ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών (8η Άσκηση) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο – Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων

Παρατηρημένα δεδομένα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION –INDUCTION) Ο Αριστοτέλης δίδαξε ότι κάθε πεποίθηση προέρχεται είτε από συλλογισμό είτε από επαγωγή (Αναλυτικά Πρότερα, Βιβλίο 2, Κεφαλαίο 23) Η αποδάσωση προκαλεί αύξηση του συντελεστή απορροής Η πλημμυρική απορροή αυξάνεται με την αποδάσωση Δεδομένο Μοντέλο Συλλογισμός Deduction Αναμενόμενα δεδομένα Δεδομένα (γεγονότα, φαινόμενα) Υπόθεση (εικασία, θεωρία, μοντέλο) …… Συλλογισμός Deduction Επαγωγή Induction ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Έχει παρατηρηθεί ότι σε αποδασωμένες λεκάνες αυξάνεται η πλημμυρική απορροή Η πλημμυρική απορροή αυξάνεται με την αποδάσωση Επαγωγικό Μοντέλο Επαγωγή Induction Παρατηρημένα δεδομένα

ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες μέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας βασίζονται στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική δεδομένου ότι: Η τύχη είναι άμεσα συνδεδεμένη με τα υδρολογικά φαινόμενα (πλημμύρες, ξηρασίες) με αποτέλεσμα να περιγράφονται σε μικρό ή μεγάλο βαθμό από τη θεωρία των πιθανοτήτων Η τεχνική υδρολογία στηρίζεται σε μετρήσεις φυσικών μεταβλητών που η επεξεργασία τους προϋποθέτει τη χρήση στατιστικών μεθόδων (έλεγχος των σφαλμάτων των μετρήσεων, συμπλήρωση ελλείψεων ιστορικών δειγμάτων και κυρίως επέκταση χρονοσειρών) Η λήψη αποφάσεων για το σχεδιασμό και τη βέλτιστη λειτουργία των υδραυλικών έργων και των υδατικών συστημάτων γενικότερα, γίνεται πάντοτε υπό καθεστώς αβεβαιότητας, η οποία μπορεί να ποσοτικοποιηθεί με την θεωρία των πιθανοτήτων Σημειώνεται ότι η χρήση των πιθανοτήτων δεν μπορεί να υποκαταστήσει την έλλειψη μετρήσεων των υδρολογικών μεταβλητών ή την έλλειψη αξιοπιστίας σε αυτές, χωρίς τις οποίες είναι αδύνατη η εφαρμογή οποιασδήποτε προσέγγισης.

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Προσδιοριστική - Στατιστική - Στοχαστική προσέγγιση Προσέγγιση της απορροής Προσδιοριστική Στατιστική Στοχαστική Χρονική κλίμακα Χωρική κλίμακα Ικανοποιητική μοντελοποίηση Ανεπαρκής μοντελοποίηση

ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΣΤΗ ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΕΝΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ Προσδιοριστική - Στατιστική προσέγγιση Σύστημα που περιγράφεται μόνο από τη μεταβλητή Xt από τη σχέση: Xt=k*xt-1*(1-xt-1) όπου t ο χρόνος Χρονική εξέλιξη Χ1t, X2t Με ελάχιστα διαφορετικές αρχικές συνθήκες X1o=0.660001 X2o=0.66 και για k=3.7 Χρονική εξέλιξη Χ1t-X2t

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Σχήμα στατιστικών επεξεργασιών ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΝΠ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Τι πιθανότητα έχει να εμφανιστεί μια τιμή σε συγκεκριμένο διάστημα Σε τι τιμή αντιστοιχεί κάποια πιθανότητα Δειγματοληψία ΔΕΙΓΜΑ (ΝΔ < ΝΠ) Εκτίμηση πιθανοτικών μεγεθών Συμπύκνωση πληροφορίας ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Μέση τιμή Τυπική απόκλιση Συντελεστής διασποράς Συντελεστής ασυμμετρίας ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας Επιλογή θεωρητικής κατανομής Στατιστικές δοκιμές καταλληλότητας Μοντελοποίηση

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ0.75) ΔΙΑΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑΚΟ ΕΥΡΟΣ (Χ0.75-Χ0.25) ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΤΙΜΗ (Χ0.5) ΚΑΤΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ0.25) ΜΕΓΕΘΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ 1.5*(Χ0.75-Χ0.25) ΕΩΣ 3* (Χ0.75-Χ0.25) Χ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ > 3* (Χ0.75-Χ0.25) ΜΑΚΡΙΝΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ (ροπή τάξης 1) (κεντρική ροπή τάξης 2) Χ1..Χn : Οι τιμές της μεταβλητής n : Αριθμός δεδομένων δείγματος

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ

Ιστόγραμμα σχετικής συχνότητας Αθροιστικό ιστόγραμμα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Ιστόγραμμα σχετικής συχνότητας Αθροιστικό ιστόγραμμα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Χ τυχαία μεταβλήτη Συνάρτηση κατανομής (πιθανότητα μη υπέρβασης) H πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να είναι μικρότερη ή ίση της δεδομένης τιμής x Πιθανότητα υπέρβασης H πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να είναι μεγαλύτερη της δεδομένης τιμής x Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ν: το σύνολο των στοιχείων του δείγματος nx: o αριθμός των τιμών του δείγματος που δεν υπερβαίνουν την τιμή χ Fx(800)=18/25=0.72=72% F1(800)=7/25=0.28=28% Όμως: Fx(1000)=25/25=1=100% F1(1000)=0/25=0=0% Για αυτό:

ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ≠

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ - ΔΙΑΚΙΝΔΥΝΕΥΣΗ Περίοδος επαναφοράς,Τ μιας δεδομένης τιμής x της τυχαίας μεταβλητής Χ είναι ο μέσος αριθμός χρονικών διαστημάτων (εν προκειμένω υδρολογικών ετών) που μεσολαβεί μεταξύ 2 διαδοχικών εμφανίσεων της τυχαίας μεταβλητής με μέγεθος μεγαλύτερο ή ίσο της δεδομένης τιμής x. Πιθανότητα υπέρβασης σε ένα έτος: F1=1/Τ Πιθανότητα μη υπέρβασης σε ένα έτος: F=1-F1=(1-1/Τ) Πιθανότητα μη υπέρβασης σε n έτη: (1-1/Τ)n Διακινδύνευση είναι η πιθανότητα R να πραγματοποιηθεί μέσα σε n έτη τιμή που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ. Πιθανότητα υπέρβασης σε n έτη (Διακινδύνευση): R=1-(1-1/Τ)n Παράδειγμα Τ=50 έτη, n=10 έτη R=1-(1-1/50)10=0.18=18%

ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Φειδωλία (Parsimony) και Αποτελεσματικότητα (Efficiency) Παρατηρημένα δεδομένα Προσαρμογή Υ=f(X): 1. Συνάρτησης 5ου βαθμου 2. Συνάρτησης 1ου βαθμου Y X 1. Υ=0.38*Χ5-4.02*Χ4+11.92*Χ3+ +0.37*Χ2-36.08*Χ+33.72 2. Υ=3.6*Χ+0.8

ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ Φειδωλία (Parsimony) και Αποτελεσματικότητα (Efficiency) Πρόβλεψη συνάρτησης 5ου βαθμού Για Χ=1.5 Υ=2.43 Για Χ=4.5 Υ=11.37 Για Χ=5.5 Υ=55.06 Για Χ=6.0 Υ=140.95

Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Κατανομής Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Όρια εμπιστοσύνης ST η τυπική απόκλιση του xT Z(1+α)/2 η μεταβλητή της τυποποιημένης κανονικής κατανομής όταν το επίπεδο είναι α% η τυπική απόκλιση του δείγματος N ο αριθμός των παρατηρήσεων του δείγματος

Βήματα Προσαρμογής Κανονικής Κατανομής Εύρεση στατιστικών χαρ/κών δείγματος (μέση τιμή, τυπική απόκλιση). Κατάταξη δείγματος σε φθίνουσα σειρά και αρίθμηση των παρατηρήσεων. Προσδιορισμός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T=(N+1)/m. Υπολογισμός πιθανότητας μη υπέρβασης F = 1-1/T (εμπειρική). Εύρεση τυποποιημένης μεταβλητής Ζ από πίνακα για κάθε F. Εκτίμηση τιμών μεταβλητής από τα Ζ. Σχεδίαση θεωρητικής κατανομής και δείγματος με τα Ζ στον οριζόντιο άξονα. Έλεγχος x2 για την καταλληλότητα της κατανομής.

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Σε δείγμα τιμών Χi με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Κανονική κατανομή Σε δείγμα τιμών Χi με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ η παράμετρος z=(Xi-μ)/σ ακολουθεί κανονική κατανομή με μ=0, σ=1 (τυπική κανονική κατανομή) Δείγμα έχει μ=10, σ=5 και ακολουθεί κανονική κατανομή Ποια είναι η περίοδος επαναφοράς Τ της τιμής Χi=15 z=(15-10)/5=1 Ποια είναι η τιμή Χi που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ = 1.5 έτη F=1-(1/1.5)=0,333 z=1 Πίνακας (0,1) Για F=1-0.333 z=0.43 Για F=0.333 z=-0.43 F=84,1% F=33.3% Πίνακας (0,1) z=1, F=0,8413 z=-0.43 Τ=1/(1-0,8413) ≈ 6 έτη (Xi-10)/5=-0.43 άρα Xi=7.85

ΠΑΡΑΓΩΓΗ 3 ΕΤΗΣΙΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 1000 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Η ΚΑΘΕ ΜΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΥΔΡΟΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑΣ Α Απόθεμα: 20 hm3 Μέση τιμή εισροής: 100 hm3 Τυπική απόκλιση εισροής: 30 hm3 ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑΣ Β Απόθεμα: 10 hm3 Μέση τιμή εισροής: 110 hm3 Τυπική απόκλιση εισροής: 40 hm3 ΥΔΡΕΥΣΗ ΠΟΛΗΣ Μέση τιμή ζήτησης: 200 hm3 Τυπική απόκλιση ζήτησης: 10 hm3 ΠΑΡΑΓΩΓΗ 3 ΕΤΗΣΙΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 1000 ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Η ΚΑΘΕ ΜΙΑ ΙΣΟΖΥΓΙΑ ΑΣΤΟΧΙΕΣ ΕΤΟΣ 1 2 3 4 5 ... 1000 ΤΑΜ. Α 110 94 85 65 130 ... 100 30 ΤΑΜ. Β 105 90 80 110 ... 120 40 ΠΟΛΗ 200 190 210 170 160 ... 220 10 ΑπΑ+ΑπΒ+ΕισΑ+ΕισΒ-Υδρ>=0 20+10+110+105-200=+55 20+10+94+90-190=+24 20+10+85+80-210=-15 20+10+65+80-170=+5 20+10+130+110-150=+120 ............................................ 20+10+110+110-220=+30 ΟΧΙ ΝΑΙ ......... Μέση τιμή Τυπική απόκλιση Σύνολο αστοχιών: 13 Πιθανότητα αστοχίας: 13/1000=1.3%

ΧΑΡΤΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Περίοδος επαναφοράς (έτη) 1.002 1.02 1.2 2 6.2 43.5 500 Πιθανότητα υπέρβασης (%) 99.8% 97.7% 84% 50% 16% 2.3% 0.2% 0.2% 2.3% 16% 50% 84% 97.7% 99.8% Συνάρτηση κατανομής (%)

Βήματα ελέγχου x2 Υπολογίζονται οι παράμετροι της κατανομής που πρόκειται να προσαρμοστεί (για την κανονική κατανομή r=2, μ και σ). Χωρίζεται το δείγμα των στοιχείων σε k ισοπίθανες κλάσεις (κριτήριο συνήθως να έχω τουλάχιστον 5 στοιχεία σε κάθε κλάση). Υπολογίζεται ο βαθμός ελευθερίας της κατανομής ν= k-r-1. Υπολογίζεται η πιθανότητα (pi) μίας τυχαίας τιμής της κατανομής x2 να ανήκει σε κάθε κλάση (γι’ αυτό χρειάζεται τουλάχιστον μία παρατήρηση σε κάθε κλάση). Προσδιορίζεται το Z που αντιστοιχεί στην αθροιστική πιθανότητα κάθε κλάσης και τα όρια των κλάσεων. Υπολογίζεται ο αναμενόμενος (θεωρητικός) αριθμός παρατηρήσεων για κάθε κλάση με τη συγκεκριμένη κατανομή, Ei= n*pi (πολλαπλασιάζεται το pi με το μέγεθος του δείγματος n).

Βήματα ελέγχου x2 Γίνεται καταμέτρηση των πραγματικών παρατηρήσεων Ni από το δείγμα που πέφτουν μέσα σε κάθε κλάση. Υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος, D (όταν η τιμής είναι πολύ μεγάλη, αναμένεται ότι η κατανομή δεν προσαρμόζεται καλά στη x2). D = Σ[(Ni-Ei)2/ Εi] Συγκρίνεται η τιμή της παραμέτρου D με την τιμή που προκύπτει από τους πίνακες x2 για το συγκεκριμένο ν και συγκεκριμένες πιθανότητες - επίπεδα σημαντικότητας α x2α. Η μηδενική υπόθεση (ότι το δείγμα ακολουθεί τη θεωρητική κατανομή στην οποία προσαρμόστηκε (π.χ. την κανονική)) γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α, αν D< x2α.

ΔΟΚΙΜΗ x2 για κανονική κατανομή Αριθμός κλάσεων (k): 5 Βαθμοί ελευθερίας κατανομής χ2: 5-2-1 Πιθανότητα κλάσης (pi): 1/5=20% Αριθμός παραμέτρων κανονικής κατανομής: 2 Θεωρητικός αριθμός σημείων κλάσης (Ν*pi): 30*0.2=6 Αριθμός σημείων ανά κλάση (Νi) 6 27.7 5 24.0 20.8 7 6 Κλάση 1 2 3 4 5 Ni 6 7 N*pi=Εi (Ni-Εi)2/Εi 0,167 D = 0,33 17.1 6 20 % 20 % 20 % 20 % 20 %

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ Η μεταβλητή χ2 ακολουθεί την κατανομή χ2 με 2 βαθμούς ελευθερίας Από τα δεδομένα του δείγματος υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος D Η μηδενική υπόθεση (Η0) ότι ‘το δείγμα ακολουθεί κανονική κατανομή’ γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α αν D<χ2α Q0.01 = 9.2 Q0.05 = 6.0 Q0.1 = 4.6 D = 0,33 Το D (0.33) είναι μικρότερο από το χ2α για τα συνήθη επίπεδα σημαντικότητας 1% (9.2), 5% (6.0), 10% (4.6). Άρα η μηδενική υπόθεση (Η0) ότι ‘το δείγμα ακολουθεί κανονική κατανομή’ γίνεται δεκτή στα συνήθη επίπεδα σήμαντικότητας.

ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ x2 Μ.Α. Μιμίκου, Τεχνολογία υδατικών πόρων, Σελίδες 393-401

ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ x2

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσματα δοκιμής x2 (5 κλάσεις) a=1% a=5% a=10% a Παράμετρος D Κανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,5% 4,33 Κανονική (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,5% 4,33 Λογαριθμοκανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 26,4% 2,67 Galton ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 8,3% 3,00 Εκθετική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 16,0% 3,67 Εκθετικήl (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 13,5% 4,00 Γάμμα ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,1% 2,33 Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 8,3% 3,00 Log Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 12,7% 2,33 ΑΤ1-Max (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,1% 2,33 ΑΤ2-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 1,6% 8,33 ΑΤ1-Min (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,5% 4,33 ΑΤ3-Min (Weibull) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 43,5% 1,67 ΓΑΤ-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 12,7% 2,33 ΓΑΤ-Min ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 19,7% 1,67 Pareto ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,7% 1,00 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 12,7% 2,33 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,7% 1,00 ΑΤ1-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 31,1% 2,33 ΑΤ2-Max (L-Ροπές) ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 0,9% 9,33 ΑΤ1-Min ( L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,5% 4,33 ΑΤ3-Min ( L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 43,5% 1,67 Pareto (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 12,7% 2,33 ΓΑΤ-Max (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 9,7% 4,67 ΓΑΤ-Min (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 22,3% 3,00 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 26,4% 2,67 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 22,3% 3,00

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσματα δοκιμής x2 (6 κλάσεις) a=1% a=5% a=10% a Παράμετρος D Κανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 57,2% 2,00 Κανονική (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 57,2% 2,00 Λογαριθμοκανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,5% 7,60 Galton ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 36,8% 2,00 Εκθετική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 4,6% 8,00 Εκθετικήl (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 13,3% 5,60 Γάμμα ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 15,8% 5,20 Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 36,8% 2,00 Log Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,0% 6,00 ΑΤ1-Max (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 15,8% 5,20 ΑΤ2-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 2,7% 9,20 ΑΤ1-Min (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 4,6% 8,00 ΑΤ3-Min (Weibull) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 84,9% 0,80 ΓΑΤ-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 36,8% 2,00 ΓΑΤ-Min ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 67,0% 0,80 Pareto ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,1% 4,40 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,1% 4,40 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 20,2% 3,20 ΑΤ1-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 15,8% 5,20 ΑΤ2-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ 3,8% 8,40 ΑΤ1-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 15,8% 5,20 ΑΤ3-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 84,9% 0,80 Pareto (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,1% 4,40 ΓΑΤ-Max (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 11,2% 6,00 ΓΑΤ-Min (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 42,3% 2,80 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 22,1% 4,40 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 57,2% 2,00

ΔΟΚΙΜΗ Kolmogorov-Smirnov Βασίζεται στη διαφορά μεταξύ της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής Fx(x) και του παρατηρημένου αθροιστικού ιστογράμματος F*(x) F*(Χ(i) )=i/n όπου είναι η i μεγαλύτερη παρατηρημένη τιμή σε δείγμα με μέγεθος n Από τα δεδομένα του δείγματος υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος D Η μηδενική υπόθεση (Η0) ότι ‘το δείγμα ακολουθεί κανονική κατανομή’ γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α αν D<c ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ c Μέγεθος α=0.10 α=0.05 α=0.01 δείγματος 5 0.51 0.56 0.67 10 0.37 0.41 0.49 15 0.30 0.34 0.40 20 0.26 0.29 0.35 25 0.24 0.26 0.32 30 0.22 0.24 0.29 40 0.19 0.21 0.25 >40 1.22/n1/2 1.36/n1/2 1.63/n1/2

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσματα δοκιμής Kolmogorov-Smirnov a=1% a=5% a=10% a DMax Κανονικήl ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 96,9% 0,08 Κανονική (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 96,9% 0,08 Λογαριθμοκανονική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 78,1% 0,11 Galton ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,0% 0,07 Εκθετική ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 18,2% 0,19 Εκθετικήl (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 49,2% 0,14 Γάμμα ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 98,5% 0,08 Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,4% 0,07 Log Pearson III ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 55,1% 0,14 ΑΤ1-Max (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 95,5% 0,09 ΑΤ2-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 5,0% 0,24 ΑΤ1-Min (Gumbel) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 42,6% 0,15 ΑΤ3-Min (Weibull) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 100,0% 0,06 ΓΑΤ-Max ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,0% 0,07 ΓΑΤ-Min ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 100,0% 0,06 Pareto ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 97,0% 0,08 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,5% 0,07 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,2% 0,07 ΑΤ1-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,2% 0,07 ΑΤ2-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 20,5% 0,19 ΑΤ1-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 42,6% 0,15 ΑΤ3-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 99,9% 0,06 Pareto (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 97,5% 0,08 ΓΑΤ-Max (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 54,7% 0,14 ΓΑΤ-Min (κ καθ.) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 76,2% 0,11 ΓΑΤ-Max (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 78,8% 0,11 ΓΑΤ-Min (L-Ροπές) ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. ΔΕΝ ΑΠΟΡ. 76,2% 0,11

Προσαρμογή κανονικής κατανομής ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρμογή κανονικής κατανομής ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Προσαρμογή 16 θεωρητικών κατανομών ΜΕΣΕΣ ΕΤΗΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΕΣ Προσαρμογή 16 θεωρητικών κατανομών Κανονική κατανομή (Gauss) Kατανομή Gumbel μεγίστων