Υπολογιστική Μοντελοποίηση στη Βιοϊατρική Τεχνολογία Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2013

Μεταφορά θερμότητας, Ρευστομηχανική και Ροή Υγρού μέσω Πορώδους Παραμορφώσιμου Μέσου.

Θερμική Αγωγιμότητα Η ενέργεια θερμότητας διαδίδεται μέσω ενός συνεχούς μέσου όταν υπάρχει διαφορά θερμοκρασίας στο μέσο. Σε ένα στερεό, αυτή η διάδοση ονομάζεται θερμική αγωγιμότητα ενώ σε ένα υγρό ονομάζεται μεταφορά θερμότητας αντίστοιχα. Θεμελιώδεις σχέσεις Η διαφορική εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας στηρίζεται στην ισορροπία της εσωτερικής ενέργειας σε ένα στοιχειώδη όγκο του υλικού dV: (1) όπου ο ρυθμός μεταβολής της εσωτερικής ενέργειας και ο ρυθμός μεταφοράς ενέργειας ως θερμότητα.

Θερμική Αγωγιμότητα Ο ρυθμός μεταβολής της εσωτερικής ενέργειας εκφράζεται και μέσω του ρυθμού μεταβολής της θερμοκρασίας ( ) ως: (2) όπου ρ [kg/m3] η πυκνότητα του υλικού, c η ειδική θερμότητα [J/kgK] και Τ [Κ] η θερμοκρασία. Το διάνυσμα ροής θερμότητας q με συνιστώσες qi (ή qx, qy, qz στο σύστημα συντεταγμένων x,y,z όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα) δίνεται με τη χρήση του νόμου Fourier για τη θερμική αγωγιμότητα: (3) όπου k ο πίνακας θερμικής αγωγιμότητας:

Θερμική Αγωγιμότητα όπου ki (or kx, ky, kz ) [W/m K] οι συνιστώσες θερμικής αγωγιμότητας που αντιστοιχούν σε ένα ορθότροπο μέσο. Για ισότροπο μέσο ki=k. Ένα πεδίο ορισμού θερμοκρασίας (Β) με συνοριακές συνθήκες στις επιφάνειες: ST – επιφάνεια με καθορισμένη θερμοκρασία, ST0 – επιφάνεια με δοσμένη περιβάλλουσα θερμοκρασία και Sq – δοσμένη ροή μέσω της επιφάνειας. Στοιχειώδης όγκος υλικού με ροές θερμότητας μέσω των επιφανειών και της πηγής θερμότητας qv [W/m3].

Θερμική Αγωγιμότητα Η εξίσωση (1) μετατρέπεται τελικά στην ακόλουθη μορφή: (4) όπου έχουμε υποθέσει ότι οι συντελεστές θερμικής αγωγιμότητας ki εξαρτώνται από τη θερμοκρασία.

Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Σταθερή μεταφορά θερμότητας πλευρικά διαμέσου μακριού αγωγού Ομοιόμορφες θερμοκρασίες και δίνονται κατά μήκος των πλευρών. Δεν υπάρχει μεταφορά θερμότητας κατά άξονα (2D πρόβλημα με άξονα συμμετρίας) τότε: Το σχήμα (b) δείχνει τη λύση στον άξονα συμμετρίας για: k=1[W/mK],

Παραδείγματα Παράδειγμα 2. Μη-σταθερή μεταφορά θερμότητας διαμέσου ημι-απεριόριστου μέσου Αρχικά ροή θερμότητας θεωρείται στην είσοδο του στερεού. Η μεταφορά γίνεται κάθετα στην επιφάνεια που ορίζει ο άξονας x. Η λύση δίνεται από: Όπου (b): Αύξηση της θερμοκρασίας σε σχέση με το χρόνο στην επιφάνεια (c): Μείωση της θερμοκρασίας κατά μήκος του άξονα x.

Διάχυση Διάχυση είναι μια διαδικασία μεταφοράς μάζας διαμέσω ενός μίγματος πολλών συστατικών. Διαφορικές εξισώσεις διάχυσης σφ Στοιχειώδης όγκος ενός μίγματος. Υπάρχουν διάφοροι ορισμοί συγκέντρωσης ενός συστατικού σε ένα μίγμα. Οι δυο σημαντικότεροι είναι η συγκέντρωση μάζας και η συγκέντρωση όγκου.

Διάχυση Η συγκέντρωση μάζας cmj, η μερική πυκνότητα ρj του στοιχείου j και η πυκνότητα του μίγματος ρ ορίζονται από: (5) όπου Δmj και Δm είναι οι στοιχειώδεις μάζες των στοιχείων και του μίγματος σε έναν στοιχειώδη όγκο μίγματος ΔV αντίστοιχα. Οι σχέσεις που προκύπτουν είναι: (6) Εισάγουμε επίσης το μέγεθος πυκνότητα στοιχείου(υλικού) που κατέχει έναν όγκο ΔVj στον όγκο ΔV και επακόλουθα τη συγκέντρωση όγκου cvj : (7)

Διάχυση Ο νόμος του Fick’s Ο νόμος του Fick δηλώνει ότι η ροή μάζας ενός στοιχείου “j”, qmj [kg/m2s], έχει την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά με τη χωρική κλίση της συγκέντρωσης του στοιχείου και εκφράζεται ως: (8) όπου ο συντελεστής διάχυσης. Εάν χρησιμοποιείται η συγκέντρωση όγκου, τότε ο νόμος του Fick μετατρέπεται ως εξής: (9) Θεμελιώδεις σχέσεις διάχυσης Από την εξίσωση συνέχειας για ένα στοιχείο “j” σε αναλογία με την εξαγωγή της εξίσωσης (4) για τη θερμική αγωγιμότητα και με την αντικατάσταση του νόμου Fourier με το νόμο Fick παίρνουμε:

Διάχυση (10) Έτσι, έχουμε την εξίσωση συνέχειας για κάθε στοιχείο του μίγματος. Εάν ο αριθμός στοιχείων είναι Μ, τότε ο αριθμός εξισώσεων προς επίλυση είναι Μ-1 επειδή το άθροισμα των συγκεντρώσεων είναι ίσο με τη μονάδα. Αλλαγές στις συγκεντρώσεις μάζας των στοιχείων προκαλούν αλλαγές στην πυκνότητα του μίγματος. Στην περίπτωση ενός αραιωμένου διαλύματος, έχουμε έναν διαλύτη(ασυμπίεστο υγρό) ως κυρίαρχο μέσο σε ότι αφορά τη μάζα με ένα μικρό ποσοστό μάζας να ανήκει στα στοιχεία. Έπειτα, μπορεί να θεωρηθεί ότι η πυκνότητα του μίγματος είναι σταθερή και οι εξισώσεις ισορροπίας της μάζας μπορούν να γραφτούν ως εξής: (11)

Παραδείγματα Παράδειγμα 3. Διάχυση μίας διάστασης σε μη-σταθερό πρόβλημα Για έχουμε: όπου D σταθερά. Εφαρμόζοντας τη συνοριακή συνθήκη: Έχουμε τη λύση: Αρχική συγκέντρωση και συγκέντρωση για t=5

Ροή ενός ασυμπίεστου ρευστού υψηλού ιξώδους με μεταφορά θερμότητας και μάζας. Τα βιολογικά ρευστά μπορούν να θεωρηθούν ασυμπίεστα και υψηλού ιξώδους. Οι θεμελιώδεις σχέσεις για αυτά τα ρευστά είναι: η εξίσωση συνέχειας και οι εξισώσεις ισορροπίας γραμμικής ορμής. Για την εξαγωγή των θεμελιωδών σχέσεων εισάγουμε έναν όγκο αναφοράς που αναπαριστά έναν χωρικά σταθερό στοιχειώδη όγκο με διαστάσεις dx, dy, dz μέσω του οποίου γίνεται η ροή. Ο όγκος αναφοράς περιβάλλει το σημείο με συντεταγμένες x, y, z στο χώρο. Στόχος της ρευστομηχανικής είναι ο προσδιορισμός της χωρικής μεταβολής των μεταβλητών των ρευστών όπως η πίεση και η ταχύτητα.

Ροή ενός ασυμπίεστου ρευστού υψηλού ιξώδους με μεταφορά θερμότητας και μάζας. Θεμελιώδεις σχέσεις της ροής και της μεταφοράς μάζας και θερμότητας Το προηγούμενο σχήμα (a) δείχνει έναν όγκο αναφοράς σε ένα πεδίο ροής ενώ το (b) δείχνει τη μεγέθυνσή του με ροές μάζας διαμέσου των στοιχειωδών επιφανειών. Η πυκνότητα του υγρού είναι ρ και οι συνιστώσες της ταχύτητας είναι οι . Η εξίσωση διατήρησης της μάζας στον όγκο αναφοράς οδηγεί στην εξίσωση συνέχειας: (12) όπου η ονομαζόμενη ολική(υλικού) παράγωγος της πυκνότητας ρ. Η παράγωγος υλικού οποιουδήποτε μεγέθους ενός ρευστού χρησιμοποιείται με την Eulerian μορφή που είναι: (13)

Ροή ενός ασυμπίεστου ρευστού υψηλού ιξώδους με μεταφορά θερμότητας και μάζας. Η παράγωγος είναι η τοπική παράγωγος στο χωρικό σημείο(υποθέτοντας ακινησία του ρευστού) και ο όρος αναπαριστά το κομμάτι μεταφοράς θερμότητας της παραγώγου του υλικού που περιλαμβάνει την κίνηση του ρευστού. Στην περίπτωση που το ρευστό είναι ασυμπίεστο, η πυκνότητα είναι σταθερή οπότε: (14) Το βαθμωτό γινόμενο του και ενός διανύσματος ονομάζεται απόκλιση του διανύσματος. Άρα η εξίσωση συνέχειας για ένα ασυμπίεστο ρευστό εκφράζεται από τη συνθήκη ότι η απόκλιση της ταχύτητας ισούται με μηδέν σε κάθε σημείο του ρευστού.

Ροή ενός ασυμπίεστου ρευστού υψηλού ιξώδους με μεταφορά θερμότητας και μάζας. Θεμελιώδεις σχέσεις Οι τάσεις σij που δρουν σε ένα στοιχείου του ρευστού μπορούν να αναλυθούν σε πίεση p και σε ιξώδεις τάσεις τij. Έτσι προκύπτει: (15) όπου το δέλτα Kronecker. Όπως και στα στερεά, θεωρούμε ότι η εφελκυστική τάση είναι θετική. Οι συνιστώσες της ιξώδους τάσης είναι ανάλογες με τους ρυθμούς παραμόρφωσης : (16) όπου ο συντελεστής ιξώδους (ή δυναμικό ιξώδες).

Ροή ενός ασυμπίεστου ρευστού υψηλού ιξώδους με μεταφορά θερμότητας και μάζας. Οι εξισώσεις Navier-Stokes Οι εξισώσεις αυτές αντιπροσωπεύουν τις εξισώσεις της ισορροπίας γραμμικής ορμής. Επειδή χρησιμοποιείται η Eulerian περιγραφή της κίνησης του ρευστού, είναι απαραίτητο να εφαρμόσουμε την παράγωγο του υλικού για την αξιολόγηση του αδρανειακού όρου. Έτσι, οι εξισώσεις κίνησης είναι: (17) όπου οι συνιστώσες της ογκομετρικής δύναμης. Αντικαθιστώντας τις θεμελιώδεις σχέσεις για τις ιξώδεις τάσεις παίρνουμε: (18)

Ροή ενός ασυμπίεστου ρευστού υψηλού ιξώδους με μεταφορά θερμότητας και μάζας. Μεταφορά θερμότητας με διάδοση Για να παράγουμε την εξίσωση για τη θερμική αγωγιμότητα σε ένα ρευστό αντικαθστούμε την παράγωγο του χρόνου με την παράγωγο του υλικού παίρνοντας τελικά: (19) Διάχυση με μεταφορά Όπως και στη μεταφορά θερμότητας με διάδοση, αντικαθιστούμε την παράγωγο του χρόνου με την παράγωγο του υλικού και καταλήγουμε με τις εξισώσεις διάχυσης για κάθε αραιωμένο στοιχείο: (20) Σε πρακτικές εφαρμογές επιλύουμε τις ταχύτητες του ρευστού και χρησιμοποιούμε το πεδίο ταχυτήτων για τις θερμοκρασίες ή τις συγκεντρώσεις με τις αντίστοιχες αρχικές και συνοριακές συνθήκες.

Παραδείγματα Παράδειγμα 4. Σταθερή ροή δύο διαστάσεων ανάμεσα σε δύο παράλληλους επίπεδα Η ροή είναι γνωστή ως Poiseuille. Έχουμε: η οποία ικανοποιείται όταν κάθε ένας από τους όρους είναι ίσος με την ίδια σταθερά. Άρα: ή Τελικά έχουμε:

Παραδείγματα Παράδειγμα 4. Μη-σταθερή ροή ρευστού σε πλάκα Το ρευστό κινείται λόγω της κίνησης της πλάκας με ταχύτητα Για y = -∞ η ταχύτητα είναι μηδέν. Επειδή η ροή είναι παράλληλη στην πλάκα, ο όρος της μεταφοράς παραλείπεται και για σταθερή πίεση έχουμε: όπου . Η αναλυτική λύση είναι:

