Διδάσκων Δημήτριος Καραμανώλης, Επίκουρος Καθηγητής Μάθημα 5 ο Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Δασική Διαχειριστική Ι Δασική Διαχειριστική Ι

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Ανάπτυξη σχεδίου δράσης για παραγωγή ξυλείας και αναψυχή

Αντικειμενική συνάρτηση Μεταβλητές αποφάσεων: x 1 = ο αριθμός εκταρίων που θα διαχειρισθούν για ξυλοπαραγωγή x 2 = ο αριθμός εκταρίων που θα διαχειρισθούν για αναψυχή και περιορισμένη ξυλ/γωγή Μεγ.Ζ = 200* x * x 2

Περιορισμοί: -Κατανομή της έκτασης του δάσους x 1 + x 2 ≤ ha -Ανάγκες σε ξυλεία 4 x 1 + 1,5 x 2 ≥ m 3 -Ελάχιστη εξυπηρέτηση επισκεπτών αναψυχής 20* x 2 ≥ επισκέπτες -Μέγιστη δυνατότητα εξυπηρέτησης επ. αναψυχής 20* x 2 ≤

Ανάλυση ευαισθησίας Κατ’αυτήν εξετάζεται κατα πόσο τυχόν αλλαγές στους συντελεστές του γραμμικού υποδείγματος δηλαδή είτε στους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης είτε στις ποσότητες στο δεξιό μέρος των περιοριστικών ανισοτήτων, επηρεάζουν την άριστη λύση.

1.Περιορισμός ο οποίος σχετίζεται με τη συνολική δαπανη διαχείρισης του δάσους Έστω οτι η λύση έδωσε 5000 Ηα για ξυλ/γωγή και 5000 Ηα για αναψυχή και ξυλ/γωγή. Σύμφωνα με τον πίνακα των δεδομένων αν ακολουθηθεί η συγκεκριμένη λύση τότε οι συνολικές δαπάνες θα είναι : 5000* *130 = €. Προβληματισμός: Εάν η Δ.Υ δεν μπορεί να διαθέσει το παραπάνω ποσό αλλα π.χ € τότε στο υπόδειγμα εισάγεται ο νέος περιορισμός : 80*x *x 2 ≤ €

Απο τη 2 η λύση προκύπτει οτι η μείωση των εσόδων είναι κατα πολυ μικρότερη απο τη μείωση των δαπανών αρα προτιμάτε η 2 η λύση. 2. Αλλαγή στην αντ/νική συνάρτηση: Εδώ μπορεί να έχουμε -μεγιστοποίηση της ξυλ/γωγής -μεγιστοποίηση της αναψυχής -ελαχιστοποίηση της ξυλ/γωγής - ελαχιστοποίηση της αναψυχής -ελαχιστοποίηση των δαπανών -κ.λπ.

Ετσι το νέο υπόδειγμα θα είναι: Μεγ.Ζ = 4* x 1 + 1,5*x 2 Περιορισμοί -Κατανομή της έκτασης του δάσους x 1 + x 2 ≤ ha -Ανάγκες σε ξυλεία 4 x 1 + 1,5 x 2 ≥ m 3 -Ελάχιστη εξυπηρέτηση επισκεπτών αναψυχής 20* x 2 ≥ επισκέπτες -Μέγιστη δυνατότητα εξυπηρέτησης επ. αναψυχής 20* x 2 ≤ Δαπάνες 80*x *x 2 ≤ €

ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟΥ ΔΕΙΚΤΗ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΔΙΑΜΕΤΡΩΝ ΤΩΝ ΔΕΝΔΡΩΝ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΩΝ ΑΝΟΜΗΛΙΚΩΝ ΔΑΣΩΝ

Πρότυπο αύξησης σε διαχειριζόμενη συστάδα y t+1 = G t (y t – h t ) + I t y t+1 = G t (y t – h t ) + I t

