Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Χρωματισμός Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 6: Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (1) Χρωματισμός (coloring) ενός γράφου είναι η απόδοση χρωμάτων στις κορυφές του ώστε να μην υπάρχουν γειτονικές κορυφές με το ίδιο χρώμα Θα μιλήσουμε για χρωματισμό κορυφών-ακμών-περιοχών Χρωματική τάξη (color class): σύνολο κορυφών με το ίδιο χρώμα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (2) Ο παρακάτω γράφος είναι ο κυκλικός γράφος C7 ο οποίος έχει χρωματιστεί με 3 χρώματα. Στον αριστερό χρωματισμό χρησιμοποιούνται οι χρωματικές τάξεις {v1,v3,v5},{v2,v4,v6},{v7} ενώ στον δεξιό οι χρωματικές τάξεις {v1,v4},{v2,v5,v7},{v3,v6}. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (3) Ένας γράφος χωρίς βρόχους λέγεται k-χρωματίσιμος (k-colorable) αν οι κορυφές του μπορούν να χρωματισθούν με k το πολύ χρώματα Γράφος k-χρωματικός (k-chromatic): οι κορυφές του μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-1. Άρα ένας k-χρωματικός δεν είναι (k-1)-χρωματίσιμος. Το k λέγεται χρωματικός αριθμός Χρωματικός αριθμός (chromatic number): είναι ο μικρότερος αριθμός χρωμάτων χ(G)=k που χρειάζονται για να χρωματίσουμε τις κορυφές ενός γράφου έτσι ώστε 2 γειτονικές κορυφές του να έχουν διαφορετικό χρώμα. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (4) Άν ένας γράφος G είναι k-χρωματίσιμος τότε x(G) ≤ k ενώ αν είναι k-χρωματικός τότε x(G) = k Αν ένας γράφος G είναι p-χρωματίσιμος (όπου p>χ(G)), τότε ο γράφος G είναι και r-χρωματίσιμος (όπου p>r>χ(G)) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (5) Γράφος χρωματίσιμος κατά μοναδικό τρόπο (uniquely colorable) είναι εκείνος ο οποίος έχει ένα συγκεκριμένο σύνολο χρωματικών τάξεων, χωρίς να είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα διαφορετικό σύνολο. Π.χ. Ο παρακάτω γράφος έχει τις χρωματικές τάξεις: {v1}, {v2,v4}, {v3,v5} ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (6) Κρίσιμος (critical): χ(Η)<χ(G), για κάθε Η G k-κρίσιμος (k-critical): o G είναι κρίσιμος και k-χρωματικός Θεώρημα 6.1: Αν ο G είναι k-κρίσιμος, τότε d(G)≥k-1 (Με d(G) (D(G))συμβολίζεται ο ελάχιστος (μέγιστος) βαθμός των κορυφών του G) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (7) Κλίκα ενός γράφου G είναι o μέγιστος πλήρης υπογράφος H του G. Η τάξη της κλίκας λέγεται αριθμός της κλίκας ω(G). Τέλειος (perfect) γράφος: αριθμός κλίκας ω(G) = χ(G) (Ο παρακάτω τέλειος γράφος έχει χ(G)=3 και η κλίκα του G είναι ο πλήρης γράφος Κ3, με αριθμό κλίκας ω(G)=3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (8) Γράφος k-χρωματίσιμος ως προς ακμές (k-edge colorable): οι ακμές μπορούν να χρωματιστούν με το πολύ k χρώματα, ώστε 2 ακμές που προσπίπτουν στην ίδια κορυφή να έχουν διαφορετικό χρώμα Γράφος k-χρωματικός ως προς ακμές (k-edge chromatic): οι ακμές μπορούν να χρωματιστούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-1, ενώ το k λέγεται χρωματικός αριθμός ακμών (edge chromatic number) ή χρωματικός κατάλογος (chromatic index) και συμβολίζεται με χ′(G)=k ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (9) Χρωματισμός χαρτών: Να βρεθεί το ελάχιστο πλήθος χρωμάτων που απαιτούνται για να χρωματιστεί ένας χάρτης, έτσι ώστε δύο γειτονικά κράτη να μην έχουν το ίδιο χρώμα. Το πρόβλημα έμεινε άλυτο για 125 χρόνια και έμεινε γνωστό ως η «Εικασία των 4 χρωμάτων» επειδή δεν υπήρχε η σχετική απόδειξη αν και ήταν εμπειρικά γνωστό ότι 4 χρώματα ήταν αρκετά. Γράφος k-χρωματίσιμος ως προς περιοχές (k-region colorable): οι περιοχές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (1) χ(Kn)=n, ο πλήρης γράφος με n κορυφές. Χρωματίζεται με n χρώματα (προφανές) διότι κάθε κορυφή είναι γειτονική με (n-1) κορυφές χ(Νn)=1, μηδενικός γράφος, με m=0 ακμές και n>0 κορυφές. Χρωματίζεται με 1 χρώμα (προφανές) χ(Km,n)=2, για m, n >=1, πλήρης διμερής γράφος. Χρωματίζεται με 2 χρώματα (προφανές) χ(G)=2, αν ο G ≠ Nn δεν περιέχει κύκλο περιττού μήκους. Προφανές χ(Τ)=2, αν το δένδρο Τ έχει n>2 κορυφές. Προφανές αφού ένα δέντρο είναι άκυκλο συνεκτικό γράφημα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (2) χ(C2n)=2 χ(C2n+1)=3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (3) Τροχοειδής γράφος (wheel graph) Wn είναι εκείνος που περιέχει ένα κύκλο τάξης n-1 (Cn-1) και κάθε κορυφή αυτού του κύκλου συνδέεται με μια άλλη κορυφή που ονομάζεται κομβικό σημείο (hub). Οι ακμές του γράφου που περιέχουν το κομβικό σημείο λέγονται ακτίνες (spokes) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (4) χ(W2n)=4 χ(W2n+1)=3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (5) Κάθε 2-χρωματικός γράφος είναι διμερής γιατί οι κορυφές του μπορούν να διαχωριστούν σε 2 υποσύνολα V1 και V2, έτσι ώστε να μην υπάρχει ακμή που να ενώνει κορυφές του ίδιου συνόλου. Κάθε διμερής γράφος δεν είναι 2-χρωματικός. Π.χ ο μηδενικός γράφος Nn με n κορυφές και m=0 ακμές μπορεί να θεωρηθεί διμερής αλλά είναι 1-χρωματικός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (6) Θεώρημα 6.2: Κάθε απλός γράφος μέγιστου βαθμού κορυφών D είναι (D+1)-χρωματίσιμος, δηλαδή χ(G) ≤ D+1 Θεώρημα 6.3 (Brooks 1941): Κάθε απλός, συνδεδεμένος και μη πλήρης γράφος G μέγιστου βαθμού κορυφών D ≥ 3 είναι D-χρωματίσιμος, δηλαδή χ(G) ≤ D Θεώρημα 6.3 (Brooks 1941) Άλλη Διατύπωση: Κάθε απλός και συνδεδεμένος γράφος G που δεν είναι πλήρης (G≠Kn) ούτε είναι ένας κυκλικός γράφος περιττού μήκους (G≠C2n+1) είναι D-χρωματίσιμος, δηλαδή χ(G) ≤ D (D είναι ο μέγιστος βαθμός των κορυφών του γράφου) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (7) Ερώτημα: ποιος είναι ο χρωματικός αριθμός ενός γράφου G; Απάντηση: r ≤ χ(G) ≤ n, αν υπάρχει υπογράφος Kr Πιθανά άνω όρια του χ(G) Ο αριθμός των χρωμάτων σε έναν χρωματισμό κορυφών του G Ο αριθμός των κορυφών n του G D+1, όπου D είναι ο μέγιστος βαθμός των κορυφών του G (Θεώρημα 6.2) D, όπου D είναι ο μέγιστος βαθμός των κορυφών του G (Θεώρημα 6.3- Brooks) με την προϋπόθεση ότι ο G ≠Kn ή Cn(για περιττό n) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (8) Πιθανά κάτω όρια του χ(G) Ο αριθμός των κορυφών r του μέγιστου πλήρους υπογράφου Kr του G Το θεώρημα του Brooks δεν δίνει πάντα ένα καλό πάνω όριο. Π.χ. έστω ο διμερής γράφος K1,12. Τότε από το θεώρημα του Brooks έχουμε χ(G) ≤ 12, ενώ η πραγματική τιμή είναι χ(G) = 2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (9) Άσκηση 1: να προσδιοριστεί ο χρωματικός αριθμός για τον διπλανό γράφο Λύση: Ο G περιέχει τον K4 άρα χ(G)≥4. Επίσης δίπλα δείχνεται ένας χρωματισμός του G με 4 χρώματα. Άρα χ(G)≤4. Συνεπώς χ(G)=4. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (10) Άσκηση 2: Για τον παρακάτω γράφο G, υπολογίστε: Τη μικρότερη τιμή του χ(G) βάση της τάξης του μεγαλύτερου πλήρους υπογράφου Τη μεγαλύτερη τιμή του χ(G) βάση του θεωρήματος του Brook Την τελική τιμή του χ(G)=k καθώς και έναν k-χρωματισμό του G ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (11) Λύση: Επειδή περιέχεται ο πλήρης γράφος K3 ⇒ χ(G)≥3. Από Brook’s ⇒ χ(G) ≤ D=3. Τιμή που προκύπτει από τον παρακάτω χρωματισμό χ(G)=3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (12) Το πρόβλημα της αποθήκευσης ασύμβατων προϊόντων. Μια εταιρία παραγωγής χημικών προϊόντων θέλει να τα αποθηκεύσει σε μια αποθήκη. Μερικά προϊόντα αντιδρούν επικίνδυνα με κάποια άλλα όταν έρθουν σε επαφή. Συνεπώς η αποθήκη πρέπει να διαιρεθεί σε έναν αριθμό περιοχών έτσι ώστε προϊόντα που αντιδρούν επικίνδυνα μεταξύ τους να μη βρίσκονται στην ίδια περιοχή. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (13) Στον παρακάτω πίνακα ένας αστερίσκος δηλώνει ότι το αντίστοιχο ζευγάρι χημικών προϊόντων πρέπει να μην έρθουν σε επαφή και συνεπώς πρέπει να τοποθετηθούν σε διαφορετικές περιοχές. Ερώτημα: ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός περιοχών που απαιτείται για την ασφαλή φύλαξη των προϊόντων; ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (14) a b c d e f g − * ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (15) Όπως παρατηρούμε στον πίνακα τα προϊόντα a, b, c και d πρέπει να τοποθετηθούν σε διαφορετικές περιοχές. Συνεπώς χρειάζονται τουλάχιστον 4 διαφορετικές περιοχές. Οι κορυφές του παρακάτω γράφου αντιστοιχούν αντιστοιχούν στα 7 χημικά προϊόντα. Δύο κορυφές ενώνονται με μια ακμή όταν τα αντίστοιχα προϊόντα πρέπει να τοποθετηθούν σε διαφορετικές περιοχές της αποθήκης. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (16) Αν χρωματίσουμε τις κορυφές του γράφου με τον ελάχιστο αριθμό χρωμάτων έτσι ώστε 2 γειτονικές κορυφές να χρωματιστούν με διαφορετικό χρώμα βρίσκουμε ότι 4 χρώματα αρκούν. Αυτά τα 4 χρώματα αντιστοιχούν σε 4 περιοχές της αποθήκης. Συνεπώς χρειάζονται 4 περιοχές για την ασφαλή φύλαξη των προϊόντων. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (17) Μπορούμε να διαιρέσουμε το σύνολο των προϊόντων σε 4 ξένα μεταξύ τους σύνολα {a, e}, {b, f}, {c}, {d, g} που αντιστοιχούν στις 4 περιοχές της αποθήκης. Και άλλες λύσεις είναι δυνατές ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Επιπεδικών Γράφων (1) Θεώρημα 6.4: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 6-χρωματίσιμος Απόδειξη: Με επαγωγή στον αριθμό των κορυφών n Βήμα 1. Η υπόθεση ισχύει προφανώς για n=1. Επίσης ισχύει για n≤6 Βήμα 2. Υποθέτουμε ότι οι κορυφές όλων των συνδεδεμένων επίπεδων γράφων με λιγότερες από n κορυφές μπορούν να χρωματιστούν με 6 ή λιγότερα χρώματα. Θα δείξουμε ότι ο παραπάνω χρωματισμός είναι εφικτός και για γράφους με n κορυφές ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Επιπεδικών Γράφων (2) Θεώρημα 6.4: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 6-χρωματίσιμος Απόδειξη (συνέχεια): Έστω ότι ο G είναι συνδεδεμένος, επίπεδος και έχει n κορυφές. Τότε από το πόρισμα 5.6 έχουμε ότι ο G περιέχει μια κορυφή v βαθμού d(v)≤5. Αφαιρούμε την v και τις προσκείμενες σε αυτή πλευρές οπότε παίρνουμε τον γράφο H. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Επιπεδικών Γράφων (3) Θεώρημα 6.4: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 6-χρωματίσιμος Απόδειξη (συνέχεια): O γράφος H επειδή έχει n-1 κορυφές μπορεί να χρωματιστεί με 6 το πολύ χρώματα (υπόθεση). Ας ξαναβάλουμε στον H την κορυφή v και τις προσκείμενες σε αυτήν ακμές. Η v έχει το πολύ 5 γειτονικές κορυφές και έχουμε στη διάθεσή μας 6 χρώματα. Οπότε υπάρχει ένα διαθέσιμο χρώμα για την v. Άρα ο G είναι 6-χρωματίσιμος. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Επιπεδικών Γράφων (4) Θεώρημα 6.5: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 5-χρωματίσιμος Θεώρημα 6.6: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 4-χρωματίσιμος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Επιπεδικών Γράφων (5) Εικασία των 4 χρωμάτων (4 color conjecture): Κάθε χάρτης μπορεί να χρωματιστεί με 4 χρώματα Guthrie 1850 (παρατήρηση) DeMorgan 1852 Hamilton 1852 Cayley 1878 (δεν βρήκε λύση) Kempe 1880 (βρήκε λάθος λύση) Heawood 1890 (βρήκε το λάθος της λύσης) Franklin 1920 (για n<=25) Reynolds 1926 (για n<=27) Franklin 1931 (για n<=31) Winn 1943 (για n<=35) Ore-Stemple 1968 (για n<=40) Appel-Haken-Koch 1976 βρήκαν μια λύση ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Χαρτών(1) Θεώρημα 6.8: Ένας επίπεδος απλός γράφος G είναι k-χρωματίσιμος (ως προς τις κορυφές), αν και μόνον αν ο γεωμετρικός δυαδικός γράφος G* είναι k-χρωματίσιμος ως προς τις περιοχές Πόρισμα 6.1: Η εικασία των 4 χρωμάτων για το χρωματισμό των περιοχών χαρτών είναι ισοδύναμη με την εικασία των 4 χρωμάτων για το χρωματισμό των κορυφών επίπεδων γράφων χωρίς βρόχους. Θεώρημα 6.9: Ένας χάρτης G είναι 2-χρωματίσιμος ως προς τις περιοχές αν και μόνον αν είναι Eulerian ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Χαρτών(2) Άσκηση 3: Να χρωματιστεί ο παρακάτω χάρτης με 4 χρώματα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Χαρτών(3) Λύση : Θα μπορούσαμε να αναπαραστήσουμε το χάρτη με έναν γράφο στον οποίο οι κορυφές αντιστοιχούν στις χώρες και οι ακμές ενώνουν γειτονικές χώρες. Ο χρωματισμός των κορυφών του γράφου αντιστοιχεί στο χρωματισμό των περιοχών του χάρτη. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (1) Ο προσδιορισμός του χρωματικού αριθμού είναι δυσχείριστο (intractable) πρόβλημα. Τέτοια προβλήματα είναι εκείνα που δε λύνονται σε πολυωνυμικό χρόνο Ο όρος ευριστικός χρησιμοποιείται για αλγορίθμους που βρίσκουν λύσεις σε κάποιο πρόβλημα αλλά δεν υπάρχει εγγύηση ότι αυτή η λύση είναι η καλύτερη. Μπορούν να θεωρηθούν ότι είναι προσεγγιστικοί και όχι ακριβείς αλγόριθμοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (2) Σειριακός αλγόριθμος (άπληστος): Όλες οι κορυφές αριθμούνται από v1 έως vn. Όλα τα χρώματα αριθμούνται από 1 έως n. H ιδέα συνίσταται στο χρωματισμό των κορυφών μία προς μία ανάλογα με τη σειρά εξέτασής τους και χρησιμοποιώντας το μικρότερο χρώμα που είναι διαθέσιμο, δηλαδή δεν έχει χρησιμοποιηθεί σε γειτονικές κορυφές. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (3) Αλγόριθμος: Σειριακός χρωματισμός γράφου Είσοδος: Ένας γράφος G =(V, E), μια λίστα χρωμάτων 1,2,3,... και μια λίστα τυχαίας ταξινόμησης των κορυφών του Έξοδος: Χρωματισμός του G 1 2 Προσδιόρισε την πρώτη μη-χρωματισμένη κορυφή από τη λίστα της τυχαίας ταξινόμησης των κορυφών. Χρωμάτισέ την με το πρώτο χρώμα από τη λίστα των χρωμάτων με την προϋπόθεση ότι αυτό το χρώμα δεν έχει χρησιμοποιηθεί για το χρωματισμό οποιασδήποτε γειτονικής κορυφής Επανέλαβε Αν χρωματίστηκαν όλες οι κορυφές STOP αλλιώς επανέλαβε το βήμα 1 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (4) Να χρωματιστεί ο παρακάτω γράφος με τη σειριακή μέθοδο αν υποτεθεί ότι η λίστα τυχαίας ταξινόμησης των κορυφών του είναι L = {v1,v2,v4,v3,v5,v6,v7} ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (5) Να χρωματιστεί ο παρακάτω γράφος με τη σειριακή μέθοδο αν υποτεθεί ότι η λίστα τυχαίας ταξινόμησης των κορυφών του είναι L = {v1,v2,v4,v3,v5,v6,v7} ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (6) Ο σειριακός αλγόριθμος έχει πολυπλοκότητα Ο(n*m) Αν οι κορυφές εξεταστούν με διαφορετική σειρά μπορεί να προκύψουν διαφορετικές χρωματικές τάξεις Αν προσπαθήσουμε να χρωματίσουμε έναν διμερή γράφο n κορυφών, λαμβάνοντας τις κορυφές εναλλάξ από τα 2 σύνολα κορυφών τότε θα χρειαστούμε n χρώματα αντί για 2 που αυτός θα μπορούσε να χρωματιστεί. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (7) Πρώτα η μεγαλύτερη (largest first): οι κορυφές ταξινομούνται κατά φθίνουσα τάξη ανάλογα με το βαθμό τους. Σε περίπτωση ισοπαλίας σε σχέση με τους βαθμούς των κορυφών επιλέγεται τυχαία μια υποψήφια κορυφή. Κατόπιν ακολουθείται η σειριακή μέθοδος. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (8) Να χρωματιστεί ο παρακάτω γράφος με τη μέθοδο “πρώτα η μεγαλύτερη”. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (9) Οι κορυφές κατατάσσονται κατά φθίνουσα τάξη βαθμών ως εξής: {v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7} ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (10) Τελευταία η μικρότερη (smallest last): αρχικά οι κορυφές ταξινομούνται κατά φθίνουσα σειρά των βαθμών τους. Σε περίπτωση ισοπαλίας σε σχέση με τους βαθμούς των κορυφών επιλέγεται τυχαία μια υποψήφια κορυφή. Στη συνέχεια η κορυφή με το μικρότερο βαθμό διαγράφεται από το γράφο μαζί με τις προσπίπτουσες ακμές της με σκοπό να χρωματιστεί τελευταία. Παράλληλα ενημερώνονται οι βαθμοί των υπόλοιπων κορυφών και διαγράφεται πάλι η κορυφή με το μικρότερο βαθμό η οποία χρωματίζεται προτελευταία κοκ. Με τον τρόπο αυτό γίνεται μια ταξινόμηση των κορυφών και ακολουθεί ο σειριακός χρωματισμός του γράφου. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (11) Να χρωματιστεί ο παρακάτω γράφος με τη μέθοδο “τελευταία η μικρότερη”. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (12) Οι κορυφές κατατάσσονται αρχικά κατά φθίνουσα τάξη βαθμών ως εξής: {v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}. Μια σειρά κατάταξης των κορυφών (μπορεί να υπάρχουν και άλλες) είναι η {v1, v5, v6 , v4 , v3, v2, v7}. Εφαρμόζοντας το σειριακό χρωματισμό στην προηγούμενη σειρά παίρνουμε: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (13) Η μέθοδος του βαθμού χρώματος (Brelaz): στηρίζεται στην έννοια του βαθμού χρώματος. Βαθμός χρώματος (color degree) μιας κορυφής v ορίζεται ως ο αριθμός των χρωμάτων που χρησιμοποιήθηκαν για το χρωματισμό των γειτονικών κορυφών της v ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (14) Αλγόριθμος: Brelaz με χρήση του βαθμού χρώματος των κορυφών Είσοδος: Ένας γράφος G =(V, E) Έξοδος: Χρωματισμός του G 1 2 3 4 Οι κορυφές ταξινομούνται κατά φθίνουσα σειρά βαθμών Η κορυφή με το μεγαλύτερο βαθμό χρωματίζεται με το χρώμα 1 Επιλέγεται η κορυφή με το μέγιστο βαθμό χρώματος. Αν υπάρχει ισοπαλία τότε επιλέγεται η μη χρωματισμένη κορυφή με το μεγαλύτερο βαθμό στο μη χρωματισμένο γράφο. Η επιλεχθείσα κορυφή χρωματίζεται με το μικρότερο επιτρεπτό χρώμα Αν δεν χρωματίστηκαν όλες οι κορυφές πηγαίνουμε στο βήμα 3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (15) Να χρωματιστεί ο παρακάτω γράφος με τη μέθοδο Brelaz ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (16) Οι κορυφές κατατάσσονται αρχικά κατά φθίνουσα τάξη βαθμών (μπλε χρώμα) ως εξής: {v1(4), v2(4),v3(3),v4(3),v5(3),v6(3),v7(2)}. Η v1 χρωματίζεται με το χρώμα 1 (κόκκινο χρώμα). Οι γειτονικές κορυφές της v1 δηλαδή οι v2,v5, v6, v7 αποκτούν όλες βαθμό χρώματος 1 (πράσινο χρώμα). ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (17) Μεταξύ αυτών επιλέγεται προς χρωματισμό η κορυφή v2 επειδή έχει το μέγιστο βαθμό (4) και χρωματίζεται με το χρώμα 2. Παράλληλα ενημερώνονται οι βαθμοί χρώματος των μη χρωματισμένων γειτονικών κορυφών. Στη συνέχεια χρωματίζεται η v7 (διότι έχει μέγιστο βαθμό χρώματος) με το χρώμα 3. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (18) Στη συνέχεια υποψήφιες είναι όλες οι κορυφές αφού έχουν ίδιο βαθμό χρώματος (1) καθώς και ίδιο βαθμό (3), οπότε επιλέγεται τυχαία η v3 η οποία χρωματίζεται με το χρώμα 1. Στη συνέχεια η v4 χρωματίζεται με το χρώμα 3. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (19) Στη συνέχεια η v5 χρωματίζεται με το χρώμα 2 και τέλος η v6 χρωματίζεται με το χρώμα 3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (1) Το χ′(G)=k λέγεται χρωματικός αριθμός ακμών (edge chromatic number) ή χρωματικός κατάλογος (chromatic index). Έστω ένας γράφος G με μέγιστο βαθμό κορυφών D(G). Είναι προφανές ότι χ′(G) ≥ D(G). Θεώρημα 6.11 (Vizing 1964): Αν G είναι ένας απλός γράφος, τότε ισχύει: D(G) ≤ χ′(G) ≤ D(G) + 1 Είναι άλυτο πρόβλημα ο προσδιορισμός των γράφων που έχουν χρωματικό αριθμό ακμών D(G) και D(G) + 1. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (2) Είναι όμως δυνατό να βρεθεί ο χρωματικός αριθμός ακμών σε ειδικές περιπτώσεις γράφων. Για παράδειγμα: χ(C2n)=2 χ(C2n+1)=3 χ(Wn)=n-1, αν n>=4 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (3) Θεώρημα Konig: Έστω G ένας διμερής γράφος με μέγιστο βαθμό κορυφών D. Τότε χ(G) = D. Άλλη διατύπωση: Θεώρημα 6.12: Για κάθε πλήρη διμερή γράφο ισχύει χ(Km,n)=D(Km,n)=max(m,n) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (4) Θεώρημα 6.12: Για κάθε πλήρη διμερή γράφο ισχύει χ(Km,n)=D(Km,n)=max(m,n) Απόδειξη: Έστω ότι m≥n. Έστω επίσης ότι ο γράφος παριστάνεται γραφικά όπως στο προηγούμενο σχήμα δηλ. οι m κορυφές βρίσκονται επί μιας ευθείας γραμμής, ενώ οι n κορυφές τοποθετούνται χαμηλότερα επί μιας άλλης ευθείας. Ο χρωματισμός του γράφου επιτυγχάνεται χρωματίζοντας διαδοχικά τις ακμές που πρόσκεινται στις n κορυφές κατά την ωρολογιακή φορά και χρησιμοποιώντας τα χρώματα: {1,2,…,m}, {2,3,…,m,1},…,{n,…,m,1,..,n-1}. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (5) Θεώρημα 6.13: Για κάθε πλήρη γράφο Kn ισχύει: χ(Kn) = ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (6) Θεώρημα 6.13: Για κάθε πλήρη γράφο Kn ισχύει: χ(Kn) = Απόδειξη 1#4: Επειδή κάθε κορυφή έχει βαθμό n-1 από το θεώρημα 6.11(Vizing) έχουμε ότι χ′(G)=n ή χ′(G)=n1. Αν το n είναι περιττός τότε το πλήθος των ακμών με ίδιο χρώμα είναι το πολύ (n-1)/2 (π.χ. K3 ή Κ5), διότι διαφορετικά 2 από αυτές τις ακμές (ίδιου χρώματος) συναντώνται σε μια κοινή κορυφή. Αλλά ο πλήρης γράφος Kn έχει ακριβώς n(n-1)/2 ακμές, άρα ο αριθμός των διαφορετικών χρωμάτων των ακμών του πρέπει να είναι τουλάχιστο n. Άρα χ′(G)≥n. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (7) Θεώρημα 6.13: Για κάθε πλήρη γράφο Kn ισχύει: χ(Kn)= Απόδειξη 2#4: Μπορούμε να πάρουμε έναν n-χρωματισμό των ακμών του Kn σχεδιάζοντας τις κορυφές του σαν ένα κανονικό n-γωνο και δίνοντας διαφορετικό χρώμα σε κάθε μία ακμή. Οι υπόλοιπες ακμές χρωματίζονται με το ίδιο χρώμα που είναι χρωματισμένη η παράλληλη ακμή που βρίσκεται στην περίμετρο. Άρα χ(Kn)≤n. Συνεπώς χ(Kn)=n. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (8) Θεώρημα 6.13: Για κάθε πλήρη γράφο Kn ισχύει: χ(Kn)= Απόδειξη 3#4: Αν το n είναι άρτιος θα αποδείξουμε ότι χ(Kn)= n-1, δίνοντας έναν (n-1) χρωματισμό των ακμών του Kn. Αν n=2 αυτό είναι προφανές(χρειαζόμαστε 1 χρώμα). Αν n>2 διαλέγουμε μια κορυφή v του γράφου την οποία τη διαγράφουμε μαζί με όλες τις προσκείμενες σε αυτήν ακμές. Τότε προκύπτει ο γράφος Kn-1 που έχει περιττό πλήθος ακμών και συνεπώς είναι n-1 χρωματικός ως προς τις ακμές όπως αποδείξαμε παραπάνω. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (9) Θεώρημα 6.13: Για κάθε πλήρη γράφο Kn ισχύει: χ(Kn)= Απόδειξη 4#4: Από κάθε κορυφή λείπει ακριβώς ένα χρώμα και όλα αυτά τα χρώματα είναι διαφορετικά μεταξύ τους (βλέπε προηγούμενο σχήμα). Συνεπώς οι ακμές του Kn που πρόσκεινται στην κορυφή v μπορούν να χρωματιστούν με αυτά τα χρώματα που λείπουν. Συνεπώς χ(Kn)=n-1, αν n είναι άρτιος. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (10) Τα προηγούμενα θεωρήματα ισχύουν για απλούς γράφους (χωρίς παράλληλες ακμές και βρόχους). Αν ένας γράφος είναι πολυγράφος (έχει δηλ. παράλληλες ακμές) τότε ορίζουμε ως μέγιστη πολλαπλότητα (maximum multiplicity) m(G) το μέγιστο αριθμό των ακμών του που ενώνουν 2 οποιεσδήποτε κορυφές. Θεώρημα 6.14 (Vizing Extended Version, 1965): Αν G είναι πολυ-γράφος, τότε: D(G) ≤ χ(G) ≤ D(G) + m(G) Θεώρημα 6.15 (Tait, 1880): Ένας χάρτης G είναι 4-χρωματίσιμος ως προς τις περιοχές αν και μόνο αν είναι 3-χρωματίσιμος ως προς τις ακμές ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (11) Θεώρημα Shannon: Έστω G ένας γράφος (μπορεί να είναι και πολυγράφος) με μέγιστο βαθμό κορυφών D. Τότε: D ≤ χ(G) ≤ 3*D/2, αν D άρτιος D ≤ χ(G) ≤ (3*D-1)/2, αν D περιττός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (12) Για να βρούμε το χρωματικό κατάλογο χ(G) ενός γράφου G χωρίς βρόχους βρίσκουμε ένα πάνω και ένα κάτω όριο. Αν αυτά τα 2 όρια είναι ίσα τότε το χ(G) ισούται με αυτή την τιμή. Πιθανά πάνω όρια για το χ(G): Ο αριθμός των χρωμάτων σε έναν χρωματισμό ακμών του G Ο αριθμός των ακμών m του G D+1, από θεώρημα Vizing (αν ο G είναι απλός) D+m(G), από θεώρημα Vizing extended (αν ο G είναι πολυγράφος), m(G) είναι το πλήθος των ακμών που συνδέουν 2 οποιεσδήποτε κορυφές. 3*D/2 ή (3*D-1)/2 από θεώρημα Shannon ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (13) Πιθανά κάτω όρια για το χ(G): D, ο μέγιστος βαθμός των κορυφών του G ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (14) Άσκηση 4: Τι συμπεραίνουμε για τους γράφους G για τους οποίους: χ′(G)=2 Λύση: χ′(G) =2, είναι οι γράφοι που αποτελούνται από συνιστώσες οι οποίες είναι είτε κύκλοι άρτιου μήκους είτε απομονωμένες κορυφές είτε γράφοι μονοπάτια (Pn, n κορυφών, n≥3). Επίσης μια τουλάχιστο συνιστώσα είναι κύκλος άρτιου μήκους ή γράφος μονοπάτι (Pn, n≥3). ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (15) Άσκηση 5: Υπολογίστε τον χρωματικό αριθμό ακμών για τον πλήρη διμερή γράφο K2,3 Λύση: χ′(K2,3) =3, Θεώρημα 6.12 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (15) Άσκηση 6: Για τον πλήρη διμερή γράφο K2,4 να υπολογιστούν: τα πάνω και τα κάτω όρια του χρωματικού καταλόγου χ′(G) σύμφωνα με το Θεώρημα του Vizing, η πραγματική τιμή χ′(G) και ένας χρωματισμός ακμών με χ′(G) χρώματα. Λύση: 4 ≤ χ′(G) ≤ 5. Πραγματική τιμή χ′(G) = 4 (Θεώρημα Konig ή Θεώρημα 6.12). ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (16) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (17) Χρωματισμός καλωδίων Ένας μηχανικός θέλει να κατασκευάσει ένα ταμπλό απεικόνισης (επίδειξης) μέσα στο οποίο πρόκειται να τοποθετηθούν και να διασυνδεθούν ηλεκτρικά στοιχεία a,b,….Τα καλώδια που πρόκειται να συνδεθούν στο στοιχείο a βγαίνουν από μια οπή του ταμπλό, τα καλώδια που πρόκειται να συνδεθούν στο στοιχείο b βγαίνουν από μια άλλη οπή του ταμπλό κ.ο.κ. Για να διακρίνονται τα καλώδια που βγαίνουν μέσα από την ίδια οπή πρέπει να έχουν διαφορετικό χρώμα. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που απαιτούνται; ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (18) Για την επίλυση του προβλήματος αναπαριστάνουμε τα σημεία διασύνδεσης με τις κορυφές ενός γράφου ενώ τα καλώδια με τις ακμές του. Ο επόμενος γράφος αναπαριστά ένα ταμπλό 6 στοιχείων. Επειδή η κορυφή b έχει 5 ακμές προσπίπτουσες σε αυτή και επειδή όλες οι ακμές πρέπει να χρωματιστούν διαφορετικά συμπεραίνουμε ότι απαιτούνται τουλάχιστο 5 χρώματα. Στην πράξη 5 χρώματα είναι αρκετά όπως φαίνεται στον παρακάτω χρωματισμό ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (1) Ερώτηση: Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χρωματίσουμε τις κορυφές ενός γράφου με k χρώματα; Απάντηση: Χρωματικό πολυώνυμο (Birkhoff 1912) ή χρωματική συνάρτηση ονομάζεται ο αριθμός των τρόπων που μπορούν να χρωματιστούν οι κορυφές ενός γράφου G με k χρώματα και συμβολίζεται με PG(k). ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (2) Η χρωματική συνάρτηση του παρακάτω γράφου είναι PG(k)=k(k-1)2. Aπόδειξη: Έστω ότι η μεσαία κορυφή μπορεί να χρωματιστεί με οποιοδήποτε από τα k χρώματα. Τότε οι 2 ακριανές κορυφές μπορούν να χρωματιστούν με οποιοδήποτε από τα απομένοντα k-1 χρώματα. Να αποδειχθούν οι σχέσεις: PNn(k)=kn PT(k)= k(k-1)n-1, αν T είναι δέντρο PKn(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) PG(k)=0 αν k<χ(G) PG(k)>0 αν k≥χ(G) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (3) PNn(k)=kn, γιατί κάθε κορυφή του μηδενικού γράφου μπορεί να χρωματιστεί με οποιοδήποτε από τα διαθέσιμα k χρώματα. PT(k)= k(k-1)n-1, αν T είναι ένα δέντρο n κορυφών. Ξεκινάμε από ένα φύλλο το οποίο μπορεί να χρωματιστεί με οποιοδήποτε από τα k χρώματα. Πηγαίνουμε σε μια γειτονική μη χρωματισμένη κορυφή του φύλλου η οποία μπορεί να χρωματιστεί με οποιοδήποτε από τα υπόλοιπα k-1 χρώματα. Πηγαίνουμε σε μια γειτονική μη χρωματισμένη κορυφή της προηγούμενης κορυφής η οποία μπορεί να χρωματιστεί με οποιοδήποτε από τα υπόλοιπα k-1 χρώματα κ.ο.κ. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (4) PKn(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1), είναι προφανές διότι στον πλήρη γράφο Κn στον οποίο όλες οι κορυφές είναι γειτονικές μεταξύ τους, αν η 1η κορυφή χρωματιστεί με οποιοδήποτε από τα k διαθέσιμα χρώματα, η 2η μπορεί να χρωματιστεί με οποιοδήποτε από τα k-1 διαθέσιμα χρώματα,...,η n-ιοστή με οποιοδήποτε από τα k-(n-1)=k+n-1 διαθέσιμα χρώματα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (5) PG(k)=0 αν k<χ(G), είναι προφανές διότι ο χρωματικός αριθμός χ(G) είναι ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που απαιτούνται για τον κατάλληλο χρωματισμό των κορυφών ενός γράφου G. Άρα αν έχουμε λιγότερα χρώματα στη διάθεσή μας δεν υπάρχει τρόπος να χρωματιστεί ο γράφος. PG(k)>0 αν k≥χ(G), είναι προφανές διότι αν έχουμε περισσότερα χρώματα από τον χρωματικό αριθμό χ(G) τότε σίγουρα θα υπάρχουν κάποιοι τρόποι χρωματισμού ενός γράφου G. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (6) Η εικασία των 4 χρωμάτων μπορεί να εκφρασθεί ως εξής: αν G είναι ένας απλός επίπεδος γράφος τότε PG(4)>0. Για έναν τυχαίο γράφο G δεν είναι εύκολη υπόθεση η εύρεση του χρωματικού πολυωνύμου. Το επόμενο θεώρημα βοηθάει προς αυτή την κατεύθυνση. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (7) Θεώρημα 6.16: Έστω ότι v και w είναι μη γειτονικές κορυφές ενός απλού γράφου G. Αν G1=G+(v,w) και G2=G/(v,w) τότε ισχύει: PG(k)=PG1(k)+PG2(k) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (8) Εφαρμογή του θεωρήματος στο προηγούμενο σχήμα μας δίνει τη σχέση: k(k-1)(k-2)2=k(k-1)(k-2)(k-3)+k(k-1(k-2) Η πράξη + λέγεται σύνδεση (join) ή άθροισμα(sum) (Σελίδα 32). Η πράξη / λέγεται συγχώνευση (fusion, merge) (Σελίδα 35-36). Η αναδρομική εξίσωση του προηγούμενου θεωρήματος μπορεί να γραφτεί και ως εξής: PG1(k)= PG(k) - PG2(k) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (9) Πόρισμα 6.2 (Birkhoff, 1912): Η χρωματική συνάρτηση ενός απλού γράφου G με n κορυφές είναι ένα πολυώνυμο ως προς το k βαθμού n. Επίσης το πολυώνυμο αυτό έχει ακέραιους συντελεστές με εναλλασσόμενα πρόσημα, ως μεγαλύτερο όρο το k και ως σταθερό όρο το 0. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (10) Ας εφαρμόσουμε το προηγούμενο θεώρημα στον παρακάτω γράφο: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (11) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (12) = Κ5+3Κ4+2Κ3. Άρα PG(k) = PK5(k) +3PK4(k) +2PK3(k) = k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4) + 3k(k-1)(k-2)(k-3) + 2k(k-1)(k-2) = k5 – 7k4 + 19k3 – 23k2 + 10k ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ταιριάσματα (Matchings) (1) Αναφέραμε προηγουμένως το πρόβλημα του χρωματισμού καλωδίων και βρήκαμε ότι 5 χρώματα ήταν αρκετά για την επίλυσή του. Ένα ταίριασμα (matching) ενός γράφου G είναι ένα σύνολο ακμών του στο οποίο δεν υπάρχουν 2 ακμές που να προσπίπτουν στην ίδια κορυφή. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ταιριάσματα (Matchings) (2) Κάθε γράφος μπορεί να διασπαστεί σε ταιριάσματα διότι στην απλή περίπτωση αν υπάρχουν m ακμές μπορούν να σχηματιστούν m ταιριάσματα, το καθένα από τα οποία αποτελείται από μια ακμή. Σε μια διάσπαση ακμών ενός γράφου, κάθε ακμή του ανήκει σε ένα μόνο ταίριασμα Το πρόβλημα του προσδιορισμού του ελάχιστου αριθμού ταιριασμάτων για τη διάσπαση ενός γράφου είναι άλυτο. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ταιριάσματα (Matchings) (3) Σύμφωνα με τον παρακάτω χρωματισμό ακμών του γράφου οι ακμές του μπορούν να διασπαστούν στα παρακάτω 5 σύνολα που είναι ξένα μεταξύ τους. Οι ακμές του ίδιου συνόλου χρωματίζονται με το ίδιο χρώμα και αποτελούν ένα ταίριασμα. {af, bc}, {ab, cd, ef}, {ab, de}, {ab, cf, de}, {bc, de} ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ταιριάσματα (Matchings) (4) Το πρόβλημα του προγράμματος εξετάσεων: στο τέλος του ακαδημαϊκού έτους όλοι οι φοιτητές πρέπει να δώσουν εξετάσεις μιας ώρας με κάποιους από τους καθηγητές τους. Πόσες εξεταστικές περίοδοι χρειάζονται; Ας θεωρήσουμε το απλό παράδειγμα που υπάρχουν 4 φοιτητές a, b, c, d και 3 καθηγητές A, B, C. Αναπαριστάνουμε τους φοιτητές και τους καθηγητές με τις κορυφές ενός διμερούς γράφου και ενώνουμε μια κορυφή-φοιτητή με μια κορυφή-καθηγητή όταν ο συγκεκριμένος φοιτητής πρέπει να εξεταστεί από τον συγκεκριμένο καθηγητή. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ταιριάσματα (Matchings) (5) Αν 2 ακμές προσπίπτουν στην ίδια κορυφή τότε οι αντίστοιχες εξετάσεις δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα. Συνεπώς το πρόβλημα ανάγεται σε πρόβλημα διάσπασης σε σύνολα ακμών, στα οποία να μην υπάρχει ζεύγος ακμών που να συναντώνται στην ίδια κορυφή. Δηλαδή θέλουμε διάσπαση σε ταιριάσματα. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ταιριάσματα (Matchings) (6) Στην προκειμένη περίπτωση ο ελάχιστος αριθμός ταιριασμάτων είναι 3 και ένα κατάλληλο χρονοδιάγραμμα των εξετάσεων φαίνεται παρακάτω. Τα αντίστοιχα σύνολα ακμών είναι: {aA, bB, dC}, {aC, bA, cB}, {bC, cA, dB} ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ταιριάσματα (Matchings) (7) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ταιριάσματα (Matchings) (8) Σε παρόμοια προβλήματα χρονοπρογραμματισμού οι αντίστοιχοι γράφοι είναι διμερείς. Συνεπώς τα προβλήματα αυτά ανάγονται στην εύρεση του χρωματικού αριθμού ακμών ενός διμερούς γράφου. Σε αυτό το πρόβλημα δίνεται απάντηση από το Θεώρημα του Konig (χ′(G)=D). Ο ελάχιστος αριθμός ταιριασμάτων ισούται με το χρωματικό αριθμό ακμών του διμερούς γράφου, ο οποίος με τη σειρά του ισούται με το μέγιστο βαθμό κορυφών του γράφου. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων