Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 7: Κατευθυνόμενοι Γράφοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (1) Κατευθυνόμενος γράφος-προσανατολισμένος Τόξα (arcs) Ουρά-κεφαλή πηγή-νεροχύτης Έσω-γειτονιά Ν--(v) έξω-γειτονιά Ν+(v) Έσω-βαθμός d--(v) έξω-βαθμός d+(v) Δίλημμα χειραψιών Σd--(v)=Σd+(v) Ισορροπημένος-ισογράφος-ψευδοσυμμετρικός d--(v)=d+(v), για κάθε v ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (2) Απλός Ασυμμετρικός/αντισυμμετρικός Συμμετρικός Υποκείμενος Γράφος τουρνουά Αντίστροφος Αδύναμα Μονόπλευρα Ισχυρά συνδεδεμένος Προσανατολίσιμος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (3) Θεώρημα: Ένας γράφος είναι προσανατολίσιμος αν και μόνο αν κάθε ακμή περιέχεται σε ένα τουλάχιστον κύκλο Θεώρημα: Μία ακολουθία διατεταγμένων μη αρνητικών ακεραίων (d1--(v), d1+(v)),(d2--(v), d2+(v)),...,(dn--(v), dn+(v)), όπου d1-->=d2-->=dn--, είναι γραφική αν και μόνο αν για κάθε ακέραιο k ισχύει dk--, dk+<=n-1, Σd-- = Σd+ και Σk=1..ndk-- <= Σk=1..jmin(j-1,dk+) + Σk=j+1..nmin(j,dk+) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Γράφοι Τουρνουά (1) Κάθε ζεύγος κορυφών ενώνεται με ένα τόξο m=n(n-1)/2=Σd--(v) Θεώρημα: Η μόνη μη φθίνουσα ακολουθία n μη αρνητικών ακεραίων που είναι γραφική ακολουθία σκορ ενός μεταβατικού γράφου-τουρνουά είναι η 0,1,2,...,n-1 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Γράφοι Τουρνουά (2) Εφαρμογή σε αγώνες Σκορ = έξω βαθμός Θεώρημα: Η κορυφή με μέγιστο έξω-βαθμό έχει απόσταση 1 ή 2 από κάθε άλλη κορυφή Μεταβατικός γράφος τουρνουά (μεταβατική/κυκλική τριπλέτα) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Γράφοι Τουρνουά (3) Θεώρημα: Ένας γράφος είναι μεταβατικός αν και μονο αν είναι άκυκλος Θεώρημα: Μία μη φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών ακεραίων που είναι γραφική ακολουθία σκορ αν και μόνο αν για κάθε j ισχύει Σi=1..ndi>=comb(j,2) {4,4,4,2,1,1} {5,4,4,1,1,0} ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Κατευθυνόμενα Μονοπάτια & Κύκλοι Θεώρημα: Ένας ισχυρά συνδεδεμένος κατευθυνόμενος γράφος είναι Eulerian αν και μόνο αν είναι ισορροπημένος Πόρισμα: Ένας ισχυρά συνδεδεμένος κατευθυνομενος γράφος έχει Eulerian μονοπάτι αν υπάρχουν δύο κορυφές v και u, ώστε d--(v)=d+(v)+1 και d--(u)=d+(u)-1, ενώ για κάθε άλλη κορυφή ισχύει d--(w)=d+(w) Θεώρημα: Ένας συνδεδεμένος κατευθυνόμενος γράφος είναι Hamiltonian αν d--(v) >=n/2 και d+(v)>=n/2 για κάθε κορυφή Θεώρημα: Κάθε γράφος τουρνουά έχει Hamiltonian μονοπάτια Θεώρημα: Κάθε ισχυρά συνδεδεμένος γράφος-τουρνουά έχει κύκλους μήκους 3,4,…,n ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμος Εύρεσης Ισχυρά Συνδεδεμένων Συνιστωσών (1) Χρήση διαδικασίας DFS. Διακρίνονται 4 σύνολα ακμών Δενδρικές Τ Οπίσθιες Β (απόγονος προς απόγονο) Εμπρόσθιες F (πρόγονος προς απόγονο) Διασταυρωνόμενες C (όχι σχέση προγόνου-απογόνου) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμος Εύρεσης Ισχυρά Συνδεδεμένων Συνιστωσών (2) Θεώρημα: Σε μια διασταυρωνόμενη ακμή (u,v) ισχύει dfi(u)>dfi(v) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμος Εύρεσης Ισχυρά Συνδεδεμένων Συνιστωσών (3) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμος Εύρεσης Ισχυρά Συνδεδεμένων Συνιστωσών (4) Αλγόριθμος γραμμικής πολυπλοκότητας Ο(min(|V|,|A|)) Συμπύκνωση (condensation): γράφος με κορυφές που αντιστοιχούν στις ισχυρά συνδεδεμένες συνιστώσες και ακμές που δείχνουν τις ενώσεις των συνιστωσών Θεώρημα: Κάθε συμπύκνωση είναι άκυκλος γράφος Θεώρημα: Κάθε συμπύκνωση περιέχει τουλάχιστον μία κορυφή με έσω-βαθμό 0 και τουλάχιστον μία κορυφή με έξω-βαθμό 0 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Το Πρόβλημα Του Λαβυρίνθου Hampton Court Palace – Γουλιέλμος 3ος της Οράνγκης – 1690 Πρόβλημα εύρεσης Eulerian κυκλώματος σε γράφο που προκύπτει Διασταυρώσεις σε κορυφές Διαδρομές σε ακμές Αγνοούμε κορυφές με d=2 εκτός εισόδου/εξόδου Θεωρούμε παράλληλες ακμές (κατευθυνόμενος συμμετρικός γράφος) Βάζουμε ειδικά σημάδια όταν φτάνουμε σε κάθε διασταύρωση Κόστος διπλάσιο από το συνολικό μήκος των ακμών ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Το Πρόβλημα Κατάταξης Αθλητών Σε Τουρνουά (1) 1ος τρόπος: με Hamiltonian μονοπάτια 3 1 2 4 5 6 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Το Πρόβλημα Κατάταξης Αθλητών Σε Τουρνουά (2) 2ος τρόπος: με λιγότερες παραβιάσεις όμως όχι μοναδική λύση 1 3 2 5 4 6 έχει 2 παραβιάσεις Εξαντλητικός αλγόριθμος Ο(n!) 3 1 2 4 5 6 Έχει 2 παραβιάσεις (3,5) (3,6) Έχει 3 παραβιάσεις (1,3) (2,3) (4,3) Έχει 6 παραβιάσεις (1,3) (4,3) (4,2) (6,2) (6,5) (3,5) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Το Πρόβλημα Κατάταξης Αθλητών Σε Τουρνουά (3) 3ος τρόπος: με σύγκριση σκορ Αν ο γράφος είναι ισχυρά συνδεδεμένος και οι αθλητές τουλάχιστον 4, τότε η κατάταξη συγκλίνει 4 3 2 1 1ο επίπεδο 8 5 9 2ο επίπεδο 15 10 16 7 12 3ο επίπεδο 38 28 32 21 25 4ο επίπεδο 90 62 87 41 48 5ο επίπεδο 183 121 193 80 119 6ο επίπεδο ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (1) Markov process, Markov chain: προχωρημένη στατιστική, στοχαστικές διαδικασίες Παριστάνεται με κατευθυνόμενο γράφο Ε1 2 3 4 5 6 ΣΥΡΙΑΚΟ ΚΙΝΕΖΙΚΟ ¬1/2 10m 1/3 ® 10m 1/6 ¯ - (0, 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) (0, 0 ,1/2, 1/6 ,1/3, 0 ) (0,1/4,1/6,13/36,1/9,1/9) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (2) Πώς μοντελοποιείται; 1 ½ 1/6 1/3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (3) γράφος μετάβασης πίνακας μετάβασης διάνυσμα πιθανοτήτων Σpij πιθανότητα μετάβασης pij  κατάσταση  πεπερασμένη Markov chain  στοχαστικός πίνακας p  pk επίσης στοχαστικός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (4) Θεώρημα: Η πιθανότητα μετάβασης μετά από k βήματα από το state ij ισούται με το ij-οστό στοιχείο του πίνακα pk Παράδειγμα: Π(0) = (0, 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) Π(1) = Π(0)*P = (0, 0 ,1/2, 1/6 ,1/3, 0 ) Π(2) = Π(1)*P = (0,1/4,1/6,13/36,1/9,1/9) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (5) Αποροφώσα κατάσταση, παγιδεύουσα Μη ελαττώσιμη [irreducable] (μετάβαση από οποιαδήποτε προς οποιαδήποτε) Περιοδική κατάσταση με περίοδο t [¹απεριοδική] Επίμονη-αναδρομική [¹μεταβατική] (πιθανότητα 1 να ξαναγυρίσει) Εργοδικη = επίμονη και απεριοδική ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (6) 0.5 0.6 0.4 1 P= .3079 .3845 .3076 .3078 .3846 .3848 P15= .3077 .3846 P17=P18=P19=P20= ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλυσίδες Markov (7) Αυτό συμβαίνει για την τακτική (regular) M.c., που σημαίνει ότι από κάθε ακμή προς κάθε ακμή υπάρχει μονοπάτι μήκους k Τότε φτάνει σε steady state και δεν φαίνεται η επίδραση της αρχικής κατάστασης ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αλληλουχία Εργασιών J1, J2, …, Jn tij: χρόνος προετοιμασίας αν από JiJj Μορφή TSP και εύρεση Hamiltonian κύκλου με μικρότερο βάρος Ευριστική λύση: γράφος τουρνουά τόξο (i,j) αν tij<= tji ο γράφος έχει Hamiltonian μονοπάτι Παράδειγμα: J163 4 5 2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Κρυπτογραφία Ποιο είναι το μήκος κυκλικής ακολουθίας έτσι ώστε καμια υπακολουθία από r ψηφία να μην εμφανίζεται περισσότερο από μία φορά Σχεδιάζεται γράφος με 2r-1 κορυφές με labels υπακολουθίες r-1 ψηφία Οι κορυφές αυτές έχουν d-=d+=2: ισορροπημένες Αν α1= α2= …= αr-1=0/1, τότε βρόχος Υπάρχει Eulerian μονοπάτι 2r που χαρακτηρίζεται από το πρώτο ψηφίο κάθε κορυφής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων