη μεταβολή της συντεταγμένης διατηρώντας τις άλλες δύο σταθερές q2, q3 = σταθ. q1, q3 = σταθ. q1, q2 = σταθ. = καρτεσιανή βάση του συστήματος αναφοράς = διάνυσμα θέσης τοπική βάση του καμπυλόγραμμου συστήματος συντεταγμένων:

Σχέση τοπικής βάσης με την βάση του συστήματος αναφοράς Πίνακας μετατροπής από την καρτεσιανή βάση στην τοπική βάση = J (Ιακωβιανός πίνακας)

Σχέση συνιστωσών στην τοπική βάση με τις καρτεσιανές συνιστώσες τυχόν διάνυσμα v0 = καρτεσιανές συνιστώσες v = συνιστώσες στην τοπική βάση αλυσιδωτός κανόνας παραγώγισης: Εφαπτόμενο διάνυσμα σε καμπύλη = συνάρτηση περιγραφής καμπύλης = ελεύθερα μεταβαλλόμενη παραμέτρος = διάνυσμα θέσης σημείου P στην καμπύλη εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης σε κάθε σημείο

Μήκος τμήματος καμπύλης Σχέση μήκους s κατά μήκος της καμπύλης με την παράμετρο t : Απλούστερος (αλλά μαθηματικά όχι αυστηρά ορθός) συμβολισμός : Μήκος τμήματος μιας καμπύλης, από σημείο σε σημείο

G = μετρικός πίνακας με στοιχεία Μετρικός πίνακας Στην καρτεσιανή βάση : ( = 1 για i = k, = 0 για i  k) Στην τοπική βάση των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων : G = μετρικός πίνακας με στοιχεία Μήκος διανύσματος της τοπικής βάσης :

G = J J Σχέση Μετρικού-Ιακωβιανού Προσδιορισμός του μετρικού πίνακα από τις σχέσεις ορισμού των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων αλυσιδωτός κανόνας παραγώγισης : G = J J Τ Σχέση Μετρικού-Ιακωβιανού

Ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες = κάθετα τοπικά διανύσματα βάσης σε κάθε σημείο (για i  k) Μετρικός πίνακας G = διαγώνιος τετραγωνική ρίζα:

σε πίνακα στροφής και πίνακα μεταβολής των μηκών των διανυσμάτων βάσης Ανάλυση του πίνακα μετασχηματισμού ορθογωνίων καμπυλόγραμμων συντεταγμένων σε πίνακα στροφής και πίνακα μεταβολής των μηκών των διανυσμάτων βάσης ενδιάμεσο σύστημα αναφοράς συγγραμμικό με το αλλά με μοναδιαία διανύσματα (i = 1,2,3) = ορθοκανονική βάση : G1/2 = πίνακας μεταβολής των μηκών από σε R = ορθογώνιος πίνακας στροφής (από τρισορθογώνια καρτεσιανή βάση στην τρισορθογώνια τοπική βάση ) +

Σχέση μεταξύ συνιστωσών διανύσματος Υπολογισμός πίνακα στροφής

Σφαιρικές συντεταγμένες

Σφαιρικές συντεταγμένες σφαιρικό μήκος λ, σφαιρικό συμπληρωματικό πλάτος θ, ακτινική απόσταση r συνδέονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες ενός συγκεκριμένου συστήματος αναφοράς: Εναλλακτικά: σφαιρικό πλάτος : Καμπύλες των συντεταγμένων σε σημείο P : καμπύλη της r = ευθεία γραμμή σημείων P και O (O = αρχή του συστήματος αναφοράς). καμπύλη της φ = κύκλος με κέντρο Ο ακτίνα ΟP, στο επίπεδο του P και του 3ου άξονα (μεσημβρινός κύκλος). καμπύλη της λ = κύκλος σε επίπεδο παράλληλο στο επίπεδο των αξόνων 1 και 2, με κέντρο στον άξονα 3 (παράλληλος κύκλος). Τοπικά διανύσματα στο P: (συντεταγμένη r) στην ευθεία OP με φορά απομάκρυνσης από το P ( προς τα «πάνω») , (συντεταγμένη φ) στο επίπεδο που ορίζεται από το P και τον 3ο καρτεσιανό άξονα ( «βοράς»), (συντεταγμένη λ) συμπληρώνει την τρισορθογώνια δεξιόστροφη τριάδα ( «ανατολή»).

Πίνακας μετασχηματισμού : Μετρικός πίνακας: Πίνακας στροφής : στροφή R3(90 +λ) γύρω από τον 3ο άξονα κατά γωνία 90 +λ : φέρνει τον άξονα στην κατεύθυνση του άξονα στροφή R3(90 -φ) γύρω από τον 1ο άξονα κατά γωνία 90 -φ : φέρνει τους άξονες και στις κατευθύνσεις των αξόνων και , αντίστοιχα.

Eπαλήθευση Αντίστροφη σχέση Σχέση καρτεσιανών συντεταγμένων και σφαιρικών

Κυλινδρικές συντεταγμένες

Κυλινδρικές συντεταγμένες

Κυλινδρικές συντεταγμένες

Γεωδαιτικές συντεταγμένες

Γεωδαιτικές συντεταγμένες γεωδαιτικό μήκος λ, γεωδαιτικό πλάτος  και γεωδαιτικό ύψος h σχετίζονται με ένα πεπλατυσμένο ελλειψοειδές εκ περιστροφής (ελλειψοειδές αναφοράς) Παράμετροι σχήματος ελλειψοειδούς: a, b ή a, e a, b = ημιάξονες της γενεσιουργού έλλειψης (περιστροφή γύρω από τον b), = εκκεντρότητα Σχέση γεωδαιτικών και καρτεσιανών συντεταγμένων : = ακτίνα καμπυλότητας της μεσημβρινής έλλειψης στο P0 (κάθετη προβολή του P στο ελλειψοειδές) = ακτίνα καμπυλότητας της κάθετης στο μεσημβρινό επίπεδο τομής

Πίνακας μετατροπής από το καρτεσιανό στο τοπικό σύστημα αναφοράς Μετρικός πίνακας: Πίνακας στροφής: Πίνακας μεταβολής μηκών: Πίνακες μετατροπής: Αντίστροφος:

Διαχωρισμός του διανύσματος των καρτεσιανών συντεταγμένων x0 = καρτεσιανές συντεταγμένες της προβολής P0 του σημείου P πάνω στο ελλειψοειδές αναφοράς x0 P0 P m

Ελλειψοειδείς συντεταγμένες

Ελλειψοειδείς συντεταγμένες Ορίζονται με τη βοήθεια μιας οικογένειας «ομοεστιακών» ελλειψοειδών εκ περιστροφής. Μεσημβρινές τομές των ελλειψοειδών = ελλείψεις με τις ίδιες εστίες με την μεσημβρινή τομή του ελλειψοειδούς αναφοράς. q1 = λ : ταυτίζεται με το σφαιρικό μήκος q2 = β ελλειψοειδές πλάτος: ορίζεται μέσω του περιγεγραμμένου στη μεσημβρινή έλλειψη κύκλου (σχήμα) q3 = u : μεγάλος ημιάξονας του ελλειψοειδούς που διέρχεται από το σημείο Σχέση μεταξύ καρτεσιανών και ελλειψοειδών συντεταγμένων = γραμμική εκκεντρότητα

Πίνακες μετατροπής Πίνακας στροφής Μετρικός πίνακας Πίνακας μεταβολής μηκών: βοηθητικές παράμετροι βοηθητική γωνία

Oλοκληρώματα ως προς καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Oλοκλήρωση συνάρτησης f(x1,x2,x3) τμήμα Ω του ευκλείδειου χώρου (καρτεσιανές συντεταγμένες) Ο χώρος χωρίζεται σε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα με ακμές δx1, δx2, δx3 Κάθε παραλληλεπίπεδο Π(x1, x2, x3) έχει τη μία κορυφή στο σημείο με συντεταγμένες (x1, x2, x3) και όγκο Για τα παραλληλεπίπεδα που περιλαμβάνονται στο τμήμα Ω σχηματίζεται το άθροισμα Επιλέγοντας συνεχώς μικρότερα παραλληλεπίπεδα, καθώς δx1, δx2, δx30 προκύπτει ως όριο το ολοκλήρωμα

Έκφραση του δV(x1, x2, x3) μέσω των διανυσμάτων των ακμών του παραλληλεπιπέδου = τοπική βάση στο σημείο (x1, x2, x3) (από την παράλληλη μετάθεση της βάσης του συστήματος αναφοράς) Όγκος = μικτό διανυσματικό γινόμενο: επειδή:

ek = συνιστώσες διανύσματος βάσης Oλοκλήρωση συνάρτησης f(q1,q2,q3) σε τμήμα Ω του ευκλείδειου χώρου (καμπυλόγραμμες συντεταγμένες) Aυξήσεις κατά δq1,δq2,δq3: ορθογώνια παραλληλεπίπεδα στον χώρο των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων q1,q2,q3 Στον ευκλείδειο χώρο: μετακινήσεις κατά μήκος των καμπύλων των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Mικρές αυξήσεις: τμήματα των καμπυλών  ευθύγραμμα τμήματα   πλάγιο παραλληλεπίπεδο με ακμές τα διανύσματα = τοπική βάση στο σημείο (q1, q2, q3) ek = συνιστώσες διανύσματος βάσης

ek = συνιστώσες διανύσματος βάσης Όγκος πλάγιου παραλληλεπιπέδου που αντιστοιχεί στις αυξήσεις δq1, δq2, δq3 :

Σχηματίζεται το άθροισμα Καθώς δq1, δq2, δq3  0 προκύπτει ως όριο το ολοκλήρωμα Γράφουμε συμβολικά για το «στοιχείο όγκου»:

Eιδική περίπτωση: ορθογώνιες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Σφαιρικές συντεταγμένες: Γεωδαιτικές συντεταγμένες: Ελλειψοειδείς συντεταγμένες:

Επιφανειακό ολοκλήρωμα πάνω στην επιφάνεια που προκύπτει διατηρώντας μία συντεταγμένη σταθερή Για παράδειγμα q3 = σταθερή, q1, q2 = επιφανειακές συντεταγμένες. Διαχωρισμός σε τμήματα που αντιστοιχούν σε βήματα δq1, δq2 Στοιχειώδες παραλληλόγραμμο σε κάθε σημείο q1, q2 , q3 : σχηματίζεται από τα διανύσματα και έχει επιφάνεια Στοιχείο επιφάνειας:

Ειδική περίπτωση ορθογώνιων καμπυλόγραμμων συντεταγμένων Σφαιρικές συντεταγμένες (r = σταθ.): Γεωδαιτικές συντεταγμένες (h = σταθ.): Ελλειψοειδείς συντεταγμένες (u = σταθ.):

u1, u2 = καμπυλόγραμμες συντεταγμένες με εφαπτόμενα διανύσματα Επιφανειακό ολοκλήρωμα για οποιαδήποτε επιφάνεια u1, u2 = καμπυλόγραμμες συντεταγμένες με εφαπτόμενα διανύσματα Στοιχείο επιφάνειας Συντελεστής στοιχείου επιφάνειας