ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Η παράγραφος 1.3 του βιβλίου είναι εκτός ύλης Κεφάλαιο 3 Λογική και Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Γιώργος Γιαγλής

Το σημερινό μάθημα Εισαγωγή στα ψηφιακά κυκλώματα Άλγεβρα Boole και βασικές Λογικές Συναρτήσεις AND, OR, NOT Λογικές Πύλες Κατασκευή κυκλωμάτων και πινάκων αληθείας Είδη ψηφιακών κυκλωμάτων Ακολουθιακά Συνδυαστικά

Η Άλγεβρα Boole και βασικές Λογικές Συναρτήσεις Μέρος Α Η Άλγεβρα Boole και βασικές Λογικές Συναρτήσεις

Η Άλγεβρα Boole Ο George Boole (1815 - 1864) εισήγαγε μία θεωρία, που ονομάστηκε Άλγεβρα Boole ή Boolean Λογική Η Boolean Λογική είναι μία μορφή άλγεβρας σύμφωνα με την οποία όλες οι πιθανές μεταβλητές, καθώς επίσης και οι συναρτήσεις αυτών, μπορούν να πάρουν μόνο δύο συγκεκριμένες τιμές: “αληθές” (true) ή “ψευδές” (false) Καθώς η Boolean Λογική μπορεί να έχει ισχύ σε μεταβλητές οι οποίες μπορούν να πάρουν μόνο δύο τιμές, βρίσκει απόλυτη εφαρμογή στα υπολογιστικά συστήματα! Ψεύδος = 0 (ή χαμηλή τάση, αριστερόστροφη μαγνήτιση, λεία επιφάνεια, κτλ) Αλήθεια = 1 (ή υψηλή τάση, δεξιόστροφη μαγνήτιση, καμένη επιφάνεια, κτλ)

Η Άλγεβρα Boole και Λογικές Συναρτήσεις Βασικές Λογικές Συναρτήσεις: Πράξη AND (Και - Σύζευξη) Πράξη OR (Ή- Διάζευξη) Πράξη NOT (Όχι - Άρνηση) Δευτερεύουσες Λογικές Συναρτήσεις: Πράξη ΝAND (Άρνηση Σύζευξης) Πράξη ΝOR (Άρνηση Διάζευξης) Πράξη XOR (Είτε/Είτε – Αποκλειστική Διάζευξη) Πράξη NXOR (ή XNOR) (Άρνηση Αποκλειστικής Διάζευξης)

Πράξη AND (Και - Σύζευξη) β α AND β 1 Έστω οι μεταβλητές α και β: Η λογική παράσταση «α AND β» παίρνει την τιμή 1 (true) , μόνο στην περίπτωση που και το α και το β έχουν τιμή 1 (true) πίνακας αλήθειας 1=αλήθεια 0=ψεύδος

Πράξη OR (Ή- Διάζευξη) α β α OR β 1 Έστω οι μεταβλητές α και β: 1 Έστω οι μεταβλητές α και β: Η λογική παράσταση «α OR β» παίρνει την τιμή 1 (true) , στην περίπτωση που το α ή το β (ή και τα δυο) έχουν τιμή 1 (true) πίνακας αλήθειας 1=αλήθεια 0=ψεύδος

Πράξη ΝΟΤ (Όχι - Άρνηση) α ΝΟΤ α 1 Έστω η μεταβλητή α *: Η λογική παράσταση «ΝΟΤ α» παίρνει την τιμή 1 (true) , στην περίπτωση που το α δεν έχει τιμή 1 (true) πίνακας αλήθειας * Σε αντίθεση με τους AND και OR, όπου χρειαζόμαστε 2 τελεστέους, για τον τελεστή ΝΟΤ χρειαζόμαστε ένα μόνο τελεστέο.

