ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 11/04/13 Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων (Birth- Death), Εξισώσεις Ισορροπίας, Συστήματα Αναμονής Μ/Μ/1

ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη: Η κατανομή Poisson n αφίξεις σε διάστημα Τ με πιθανότητα P n (T) = e –λT (λΤ) n / n ! E T (n) = λT Var T (n) = λΤ Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής Ιδιότητες διαδικασίας Poisson: Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με ρυθμό λ, είναι τ.μ εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson Διάσπαση διαδικασίας Poisson με πείραμα Bernoulli

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Στοχαστικές διαδικασίες Ανεξάρτητες διαδικασίες Στάσιμες διαδικασίες Διαδικασίες Markov P[X(t n+1 )=x n+1 /X(t n )=x n,X(t n-1 )=x n-1,…,X(t 1 )=X 1 ]= =P[X(t n+1 )=X n+1 /X(t n )=x n ] Εργοδικότητα Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων: αποτελούν μια κλάση των διαδικασιών Markov, με την επιπλέον ιδιαίτερη συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις Διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων Ανεξάρτητες αυξήσεις – Στάσιμες αυξήσεις

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Συστήματα και Αλυσίδες Markov διακριτού και συνεχούς χρόνου Πιθανότητες και γράφοι / διαγράμματα μετάβασης Στατικές κατανομές και πιθανότητες καταστάσεων Birth-Death Processes Παραδοχές: –Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων –Εξέλιξη βασισμένη στο παρόν (Markov) Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών –Κατάσταση ισορροπίας (steady state)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Διαδικασία Γεννήσεων – Θανάτων: –Την χρονική στιγμή t όταν το σύστημα καταλήγει σε πληθυσμό n > 0 μπορεί να έχουν προηγηθεί οι ακόλουθες μεταβάσεις από την χρονική στιγμή t-ΔΤ, ΔΤ  0: Μία άφιξη στο διάστημα ΔΤ, με πιθανότητα λ n-1 ΔΤ Μια αναχώρηση, με πιθανότητα μ n+1 ΔΤ Τίποτα από τα δύο, με πιθανότητα 1- (λ n +μ n )ΔΤ –Η εξίσωση μετάβασης (Kolmogorov) προκύπτει από τον τύπο συνολικής πιθανότητας: P n (t) = λ n-1 ΔΤ P n-1 (t-ΔΤ) + μ n+1 ΔΤ P n+1 (t-ΔΤ) + [1- (λ n +μ n )ΔΤ] P n (t-ΔΤ)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Στο όριο, ΔΤ  dt: [P n (t) - P n (t-dt)]/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) – (λ n +μ n )P n (t) ή d P n (t)/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) – (λ n +μ n )P n (t) και σε σταθερή κατάσταση t  οο (αν υπάρχει) : P n (t) = P n : Εργοδικές Πιθανότητες (λ n +μ n )P n = λ n-1 P n-1 + μ n+1 P n+1 (εξισώσεις ισορροπίας)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Εργοδικές Πιθανότητες P n (t) = P n > 0, n = 0,1, … Απείρως επισκέψιμες καταστάσεις (positive recurrent) Ερμηνεία Εξισώσεων Ισορροπίας: #{μεταβάσεων προς την κατάσταση s} = #{μεταβάσεων εκτός της s} (σφαιρική ισορροπία – global balance equations) #{μεταβάσεων s 1  s 2 } = #{μεταβάσεων s 2  s 1 } (τοπική ισορροπία – local balance equations) Λόγω εργοδικότητας : σε μεγάλο χρονικό διάστημα παρατήρησης Τ, με Τ 1 και Τ 2 τους συνολικούς χρόνους παραμονής στις s 1, s 2 : (1)#{μεταβάσεων s 1  s 2 } = T 1 x r 1,,2 (2) #{μεταβάσεων s 2  s 1 } = T 2 x r 2,,1 Όπου r 1,2, r 2,1 οι μέσοι ρυθμοί μετάβασης από 1  2 και 2  1 Λόγω ισορροπίας: (1) = (2), r 1,2 x {T 1 /Τ} = r 2,1 x {T 2 /Τ}, ή r 1,2 x P 1 = r 2,1 x P 2

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η ουρά Μ/Μ/1 (άπειρου μεγέθους) Σταθεροί μέσοι ρυθμοί αφίξεων (γεννήσεων) λ n = λ, Poisson Σταθεροί μέσοι ρυθμοί εξυπηρέτησης (θανάτων) μ n = μ Εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης s, E(s) = 1/μ Εργοδικές πιθανότητες καταστάσεων P n Μέσος όρος πληθυσμού - κατάστασης Ε(n)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η ουρά Μ/Μ/1 P n = (1-ρ) ρ n, n = 0,1,2,…, ρ = λ/μ < 1 E(n) = ρ/(1-ρ) Νόμος του Little: E(T) = E(n)/γ = E(n)/λ E(T) = (1/μ) / (1-ρ)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Συστήματα Μ/Μ/1 με ρυθμούς άφιξης και ρυθμούς εξυπηρέτησης εξαρτώμενους από τον αριθμό των πελατών στο σύστημα (από την κατάσταση του συστήματος) (State Dependent M/M/1 Queues) λ(n) μ(n) λ(0)λ(1)λ(n-1) μ(1) μ(2) λ(n) μ(n) μ(n+1) 0 12 n-1 n n+1