Κατανομή διαμέτρων σε ανομήλικη συστάδα Ελάτης Κατανομή διαμέτρων σε ανομήλικη συστάδα Ελάτης

Η περιγραφή της συστάδας σε οποιοδήποτε χρονικό σημείο με τεσσερεις μεταβλητες Η περιγραφή της συστάδας σε οποιοδήποτε χρονικό σημείο με τεσσερεις μεταβλητες y 1,t, y 2,t, y 3,t, y 4,t y 1,t+1 = a 1 y 1,t + I t y 2,t+1 = b 1 y 1,t + a 2 y 2,t y 3,t+1 = b 2 y 2,t + a 3 y 3,t y 4,t+1 = b 3 y 3,t + a 4 y 4,t

Ποσοστά στάσιμων δένδρων στην ίδια κλάση διαμέτρου,ανελθόντων στην επόμενη και υλοτομημένων μέσα σε μια 10ετία y 1,t+1 = 0,85y 1,t + I t y 2,t+1 = 0,10y 1,t + 0,90y 2,t y 3,t+1 = 0,06y 2,t + 0,90y 3,t y 4,t+1 = 0,04y 3,t + 0,95y 4,t

Σχέση μεταξύ ανελθόντων στην κατώτερη κλάση διαμέτρου αριθμού δένδρων και κυκλικής επιφάνειας. I t (δένδρα / Ηα / 10 έτη) = 116 – 8,4G t (μ 2 / Ηα) + 0,3 Ν t ( δένδρα / Ηα) με R 2 = 0,74 Ν t = y 1,t, + y 2,t, + y 3,t, + y 4,t και G t = 0,02y 1,t + 0,03y 2,t + 0,07y 3,t + 0,15y 4,t όπου κάθε συντελεστής είναι η κυκλική επιφάνεια στο μέσο κάθε κλάσης διαμέτρου Έτσι προκύπτει: I t = 116 – 8,4(0,02y 1,t + 0,03y 2,t + 0,07y 3,t + 0,15y 4,t ) + 0,3( y 1,t + y 2,t, + y 3,t + y 4,t ).

Τελική μορφή του προτύπου αύξησης y 1,t+1 = 0,71y 1,t + 0,05y 2,t – 0,29y 3,t – 0,96y 4,t y 2,t+1 = 0,10y 1,t + 0,90y 2,t y 3,t+1 = 0,06y 2,t + 0,90y 3,t y 4,t+1 = 0,04y 3,t + 0,95y 4,t

Δυναμική της Συστάδας Θέτουμε y 1,0 = 138, y 2,0 = 156, y 3,0 = 117, y 4,0 = 104. y 1,1 = 0, ,05 x156 – 0,29x117 – 0,96x = 88 y 2,1 = 0,101+ 0,90x156 = 154 y 3,1 = 0,06x ,90x117 = 115 y 4,1 = 0,04x117+ 0,95x104 = 103

Εξέλiξη της αύξησης σε μη διαχειριζόμενη συστάδα

Σταθερή κατάσταση σε μη διαχειριζόμενη συστάδα y i,t+1 = y i,t = y i για i = 1,2,3,4 και για όλα τα t. Αντικαθιστώντας τα y i,t+1 και y i,t με το y i στο σύστημα των εξισώσεων προκύπτει: y 1 = 0,71y 1 + 0,05y 2 – 0,29y 3 – 0,96y y 2 = 0,10y 1 + 0,90y 2 y 3 = 0,06y 2 + 0,90y 3 y 4 = 0,04y 3 + 0,95y 4

Πρότυπο αύξησης σε διαχειριζόμενη συστάδα  y 1,t+1 = 0,71(y 1,t – h 1,t ) + 0,05(y 2,t – h 2,t ) – 0,29(y 3,t – h 3,t ) – 0,96(y 4,t – h 4,t )  y 2,t+1 = 0,10(y 1,t – h 1,t ) + 0,90(y 2,t – h 2,t )  y 3,t+1 = 0,06(y 2,t – h 2,t ) + 0,90(y 3,t – h 3,t )  y 4,t+1 = 0,04(y 3,t – h 3,t ) + 0,95(y 4,t – h 4,t )

Σταθερή κατάσταση σε διαχειριζόμενη συστάδα y i,t+1 = y i,t = y i και h i,t+1 = h i,t = h i για i = 1,2,3,4 τα οποία αντικαθίστανται στο πρότυπο αύξησης και έχουμε: y 1 = 0,71(y 1 – h 1 ) + 0,05(y 2 – h 2 ) – 0,29(y 3 – h 3 ) – 0,96(y 4 – h 4 ) y 2 = 0,10(y 1 – h 1 ) + 0,90(y 2 – h 2 ) y 3 = 0,06(y 2 – h 2 ) + 0,90(y 3 – h 3 ) y 4 = 0,04(y 3 – h 3 ) + 0,95(y 4 – h 4 )

Αριστοποίηση ανομηλίκων συστάδων Μεγιστοποίηση της παραγωγής Q = 0,06(μ 3 /δένδρο)h 1 + 0,19h 2 + 0,69h 3 + 1,50h 4 → max

ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΧΡΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΠΕΡΙΦΟΡΑΣ

Αλλαγή του χρόνου περιφοράς Γενική μορφή y t+1 = G t y t + c όπου:

Αρχίζοντας από την κατάσταση y t και εφαρμόζοντας αυτή τη σχέση δύο φορές παίρνουμε: y t+2 = G y t+1 + c = G(G y t + c) + c = G 2 y t + Gc + c Αντικαθιστούμε το G και το c με τους παραπάνω πίνακες και προκύπτει:

Θέτουμε τους νέους συντελεστές που προέκυψαν απο τις πράξεις των πινάκων στις παραπάνω εξισώσεις και παίρνουμε τις εξισώσεις που περιγράφουν τη σταθερή κατάσταση για χρόνο περιφοράς 10 χρόνια

y 1 = 0,83(y 1 – h 1 ) – 0,55(y 2 – h 2 ) -1,75(y 3 – h 3 ) + 76,8 y 2 = 0,07(y 1 – h 1 ) + 0,80(y 2 – h 2 ) -0,04(y 3 – h 3 ) + 1,6 y 3 = 0,04(y 2 – h 2 ) + 0,81(y 3 – h 3 )

Αυτές οι εξισώσεις είναι οι περιορισμοί στο νέο γραμμικό υπόδειγμα : y 1 y 2 y 3 h 1 h 2 h 3 RHS c1 0,17 0,55 1,75 0,83 -0,55 -1,75 = 76,8 c2 -0,07 0,20 0,04 0, ,04 = 1,6 c3 -0,04 0,19 0,04 0,81 = 0 c ≥ 0 c ≥ 0 c ≥ 0

Δίνοντας και εδώ ως στόχο τη μεγιστοποίηση της παρούσας αξίας με μόνη αλλαγή τον χρόνο περιφοράς απο 5 σε 10 χρόνια θα έχουμε: P H = V H * 1,05 10 / 1,05 10 –1 οπότε αντικαθιστώντας και εδώ το V H με το ισο του προκύπτει: Z PV = P H – V S = = 7,8 h ,4 h 2 +25,9 h 3 – 3y 1 – 4y y 3

Οικολογικός στόχος

y = G(y-h) + c y – h ≥ 0 h ≥ 0

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Διαθέσιμη έκταση 1200 Ηα θα χρησιμοποιηθεί κατά ένα τμήμα για εκτροφή ελαφιών, ενώ η υπόλοιπη θα αναδασωθεί. Κόστος αγοράς ενός ελαφιού δρχ και απαιτεί έκταση 1 Ηα για βόσκηση το οποίο πρέπει να δεσμευθεί για 2 έτη. Το μέσο καθαρό εισόδημα του ιδιοκτήτη από την πώληση κάθε ελαφιού είναι 9000 δρχ. σε ετήσια βάση. Η αγορά δενδρυλλίων και η δημιουργία συστάδων 1000 δενδρυλλίων κοστίζει δρχ. Η προτεινόμενη πυκνότητα αναδάσωσης πρέπει να είναι 500 δενδρ. /Ηα. Το αναμενόμενο καθαρό έσοδο από την ανάπτυξη και διαχείριση της φυτείας με περίτροπο χρόνο 50 χρ. είναι δρχ/Ηα. Ο ιδιοκτήτης επιθυμεί να μάθει τον άριστο αριθμό ελαφιών και συστάδων φυτείας ο οποίος θα του αποφέρει την ελάχιστη επενδυτική δαπάνη. Παράλληλα ο ιδιοκτήτης θέλει να είναι βέβαιος ότι θα έχει ετήσια καθαρά έσοδα από την συνολική δραστηριότητα τουλάχιστον δρχ.

Διαμόρφωση του προβλήματος Σκοπός : Ελαχ.Ζ = επενδυτικό κεφάλαιο Μεταβλητές αποφάσεων : X 1 = o αριθμός των ελαφιών που θα εκτραφούν X 2 = ο αριθμός των συστάδων των 1000 δενδρ.

Αντικειμενική συνάρτηση 75000( δρχ./ελάφι) * x 1 ( αριθμός ελαφιών) (δρχ./συστάδα) * x 2 (αριθμός συστάδων) MinZ = x x 2

Περιορισμοί: Έκταση x 1 + 2x 2 ≤ 1200 Ηα Έσοδα 12000δρχ * 2Ηα = 24000δρχ/συστάδα 9000δρχ/ελάφι 9x x 2 ≥ δρχ

ΓΕΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥ ΔΥΪΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥ ΔΥΪΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1. Η αντικειμενική συνάρτηση ελαχιστοποιείται όταν το αρχικό πρόβλημα μεγιστοποιείται και αντίθετα. 2. Έχει τόσες (δυϊκές) μεταβλητές, όσοι ήταν οι περιορισμοί στο αρχικό πρόβλημα. 3. Όλες οι δυϊκές μεταβλητές είναι συνήθως αρνητικές. 4. Οι συντελεστές των μεταβλητών σε κάθε στήλη του συνόλου των περιορισμών του αρχικού προβλήματος, γίνονται συντελεστές στις αντίστοιχες σειρές του δυϊκού προβλήματος. Δηλαδή η πρώτη στήλη γίνεται πρώτη σειρά, η δεύτερη στήλη γίνεται δεύτερη σειρά κ.λπ. 5. Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης του αρχικού προβλήματος,γίνονται συντελεστές στη δεξιά πλευρά των περιορισμών του δυϊκού προβλήματος και αντίστροφα Και 6.Η κατεύθυνση των ανισοτήτων αντστρέφεται.

ΑΡΧΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜεγΖ = α 1 χ 1 + α 2 χ α n χ n και οι περιορισμοί β 1,1 χ 1 + β 1,2 χ β 1,n χ n  c 1 β 2,1 χ 1 + β 2,2 χ β 2,n χ n  c β m,1 χ 1 + β m,2 χ β m,n χ n  c m

Το αντίστοιχο δυϊκό πρόβλημα σχετίζεται με την εύρεση των μη αρνητικών δυϊκών μεταβλητών y1, y y m, οι οποίες ονομάζονται σκιώδεις τιμές ΕλαχΖ΄ = c 1 y 1 + c 2 y c m y m με τους εξής περιορισμούς: β 1,1 y 1 + β 2,1 y β m,1 y m  α 1 β 1,2 y 1 + β 2,2 y β m,2 y m  α β 1,n y 1 + β 2,n y β m,n y m  α n