Παραδείγματα Παράδειγμα 5. Εξίσωση γραμμικής μεταφοράς – διάχυσης Αν στις εξισώσεις μεταφοράς θερμότητας με μετάδοση και διάχυσης με μετάδοση θεωρήσουμε όλες τις παραμέτρους των υλικών ίσες με μονάδα έχουμε: ισχύει για 1D προβλήματα μετάδοσης και διάχυσης της θερμότητας Όπου u η θερμοκρασία ή η συγκέντρωση. Επίσης (ταχύτητα ίση με τη μονάδα ως αρχική συνθήκη) Η αναλυτική λύση είναι: Αρχικές συνθήκες Λύση για διάφορους χρόνους

Ροή διαμέσου πορώδους παραμορφώσιμου μέσου Θεμελιώδεις σχέσεις Θεωρούμε ένα στερεό από πορώδες υλικό. Οι πόροι του είναι γεμισμένοι από ρευστό. Υποθέτουμε πως το στερεό παραμορφώνεται ενώ το ρευστό κινείται σε σχέση με το στερεό. Έστω ότι η παραμορφωμένη κατάσταση σε χρόνο t είναι tΒ όπως φαίνεται στο σχήμα: Η τρέχουσα θέση ενός υλικού σημείου Ρ είναι tr. Τα φυσικά μεγέθη στο σημείο που περιγράφουν την παραμόρφωση του στερεού και του υγρού είναι: η μετατόπιση του στερεού u, η σχετική ταχύτητα του ρευστού σε σχέση με το στερεό q και η πίεση του ρευστού p.

Ροή διαμέσου πορώδους παραμορφώσιμου μέσου Οι θεμελιώδεις σχέσεις του συνδυασμένου προβλήματος είναι οι εξής: Η εξίσωση ισορροπίας του στερεού: (21) όπου s η τάση στη φάση του στερεού, n το πορώδες, k ο πίνακας διαπερατότητας, s η πυκνότητα του στερεού, b η δύναμη ανά μονάδα μάζας και η επιτάχυνση του στερεού υλικού. Η εξίσωση ισορροπίας του ρευστού είναι: (22) όπου p είναι η πίεση του ρευστού στους πόρους, η πυκνότητα του ρευστού και η επιτάχυνση του ρευστού. Χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ της ταχύτητας Darcy q και της ταχύτητας του ρευστού : (23)

Ροή διαμέσου πορώδους παραμορφώσιμου μέσου Μετασχηματίζουμε την σχέση (22) σε: (24) Πολλαπλασιάζοντας την (24) με n και προσθέτοντάς την στην (20) παίρνουμε: (25) όπου σ η συνολική τάση που μπορεί να εκφραστεί σε σχέση με τα s και p ως: (26) η πυκνότητα του μίγματος. Το m είναι ένα σταθερό διάνυσμα που ορίζεται ως που υποδεικνύει ότι η πίεση συνεισφέρει μόνο στις ορθές τάσεις.

Ροή διαμέσου πορώδους παραμορφώσιμου μέσου Ακόμη, υπάρχει η θεμελιώδης σχέση για το στερεό: (27) όπου CE ο θεμελιώδης ελαστικός πίνακας για το στερεό, e η συνολική παραμόρφωση και ep η παραμόρφωση του στερεού λόγω πίεσης: (28) όπου Ks το bulk modulus του στερεού και η ενεργή τάση που ορίζεται με: (29) Ακόμη, η εξίσωση συνέχειας του ρευστού μπορεί να γραφτεί ως: (30)

Ροή διαμέσου πορώδους παραμορφώσιμου μέσου Η εξίσωση (30) είναι γραμμένη για την ισχύουσα κατάσταση και το ισχύων πορώδες n. Στην ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων όμως, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και η αλλαγή στο πορώδες. Για να βρούμε την αλλαγή στο πορώδες, γράφουμε την εξίσωση συνέχειας του ρευστού ως: (31) Με τη χρήση της θεμελιώδους σχέσης για το ρευστό: όπου Kf το μέτρο συμπιεστότητας του ρευστού, η (31) γίνεται: (32) Αυτή εξίσωση συσχετίζει τις αλλαγές στη ταχύτητα Darcy, την πίεση και το πορώδες.

Παραδείγματα Παράδειγμα 6. 1D παραμόρφωση λόγω θλίψης ανθρώπινου τμήματος σπονδυλικής στήλης Θεωρούμε σωλήνα γεμάτο με ποροελαστικό υλικό, σταθερό στη βάση και ασκούμενο πίεση από την πάνω άκρη (a). Το ρευστό δεν μπορεί να φύγει πέρα από το σωλήνα ή από τη βάση του. Η αναλυτική λύση της παραμόρφωσης της κορυφής (b) δίνεται από: όπου: