Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Κλάσεις & Ιστογράμματα Επιμέλεια Κόλλας Γ. Αντώνιος [Μαθηματικός]

[α, Πίνακας Συχνοτήτων με Κλάσεις β)

Στο προηγούμενο μέρος της παρουσίασης κατανοήσαμε πώς μπορούμε να φτιάχνουμε πίνακες συχνοτήτων, κάθε φορά που μας ζητείται να μετρήσουμε μια μεταβλητή ποσότητα Χ σε ένα δείγμα μεγέθους ν. Όμως, το ‘χει η μοίρα του μαθητή: κάθε φορά που μαθαίνει κάτι και νομίζει πως επιτέλους τα βάσανά του τελείωσαν, εκείνη τη στιγμή συνειδητοποιεί ότι τα προβλήματα μόλις τώρα αρχίζουν! Ας δούμε, λοιπόν, το παρακάτω παράδειγμα και τις δυσκολίες που προκύπτουν αν προσπαθήσουμε να χειριστούμε τα δεδομένα μας με τον τρόπο, που ήδη μάθαμε...

Έστω, λοιπόν, ότι σε ένα δείγμα 30 μαθητών ενός τμήματος Λυκείου μετρήσαμε το ύψος (σε εκατοστά) και πήραμε τις παρακάτω τιμές: 181,164,158,168,170,176, 178,177,165,176,161,174, 162,174,181,166,172,168, 173,179,167,182,180,170, 171,175,179,169,165,159

xixi νiνi xixi νiνi Άθροισμα30 Αν ξεκινήσουμε να φτιάξουμε πίνακα συχνοτήτων με το γνωστό μας τρόπο, τότε ο πίνακας θα δείχνει κάπως έτσι...

Διαπιστώνετε κι εσείς ότι ο πίνακας «ξεχείλωσε» αρκετά, με αποτέλεσμα να χωράει ίσα-ίσα σε μια σελίδα παρουσίασης! Είναι προφανές πως αυτό συμβαίνει γιατί οι περισσότερες τιμές δεν επαναλαμβάνονται αρκετά συχνά, όπως έχουμε συνηθίσει, αλλά συναντάμε καθεμία τους το πολύ 1 ή 2 φορές. Αποτέλεσμα: ένας πίνακας με 23 σειρές!!! Συνειδητοποιούμε ότι δεν έχει και πολύ μεγάλο νόημα να φτιάξουμε έναν πίνακα συχνοτήτων, όπου κάθε συχνότητα ν i θα είναι ίση με τη μονάδα (1). Κι αν είχαμε δείγμα μεγέθους 100 ή 1000; τότε θα έπρεπε να φτιάξουμε πίνακες με 100 ή 1000 σειρές;;!!

Έτσι, αντί να λέμε «έστω τα ύψη 162, 163, 164, κλπ.» θα λέμε «έστω η κλάση που περιλαμβάνει τα ύψη από 160 έως 165 εκατοστά». Αντί, λοιπόν, να καθόμαστε και να «αφιερώνουμε» σε κάθε διαφορετική τιμή x i και μια ξεχωριστή σειρά του πίνακα συχνοτήτων, προχωρούμε στην εξής πονηριά... Χωρίζουμε τα δεδομένα μας σε «βολικές» ομάδες, της μορφής: Τις ομάδες αυτές θα τις ονομάζουμε...

Μετά απ’ όσα ειπώθηκαν, μια καλή ιδέα θα ήταν να χωρίσουμε τα ύψη του παραδείγματός μας σε κλάσεις, ανά 5 εκατοστά. Δηλαδή: Από 155 έως 160 εκατοστά Από 160 έως 165 εκατοστά Από 165 έως 170 εκατοστά Από 170 έως 175 εκατοστά Από 175 έως 180 εκατοστά Από 180 έως 185 εκατοστά

Παρατηρώντας όμως τις κλάσεις, είναι εύλογο να δημιουργηθεί σε κάποιον η εξής απορία... 1 η κλάση: « Από 155 έως 160 εκ. » 2 η κλάση: « Από 160 έως 165 εκ. » 3 η κλάση: « Από 165 έως 170 εκ. » 4 η κλάση: « Από 170 έως 175 εκ. » 5 η κλάση: « Από 175 έως 180 εκ. » 6 η κλάση: « Από 180 έως 185 εκ. » Την τιμή πχ. 160 ΠΟΥ ΘΑ ΤΗΝ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΟΥΜΕ ;;; Στην 1 η ή στη 2 η κλάση;;; Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, συμφωνήσαμε όταν γράφουμε μια κλάση να ΜΗΝ συμπεριλαμβάνουμε σε αυτήν τον τελευταίο αριθμό. Με άλλα λόγια, η 1 η κλάση περιέχει όλους τους αριθμούς από το 155 έως το 160, αλλά χωρίς το 160! (Ας πούμε, μέχρι το 159,999...). Με αυτόν τον τρόπο, η τιμή 160 θα περιέχεται αναγκαστικά στην επόμενη κλάση, δηλαδή στη 2 η.

Επειδή, όμως, εμείς οι μαθηματικοί είμαστε άνθρωποι που δε μας αρέσουν τα πολλά λόγια (ειδικά αν χρειάζεται να τα επαναλαμβάνουμε ξανά και ξανά), έχουμε αντικαταστήσει την προηγούμενη έκφραση με τον παρακάτω συμβολισμό: Από το 155Έως το 160 [155, 160) διαβάζεται «κλειστό» και σημαίνει ότι το 155 περιλαμβάνεται στην κλάση. [ διαβάζεται «ανοικτό» και σημαίνει ότι το 160 δεν περιλαμβάνεται στην κλάση. )

[155, 160) Άρα, μια κλάση δεν είναι παρά ένα διάστημα αριθμών, με άνω και κάτω άκρο [α, β) αβαβ Γενικά...

Έτσι, αντί να γράφουμε μ’ ένα σωρό λόγια... [ 155, 160 ) [ 160, 165 ) [ 165, 170 ) [ 170, 175 ) [ 175, 180 ) [ 180, 185 )

...μιας κλάσης [α, β) θα λέμε τη διαφορά: Προτού προχωρήσουμε, χρειάζεται να ορίσουμε δύο ακόμη μεγέθη: Με άλλα λόγια, πλάτος είναι η απόσταση των αριθμών, που αποτελούν τα άκρα μιας κλάσης. Στο παράδειγμά μας, θα είναι 160 – 155 = 5. Στα πλαίσια της ύλης μας, που αφορά μονάχα κλάσεις ίσου πλάτους, όποια κλάση και να επιλέξουμε θα προκύπτει πάντα το ίδιο αποτέλεσμα....μιας κλάσης [α, β) θα λέμε τον αριθμό που βρίσκεται ακριβώς στη μέση της κλάσης.

Προτού προχωρήσουμε, χρειάζεται να ορίσουμε δύο ακόμη μεγέθη:...μιας κλάσης [α, β) θα λέμε τον αριθμό που βρίσκεται ακριβώς στη μέση της κλάσης. Για να υπολογίσουμε το κέντρο υπάρχουν 2 τρόποι:

Προτού προχωρήσουμε, χρειάζεται να ορίσουμε δύο ακόμη μεγέθη:...μιας κλάσης [α, β) θα λέμε τον αριθμό που βρίσκεται ακριβώς στη μέση της κλάσης. Πλάτος = 5 5 : 2 = 2, ,5 = 157,5 Για να υπολογίσουμε το κέντρο υπάρχουν 2 τρόποι:

...μιας κλάσης [α, β) θα λέμε τον αριθμό που βρίσκεται ακριβώς στη μέση της κλάσης. Για να υπολογίσουμε το κέντρο υπάρχουν 2 τρόποι: Προτού προχωρήσουμε, χρειάζεται να ορίσουμε δύο ακόμη μεγέθη: Πλάτος = 5 5 : 2 = 2, ,5 = 157,5

Κλάσεις Κέντρο κ i [155, 160)157,5 [160, 165)162,5 [165, 170)167,5 [170, 175)172,5 [175, 180)177,5 [180, 185)182,5 Έτσι, είμαστε έτοιμοι να φτιάξουμε μια πρώτη μορφή ενός πίνακα συχνοτήτων:

Ας επιστρέψουμε, λοιπόν, στις αρχικές μετρήσεις και ας δούμε, επιτέλους πώς γίνεται η ταξινόμηση στις διάφορες κλάσεις...

Ψιτ! Εδώ! Ας επιστρέψουμε, λοιπόν, στις αρχικές μετρήσεις και ας δούμε, επιτέλους πώς γίνεται η ταξινόμηση στις διάφορες κλάσεις...

ΚλάσειςΣυχνότητα ( ν i )Κέντρο ( κ i ) [155, 160)157,5 [160, 165)162,5 [165, 170)167,5 [170, 175)172,5 [175, 180)177,5 [180, 185)182,5 Άθροισμα

ΚλάσειςΣυχνότητα ( ν i )Κέντρο ( κ i ) [155, 160) 2 157,5 [160, 165) 3 162,5 [165, 170) 7 167,5 [170, 175) 7 172,5 [175, 180) 7 177,5 [180, 185) 4 182,5 Άθροισμα 30

Στη συνέχεια, αν θέλουμε μπορούμε επιπλέον να συμπληρώσουμε τον πίνακα με όσα στοιχεία μάθαμε στο 1 ο μέρος της παρουσίασης... Κλάσειςκiκi νiνi NiNi fifi f i (%)FiFi F i (%) [155, 160)157,5220,077 7 [160, 165)162,5350,10100,1717 [165, 170)167,57120,23230,4040 [170, 175)172,57190,23230,6363 [175, 180)177, ,23230,8686 [180, 185)182,54300,13130,9999 Άθροισμα300,9999 Εξαιτίας των στρογγυλοποιήσεων... Περίπου 100

Ιστογράμματα...

Τα ιστογράμματα συχνοτήτων, κατασκευάζονται κατ’ αναλογία με τα ραβδογράμματα, με μόνη διαφορά ότι πλέον και ο οριζόντιος άξονας είναι αριθμητικός άξονας !!... ενώ, στον κατακόρυφο άξονα - κανονικά, όπως ξέρουμε - τις συχνότητες... Στον οριζόντιο άξονα, παριστάνουμε τώρα τις διάφορες κλάσεις...

νiνi xixi Ας δούμε, τώρα, μια καινούργια έννοια...Έτσι, έχουμε που αφορά στις κλάσεις και τα ιστογράμματα...

νiνi xixi... το πολύγωνο συχνοτήτων. Ο τρόπος, με τον οποίο το κατασκευάζουμε, έχει ως εξής που αφορά στις κλάσεις και τα ιστογράμματα...

νiνi xixi Σημειώνουμε τα μέσα στις πάνω πλευρές των ορθογωνίων ,5162,5167,5172,5177,5182,5...θεωρώντας, επιπλέον (βοηθητικά), μια κλάση πριν και μια κλάση μετά.Ο τρόπος, με τον οποίο το κατασκευάζουμε, έχει ως εξής...

νiνi xixi Κατόπιν, ενώνουμε όλα τα μέσα και... τελειώσαμε! 157,5162,5167,5172,5177,5182,5...θεωρώντας, επιπλέον (βοηθητικά), μια κλάση πριν και μια κλάση μετά.

Πολύγωνο μπορούμε να κατασκευάσουμε και στο ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων, όμως διαφέρει ο τρόπος με τον οποίο το σχεδιάζουμε! Αντί να ενώνουμε τα μέσα των πάνω πλευρών ενώνουμε τις πάνω δεξιά κορυφές τους!

ΝiΝi xixi Για να το δούμε, στα γρήγορα...Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων...

ΝiΝi xixi Κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων και κατόπιν το ζητούμενο πολύγωνο, όπως προαναφέραμε.

Στο επόμενο επεισόδιο: «Τρεις το λάδι, τρεις το ξύδι, πόσο το λαδόξυδο; Καιρός να ληφθούν τα κατάλληλα Μέτρα!» τέλος 2 ου μέρους