ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 25/06/08 Ασκήσεις Επανάληψης

ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ Επανάληψη (1) ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ Επανάληψη (1) Θεώρημα Jackson Παραδοχές Ανοικτό δίκτυο ουρών αναμονής Qi με εκθετικούς ρυθμούς εξυπηρέτησης μi Εξωτερικές αφίξεις σε κόμβους i, ανεξάρτητες Poisson μέσου ρυθμού γi Εσωτερική Δρομολόγηση (routing) με τυχαίο τρόπο και πιθανότητα δρομολόγησης πελάτη από τον κόμβο (ουρά) Qi στον κόμβο Qj : rij Οι χρόνοι εξυπηρετήσεις πελατών όπως διαπερνούν το δίκτυο δεν διατηρούν την τιμή τους (έλλειψη μνήμης) αλλά αποκτούν χρόνο εξυπηρέτησης ανάλόγα με την κατανομή του κάθε εξυπηρετητή (Kleinrock’s Independence Assumption, επαληθευμένη με προσομοιώσεις σε δίκτυα με όχι απλοϊκή τοπολογία)

ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ Επανάληψη (2) ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ Επανάληψη (2) Θεώρημα Jackson Αποτέλεσμα Κατάσταση του δικτύου, διάνυσμα αριθμού πελατών στις ουρές Qi, n =(n1, n2, …) Εργοδική Πιθανότητα (αν υπάρχει): P(n) = P(n1) x P(n2) x … μορφή γινομένου (product form) ανεξαρτήτων ουρών Μ/Μ/1 P(ni) = (1 – ρi) ρini ρi = λi/μi όπου λi ο συνολικός ρυθμός Poisson των πελατών που διαπερνούν την ουρά Qi με ρυθμό εκθετικής εξυπηρέτησης μi Ουρά (γραμμή) συμφόρησης: με το μέγιστο ρi Μέσος αριθμός πελατών στο δίκτυο: E(n) = E(n1) + E(n2) + … Μέση καθυστέρηση τυχαίου πακέτου από άκρο σε άκρο: Ε(Τ) = Ε(n)/γ όπου γ = γ1 + γ2 + ... ο συνολικός ρυθμός πελατών που εισέρχονται στο δίκτυο από έξω (network throughput).

Παράδειγμα: Δίκτυο Μεταγωγής Πακέτων Θεωρήστε ένα δίκτυο μεταγωγής πακέτων. Όλες οι γραμμές (FDX) θεωρούνται χωρητικότητας 10 Kbits/sec. Το μέσο μήκος του πακέτου είναι 1000 bits (θεωρείστε εκθετική κατανομή). Μεταξύ κόμβων θεωρείστε προσφερόμενους ρυθμούς πακέτων Poisson, με ίσους ρυθμούς r packets/sec (από άκρο σε άκρο). Πακέτα από το Α στο C και αντίστροφα δρομολογούνται εξίσου στους δύο ισότιμους δρόμους: (A-B-C) και (A-D-C). Τα πακέτα μεταξύ κόμβων κατευθείαν συνδεδεμένων (A-B), (A-D), (B-D), (B-C), (D-C) δρομολογούνται κατευθείαν. Α) Βρείτε το ρυθμό r, (ώστε η γραμμή συμφόρησης (με τη μέγιστη χρησιμοποίηση) να είναι 50% Β) Με αναφορά στο Α) βρείτε τη μέση καθυστέρηση ενός τυχαίου πακέτου στο δίκτυο (από άκρο σε άκρο) B Α C D Κόμβος Δικτύου (Δρομολογητής - Router ή Μεταγωγέας Πακέτων - Packet Switch) Τερματικό - Η/Υ

ΑΣΚΗΣΗ 1 Θεωρήστε ένα απλό δίκτυο με δύο κόμβους που συνδέονται μεταξύ τους με δύο παράλληλους συνδέσμους (γραμμές), όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Ροή πακέτων με ρυθμό λ=10 πακέτα/sec πρόκειται να δρομολογηθεί από τον κόμβο 1 στον κόμβο 2 (προς μία κατεύθυνση μόνο). Το μέσο μήκος πακέτου είναι 1000 bits. Οι χωρητικότητες των δύο παράλληλων συνδέσμων (γραμμών) είναι C1=20 Kbits/sec και C2=10 Kbits/sec, αντίστοιχα. Αν υποθέσουμε ότι ποσοστό α των πακέτων δρομολογείται από τη γραμμή 1, και ποσοστό (1-α) δρομολογείται από τη γραμμή 2, βρείτε την σχέση που δίνει το μέσο χρόνο καθυστέρησης ενός τυχαίου πακέτου στο σύστημα, και στη συνέχεια υπολογίστε την τιμή του α που ελαχιστοποιεί την καθυστέρηση αυτή. Θεωρήστε ότι οι σύνδεσμοι (γραμμές) μπορούν να μοντελοποιηθούν σαν M/M/1 ουρές.

ΑΣΚΗΣΗ 2 Το παρακάτω σχήμα (δίκτυο ουρών αναμονής) παριστά ένα τηλεπικοινωνιακό δίκτυο. Μια ροή κίνησης έντασης εισέρχεται στον κόμβο 1 και διασπάται τυχαία με πιθανότητα 1/3 προς τον κόμβο 2 και με πιθανότητα 2/3 προς τον κόμβο 3. Βρείτε τις εργοδικές κατανομές πιθανοτήτων του αριθμού πακέτων σε κάθε ουρά αναμονής. Βρείτε το μέσο αριθμό πακέτων σε κάθε ουρά και το μέσο χρόνο συστήματος που ακολουθούν τα πακέτα στις διαδρομές (υποροές) 1-2-4 και 1-3-4. Κάθε σύνδεση μεταξύ διαδοχικών ουρών αναμονής μπορεί να θεωρηθεί ως μια ουρά Μ/Μ/1. Σε κάθε περίπτωση

ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρήστε ένα σύστημα παρόμοιο με ένα Μ/Μ/1 με τη διαφορά ότι όταν το σύστημα αδειάζει η εξυπηρέτηση των πελατών αρχίζει όταν k πελάτες είναι παρόντες στο σύστημα (k γνωστό). Όταν η εξυπηρέτηση ξεκινήσει συνεχίζει κανονικά μέχρι το σύστημα να αδειάσει ξανά. Α) Σχεδιάστε το διάγραμμα καταστάσεων του συστήματος. Β) Βρείτε τις εργοδικές πιθανότητες καταστάσεων του αριθμού πελατών στο σύστημα Γ) Βρείτε το μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα και τη μέση καθυστέρηση ανά πελάτη.

ΑΣΚΗΣΗ 4

ΑΣΚΗΣΗ 5 Για κάθε ένα από τα συστήματα του σχήματος, υπολογίστε το μέσο χρόνο πακέτου στο σύστημα. Συγκρίνετε και επιλέξτε το καλύτερο και το χειρότερο.

ΑΣΚΗΣΗ 6 Σε σύστημα αναμονής Μ/Μ/2/10 με 2 εξυπηρετητές και μέγιστο αριθμό πελατών 10 (συμπεριλαμβανομένων αυτών που εξυπηρετούνται), εφόσον ο αριθμός των πελατών στο σύστημα είναι μικρότερος ή ίσος του k=4 οι αφίξεις δρομολογούνται πάντα στον πρώτο εξυπηρετητή, ο δε δεύτερος παραμένει ανενεργός. Ο δεύτερος εξυπηρετητής ενεργοποιείται μόνο όταν ο αριθμός των πελατών στο σύστημα ξεπεράσει το κατώφλι k=4. Σχεδιάστε το διάγραμμα καταστάσεων του συστήματος (Θεωρήστε ότι ο ρυθμός άφιξης πελατών στο σύστημα είναι λ, ο ρυθμός εξυπηρέτησης του πρώτου εξυπηρετητή είναι μa και ο ρυθμός εξυπηρέτησης του δεύτερου εξυπηρετητή είναι μb).

ΑΣΚΗΣΗ 7

ΑΣΚΗΣΗ 8