Μέρος Β Λογικές Πύλες

Τρανζίστορ (Κρυσταλλοτρίοδος) Λογικές Πύλες Οι λογικές πύλες είναι μικροσκοπικά ηλεκτρονικά (ψηφιακά) κυκλώματα που επιτελούν δυαδικούς υπολογισμούς Στην πράξη, ένα τέτοιο κύκλωμα αποτελείται από τρανζίστορ και πιθανά άλλα στοιχεία Τρανζίστορ (Κρυσταλλοτρίοδος)

Πύλη ΝΟΤ (Λογική άρνηση) Χ Υ 1 Η πύλη αυτή παίρνει ένα bit σαν είσοδο και εξάγει ένα bit αντίθετης αξίας. Η τιμή εξόδου Υ (output) είναι true (1) μόνο όταν η τιμή εισόδου Χ (input) δεν είναι true (1). Είσοδος Πηγή Ενέργειας Έξοδος Πύλη NOT Γείωση

Πύλη AND (Λογική σύζευξη) b X 1 Η πύλη AND δέχεται δύο bits σαν input και εξάγει ένα bit σαν output. Η τιμή εξόδου Χ (output) είναι true (1) μόνο εάν όλες οι τιμές εισόδου (input) είναι true (1). Είσοδος Α Β Πηγή Ενέργειας Έξοδος Πύλη AND

Πύλη OR (Λογική διάζευξη) a b X 1 Η πύλη OR παίρνει δύο bits σαν input και εξάγει ένα bit σαν output. Η τιμή εξόδου X (output) είναι true (1) εάν οποιαδήποτε τιμή εισόδου (input) είναι true (1). Είσοδος Α Β Πηγή Ενέργειας Έξοδος Πύλη OR

Άλλες Λογικές Πύλες NAND NOR XOR XNOR (ή NXOR) η πύλη NAND δίνει output “1” είτε στην περίπτωση που ένα από τα δύο inputs είναι “1” είτε στην περίπτωση που κανένα από τα δύο inputs δεν είναι“1”. Με άλλα λόγια, λειτουργεί αντίθετα από την πύλη AND. NOR η πύλη NOR δίνει το output “1”, αν και μόνο αν και τα δύο inputs είναι “0”. Με άλλα λόγια, λειτουργεί αντίθετα από την πύλη OR. XOR η πύλη ΧOR δίνει το output “1”, μόνο αν ένα και μόνο ένα από τα δύο inputs είναι “1”. XNOR (ή NXOR) η πύλη ΧΝOR δίνει το output “1” , όταν τα δύο inputs έχουν την ίδια αξία (είτε είναι και τα δύο “1”, είτε είναι και τα δύο “0”). Με άλλα λόγια, λειτουργεί αντίθετα από την πύλη XOR.

Πύλη NAND Η πύλη NAND παίρνει δύο bits σαν input και εξάγει ένα bit σαν output. Η τιμή εξόδου C (output) είναι true (1) εάν ένα ή κανένα από τα δύο inputs είναι “1”. A B C 1

Πύλη NOR Η πύλη NOR παίρνει δύο bits σαν input και εξάγει ένα bit σαν output. Η τιμή εξόδου C (output) είναι true (1) εάν και οι δύο τιμές εισόδου (input) είναι false (0). a b C 1

Πύλη XOR Η πύλη ΧOR παίρνει δύο bits σαν input και εξάγει ένα bit σαν output. Η τιμή εξόδου C (output) είναι true (1) εάν μόνο μία από τις δύο τιμές εισόδου (input) είναι true (1). a b C 1

Πύλη XΝOR Η πύλη ΧΝOR παίρνει δύο bits σαν input και εξάγει ένα bit σαν output. Η τιμή εξόδου C (output) είναι true (1) εάν και τα δύο inputs έχουν την ίδια αξία (είτε είναι και τα δύο “1”, είτε είναι και τα δύο “0”) . a b C 1

Δευτερεύουσες Πύλες Oι πύλες ΧΝOR, ΧΟR κτλ ουσιαστικά αποτελούν συνδυασμούς των τριών βασικών πυλών (AND, OR και NOT). Πύλη XOR Πύλη NAND

Ψηφιακά Ηλεκτρονικά κυκλώματα Μέρος Γ Ψηφιακά Ηλεκτρονικά κυκλώματα

Τι είναι τα ψηφιακά ηλεκτρονικά κυκλώματα; Κύκλωμα είναι ένα σύνολο από λογικές πύλες που μετατρέπει ένα σύνολο από δυαδικές εισόδους σε δυαδικές εξόδους Τα ψηφιακά ηλεκτρονικά κυκλώματα χρησιμοποιούνται για την υλοποίηση λογικών συναρτήσεων και την αποθήκευση ψηφιακών δεδομένων Χρησιμοποιούν τις αρχές της δυαδικής αριθμητικής και άρα αναγνωρίζουν μόνο δύο καταστάσεις: Αληθές (True, 1) Ψευδές (False, 0) Για τον υπολογισμό των καταστάσεων εξόδου χρησιμοποιούμε τον πίνακα αληθείας, ο οποίος απεικονίζει τις τιμές εξόδου ενός κυκλώματος ΓΙΑ ΚΑΘΕ πιθανό συνδυασμό τιμών εισόδων του.

Δημιουργία Πίνακα Αληθείας 1ο Βήμα: για ένα κύκλωμα με ν εισόδους, ο πίνακας αλήθειας θα έχει 2ν γραμμές. Δημιουργούμε αυτές τις γραμμές, βάζοντας ΚΑΘΕ συνδυασμό τιμών εισόδου. 2ο Βήμα: για ένα κύκλωμα με ν εισόδους και μ εξόδους, ο πίνακας αλήθειας θα έχει ν+μ στήλες. Δημιουργούμε τις στήλες, προσθέτοντας (για ευκολία) και κάθε ενδιάμεση τιμή (έξοδο πύλης). Βήμα 1ο: 22 γραμμές Βήμα 2ο : 2+5 στήλες

Δημιουργία Πίνακα Αληθείας Συμπλήρωση συνδυασμών για τις 2 εισόδους (Α και Β) Α Β 1

Δημιουργία Πίνακα Αληθείας Συμπλήρωση του υπόλοιπου πίνακα με βάση τον τύπο κάθε εξόδου (πύλης) Α Β D (NOT A) E (NOT B) F (B AND D) G (A AND E) C (F OR G) 1 Παρατηρήστε ότι ο τελικός πίνακας (στήλες Α, Β, C) είναι ίδιος με αυτόν της πύλης XOR. Λέμε ότι τα κυκλώματα είναι ισοδύναμα.

Σχεδιάζοντας κυκλώματα με Πίνακα αληθείας Για να σχεδιάσουμε ένα κύκλωμα με βάση ένα πίνακα αληθείας: Για κάθε γραμμή όπου το output είναι 1, δημιουργούμε ένα συνδυασμό ΑΝD όλων των εισόδων Κάθε είσοδος γράφεται ως έχει, αν έχει τιμή 1, ενώ γράφεται με NOT αν έχει τιμή 0 Η συνάρτηση του κυκλώματος είναι η διάζευξη (OR) όλων των παραπάνω τύπων.

Παράδειγμα a b c x 1 Με βάση τον διπλανό πίνακα αληθείας κυκλώματος με εισόδους a, b, c και έξοδο x, σχεδιάστε το αντίστοιχο κύκλωμα.

Παράδειγμα (συνέχεια) Σε αυτή τη γραμμή (τη δεύτερη του πίνακα) έχουμε έξοδο ίση με 1. Οι αντίστοιχες είσοδοι είναι: a=0, b=0, c=1 Οπότε ο τύπος για αυτή τη γραμμή είναι: (NOT a) AND (NOT b) AND c a b c x 1

Παράδειγμα (συνέχεια) Σε αυτή τη γραμμή (την τέταρτη του πίνακα) έχουμε επίσης έξοδο ίση με 1. Οι αντίστοιχες είσοδοι είναι: a=0, b=1, c=1 Οπότε ο τύπος για αυτή τη γραμμή είναι: (NOT a) AND b AND c a b c x 1

Παράδειγμα (συνέχεια) Τέλος, και σε αυτή τη γραμμή (την έβδομη του πίνακα) έχουμε έξοδο ίση με 1. Οι αντίστοιχες είσοδοι είναι: a=1, b=1, c=0 Οπότε ο τύπος για αυτή τη γραμμή είναι: a AND b AND (NOT c) a b c x 1

Συνδυάζοντας τα αποτελέσματα Συνολικά, η έξοδος του κυκλώματος που περιγράφει αυτός ο πίνακας αληθείας είναι 1 αν και μόνο αν οι αντίστοιχες είσοδοι: Έχουν τις τιμές της δεύτερης γραμμής του πίνακα αληθείας (όπου η έξοδος είναι 1), Ή έχουν τις τιμές της τέταρτης γραμμής του πίνακα αληθείας (όπου η έξοδος είναι επίσης 1), Ή έχουν τις τιμές της έβδομης γραμμής του πίνακα αληθείας (όπου η έξοδος είναι επίσης 1). Λύση: γράφουμε τον τύπο για τα παραπάνω συνδέοντας με OR τους προηγούμενους τύπους

Η λύση a b c x 1 x = {(ΝΟΤ a) AND (ΝΟΤ b) AND c} OR {(NOT a) AND b AND c} OR {a AND b AND (NOT c)}

Είδη Ψηφιακών κυκλωμάτων Υπάρχουν δυο είδη ψηφιακών κυκλωμάτων στους σύγχρονους υπολογιστές: Συνδυαστικά (Combinational), όπου δεν υπάρχει ανάδραση. Ακολουθιακά (Sequential), όπου υπάρχει ανάδραση. Τα συνδυαστικά κυκλώματα υλοποιούν (κυρίως) πράξεις. Τα ακολουθιακά κυκλώματα χρησιμοποιούνται στα κυκλώματα μνήμης.

Συνδυαστικά Ψηφιακά κυκλώματα Ένα κύκλωμα είναι συνδυαστικό όταν: Αποτελείται αποκλειστικά από λογικές πύλες (π.χ ΝΟΤ, OR, AND). Δεν υπάρχει ανάδραση και σύζευξη (feedback loops), οπότε οι τιμές εξόδου (outputs) εξαρτώνται μόνο από τις τιμές εισόδου (inputs). Όλα τα σήματα, είτε τιμές εισόδου (inputs) είτε τιμές εξόδου (outputs), είναι καθορισμένα (κάθε σήμα πρέπει είτε να είναι είσοδος στο κύκλωμα είτε έξοδος μιας λογικής πύλης).

Ακολουθιακά Ψηφιακά κυκλώματα Ένα κύκλωμα είναι ακολουθιακό όταν: οι τιμές των εξόδων είναι συνάρτηση, όχι μόνο των τιμών των εισόδων εκείνη τη στιγμή, αλλά και της παρούσας κατάστασης των προηγούμενων εξόδων Τα ακολουθιακά κυκλώματα μπορεί να περιέχουν στοιχεία μνήμης, όπως για παράδειγμα το κύκλωμα flip-flop.

To flip-flop Τα flip-flop έχουν την δυνατότητα να συγκρατούν δυαδικές τιμές επ’ αόριστο. Με λίγα λόγια το κύκλωμα flip-flop αποθηκεύει («θυμάται») τις τιμές εισόδου και εξόδου του. Στα flip-flop κυκλώματα βασίζονται οι σύγχρονοι Η/Υ, όσο αφορά τη λειτουργία της μνήμης NOR A B Ū U

Παράδειγμα συνδυαστικού κυκλώματος Θα υλοποιήσουμε ένα από τα βασικότερα συνδυαστικά κυκλώματα, τον αθροιστή. Ο αθροιστής χρησιμοποιείται για την υλοποίηση της πρόθεσης δυο δυαδικών αριθμών. Για να προσθέσουμε δυο τέτοιους αριθμούς πρέπει να μπορούμε να: Κάνουμε την πρόσθεση ανά bit. Το κύκλωμα που υλοποιεί την πρόθεση δυο bit ονομάζεται ημιαθροιστής. Προσθέτουμε τυχόν κρατούμενα που προκύπτουν. Το κύκλωμα που υλοποιεί την πρόθεση με κρατούμενο ονομάζεται (πλήρης) αθροιστής.

c = x AND y κρατούμενο s = x XOR y άθροισμα Ημιαθροιστής Δέχεται δύο bits x, y και τα προσθέτει Το άθροισμα είναι ένα bit s και κρατούμενο ένα bit c Άρα, ο πίνακας αληθείας θα έχει δυο εισόδους και δυο εξόδους. Υλοποιούμε τον πίνακα με βάση το αριθμητικό αποτέλεσμα της πρόσθεσης x+y σε κάθε γραμμή. x y c s 1 c = x AND y κρατούμενο s = x XOR y άθροισμα

Το κύκλωμα του ημιαθροιστή A C AND B S XOR

(Πλήρης) Αθροιστής Όταν προσθέτουμε δύο bits με τον ημιαθροιστή, παίρνουμε δυο εξόδους: ένα άθροισμα και ένα κρατούμενο Αυτό το κρατούμενο πρέπει να προστεθεί στην επόμενη στήλη από τα αριστερά (όταν υλοποιούμε πρόσθεση αριθμών με πολλά δυαδικά ψηφία) Συνεπώς χρειαζόμαστε ένα ψηφιακό κύκλωμα που να προσθέτει τρία bits μαζί (δυο ψηφία και τυχόν προηγούμενο κρατούμενο) Άρα, ο αθροιστής έχει τρεις εισόδους και δυο εξόδους.

Ο πίνακας αληθείας του Αθροιστή Είσοδοι Έξοδοι x y cin cout s 1 Ο αθροιστής δέχεται τρία bits για πρόσθεση (x, y και cin) και παράγει ένα άθροισμα s και ένα κρατούμενο cout.

Το κύκλωμα του Αθροιστή (απλοποιημένο) Ημιαθροιστής Α Β Cin OR S C Cout

Παράδειγμα πρόσθεσης Προσθέτουμε 6+3 σε υπολογιστή με μήκος λέξης 4 bit: input x = 6 = 0110 input y = 3 = 0011 (αρχικό) κρατούμενο cin = 0

Παράδειγμα πρόσθεσης (συνέχεια) x=0110 και y=0011 x1 y1 x0 y0 x2 y2 x3 y3 1 Αθροιστής 1 Αθροιστής 1 Αθροιστής 1 Αθροιστής c0 c1 c2 c3 cin s0 s1 s2 s3

Παράδειγμα πρόσθεσης (συνέχεια) Από τον πίνακα αληθείας βλέπουμε ότι c3=0 AND s3=1. x1 y1 x0 y0 x2 y2 x3 y3 1 Full adder Full adder 1 1 Full adder 1 Full adder c0 c1 c2 c3 cin 1 s0 s1 s2 s3

Παράδειγμα πρόσθεσης (συνέχεια) Από τον πίνακα αληθείας βλέπουμε ότι c2=1 and s2=0. x1 y1 x0 y0 x2 y2 x3 y3 1 Αθροιστής Αθροιστής 1 Αθροιστής 1 1 Αθροιστής c0 c1 c2 c3 cin 1 1 s0 s1 s2 s3

Παράδειγμα πρόσθεσης (συνέχεια) Από τον πίνακα αληθείας βλέπουμε ότι c1=1 and s1=0. x1 y1 x0 y0 x2 y2 x3 y3 1 Αθροιστής Αθροιστής 1 Αθροιστής 1 1 Αθροιστής c0 c1 c2 c3 cin 1 1 1 s0 s1 s2 s3

Παράδειγμα πρόσθεσης (συνέχεια) Από τον πίνακα αληθείας βλέπουμε ότι c0=0 and s0=1. Το αποτέλεσμα είναι: κρατούμενο c0 = 0, άθροισμα = [1,0,0,1] = 9 x1 y1 x0 y0 x2 y2 x3 y3 1 Full adder Full adder 1 Full adder 1 1 Full adder c0 c1 c2 c3 cin 1 1 1 1 s0 s1 s2 s3

Ασκήσεις Δίνεται η λογική συνάρτηση: F = ((A AND C) XOR (B OR C)) OR (NOT(C)). Σχεδιάστε το λογικό κύκλωμα που υλοποιεί την F και σχηματίστε τον πίνακα αληθείας της. Δίνεται ο δεξιά πίνακας αλήθειας και ζητείται η σχεδίαση του αντίστοιχου κυκλώματος αν οι είσοδοι είναι a, b, c και η έξοδος x. A b c x 1