Υπολογιστική Μοντελοποίηση στη Βιοϊατρική Τεχνολογία Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2013

Δυναμική ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων

Εισαγωγή στη δυναμική κατασκευών Σε εφαρμογές μηχανικής καθώς και σε βιολογικά στερεά πρέπει να λαμβάνονται υπόψη οι δυναμικές επιρροές όπως η σύσπαση των μυών, οι φορτίσεις λόγω σεισμού κλπ. Πολύ σημαντικές πληροφορίες για τη δυναμική συμπεριφορά ενός στερεού μπορούν να παρθούν με την εύρεση των συχνοτήτων του συστήματος. Αυτό επιτυγχάνεται με τη λεγόμενη ιδιο-ανάλυση. Όταν η συχνότητα της φόρτισης είναι κοντά σε αυτή του συστήματος, οι μετατοπίσεις μπορεί να είναι πολύ μεγάλες ακόμα και σε περιπτώσεις πολύ μικρών φορτίσεων. Για παράδειγμα, εάν ένα σεισμικό κύμα είναι κοντά στη φυσική συχνότητα μιας κατασκευής, το πλάτος των μετατοπίσεων της κατασκευής μπορεί να είναι πολύ μεγάλο και να προκαλέσει την καταστροφή της κατασκευής.

Διαφορικές εξισώσεις κίνησης Θεωρούμε ένα σώμα που υπόκεινται σε εξωτερικές χρονικά εξαρτώμενες δυνάμεις που παράγουν κίνηση και παραμόρφωση. Η κίνηση είναι τέτοια που πρέπει να λάβουμε υπόψη τις αδρανειακές δυνάμεις. Η αδρανειακή δύναμη μιας μάζας dm είναι: (1) όπου η επιτάχυνση, ρ η πυκνότητα και dV ο στοιχειώδης όγκος.

Διαφορικές εξισώσεις κίνησης Η αδρανειακή δύναμη είναι μια ογκομετρική δύναμη και το ισοδύναμο διάνυσμα αδρανειακής δύναμης ισούται με : (2) όπου Μ είναι το μητρώο μάζας του στοιχείου: (3) και το διάνυσμα κομβικής επιτάχυνσης. Το παραγόμενο μητρώο μάζας λέγεται συνακόλουθο μητρώο μάζας. Όταν υπάρχουν επιδράσεις απόσβεσης στο υλικό, η στοιχειώδης δύναμη απόσβεσης εκφράζεται ως: (4) όπου b ο συντελεστής απόσβεσης (ιξώδους).

Διαφορικές εξισώσεις κίνησης Ακόμη, υπολογίζεται το διάνυσμα κομβικής απόσβεσης ως εξής: (5) όπου το μητρώο απόσβεσης στοιχείου: (6) Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τα διανύσματα αδρανειακών κομβικών δυνάμεων και κομβικών δυνάμεων απόσβεσης στην εξίσωση ισορροπίας στοιχείου και παίρνουμε: (7) όπου και τα μητρώα μάζας, απόσβεσης και δυσκαμψίας του συστήματος αντίστοιχα και το διάνυσμα εξωτερικής δύναμης του συστήματος που περιλαμβάνει τις συγκεντρωμένες εξωτερικές και επιφανειακές δυνάμεις.

Ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης Οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης αναπαριστούν ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης. Μπορούν να ολοκληρωθούν αριθμητικά για να δώσουν τις μετατοπίσεις, τις ταχύτητες και τις επιταχύνσεις των κομβικών σημείων και στη συνέχεια των υλικών σημείων για μια επιλεγμένη χρονική περίοδο. Οι αριθμητικές μέθοδοι ολοκλήρωσης θεωρούν αυξητικές λύσεις με ένα χρονικό βήμα Δt. Η ολοκλήρωση γίνεται για το κάθε χρονικό βήμα χρησιμοποιώντας τη λύση στην αρχή του χρονικού βήματος και εφαρμόζοντας συγκεκριμένες προσεγγίσεις για αλλαγές στις μετατοπίσεις, τις ταχύτητες και τις επιταχύνσεις στο κάθε χρονικό βήμα.

Ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης Μέθοδος Newmark Το παρόν χρονικό βήμα συμβολίζεται με ‘n’ και όλα τα μεγέθη που αλλάζουν με το χρόνο θα έχουν αριστερό εκθέτη ‘n’ ή ‘n+1’ για τιμές στην αρχή και στο τέλος του χρονικού βήματος αντίστοιχα. Η βασική προσέγγιση στη μέθοδο Newmark είναι ότι η επιτάχυνση στο κάθε χρονικό βήμα θεωρείται σταθερή και δίνεται ως: (8) όπου μια παράμετρος. δ=0, δ=1 και δ=0.5 αντιστοιχούν στο πρόσθιο σχήμα ολοκλήρωσης Euler , στο οπίσθιο σχήμα ολοκλήρωσης Euler και στο τραπεζοειδές σχήμα ολοκλήρωσης. Προκύπτει έτσι ότι η ταχύτητα μεταβάλλεται γραμμικά σε κάθε χρονικό βήμα.

Ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης Ολοκληρώνοντας αυτή την εξίσωση ως προς το χρόνο, η ταχύτητα και η μετατόπιση προκύπτουν από: (9) και (10) Για να βελτιωθεί η ακρίβεια και η σταθερότητα της λύσης, η μετατόπιση υπολογίζεται από την εξής σχέση: (11) όπου α μια παράμετρος ολοκλήρωσης. Η μεγαλύτερη ακρίβεια στη λύση επιτυγχάνεται για δ=0.5 και α=0.25.

Ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης Με ανάλογες αντικαταστάσεις προκύπτει τελικά ότι: (12) Ακολούθως προκύπτει ότι: (13) Τελικά η διαφορική εξίσωση κίνησης του πεπερασμένου στοιχείου για το τέλος του χρονικού βήματος μπορεί να γραφεί ως: (14) Αντικαθιστώντας την επιτάχυνση και την ταχύτητα στην προηγούμενη εξίσωση, καταλήγουμε στο εξής σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων: (15)

Ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης όπου: (16) Το Κ είναι το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου. Οι παράμετροι που χρησιμοποιούνται είναι: (17)

Ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης Η διαδικασία επίλυσης για το παρόν χρονικό βήμα είναι η εξής: Αναπτύσσουμε το μητρώο και το κομβικό διάνυσμα για κάθε στοιχείο, τα τοποθετούμε στο μητρώο του συστήματος και επιλύουμε το σύστημα εξισώσεων για τις κομβικές μετατοπίσεις Υπολογίζουμε τα και για να χρησιμοποιηθούν ως και για το επόμενο χρονικό βήμα Οι μετατοπίσεις , οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις σε κάθε υλικό σημείο ενός πεπερασμένου στοιχείου ‘e’ μπορούν να προσδιοριστούν με τη χρήση των παρεμβολών από τις κομβικές τιμές αντίστοιχα: και . Τέλος, οι παραμορφώσεις και οι τάσεις στα πεπερασμένα στοιχεία μπορούν να υπολογιστούν με τις σχέσεις: και

Συχνότητες συστήματος και ιδιομορφές Σημαντικές πληροφορίες για τη δυναμική απόκριση μιας κατασκευής μπορούν να ληφθούν με τον υπολογισμό των συχνοτήτων του συστήματος και των ιδιομορφών. Ο υπολογισμός των συχνοτήτων και των ιδιομορφών ονομάζεται eigen-analysis. Θεωρούμε ένα σύστημα χωρίς απόσβεση και χωρίς εξωτερικές φορτίσεις. Έπειτα, οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης μειώνονται σε: (18) Θεωρούμε ότι η λύση αυτού του συστήματος είναι της μορφής: (19) όπου Α το διάνυσμα πλάτους, ω η γωνιακή συχνότητα και φ η φάση. Αντικαθιστώντας τη (19) στη (18) προκύπτει ότι: (20)

Συχνότητες συστήματος και ιδιομορφές Για να υπάρχει το μη μηδενικό διάνυσμα Α, πρέπει να ικανοποιείται η ακόλουθη βαθμωτή εξίσωση: (21) Η εξίσωση αυτή ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος. Είναι n-ιοστής τάξης ως προς ω2 και οι λύσεις είναι τα τετράγωνα των συχνοτήτων του συστήματος. n είναι οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος. Για τη δυναμική απόκριση ενός μηχανικού συστήματος, οι επικρατούσες συχνότητες είναι οι χαμηλότερες ξεκινώντας με τη μικρότερη τιμή Αντικαθιστώντας μια τιμή για το στην (20) είναι δυνατό να προσδιορίσουμε τις αναλογίες των στοιχείων του διανύσματος πλάτους ως προς ένα από τα στοιχεία έτσι ώστε η λύση (19) να γράφεται ως: (22)

Συχνότητες συστήματος και ιδιομορφές Το διάνυσμα αναπαριστά το διάνυσμα ιδιομορφής που αντιστοιχεί στη συχνότητα του συστήματος Εάν μια δύναμη διέγερσης που δρα στο σύστημα έχει συχνότητα θα παράγει κίνηση της μορφής της εξίσωσης (22). Τότε, το σύστημα μπαίνει στην κατάσταση συντονισμού και ακόμη και μια μικρή δύναμη διέγερσης μπορεί να προκαλέσει μεγάλες μετατοπίσεις. Σε πρακτικές εφαρμογές, λόγω των αποτελεσμάτων από απόσβεση, το πλάτος συντονισμού μειώνεται και η κίνηση συντονισμού εξασθενεί.

Παραδείγματα Ανάλυση ιδιοτιμών μιας τετραγωνικής πλάκας Μια τετραγωνική πλάκα μοντελοποιείται με τη χρήση 4-κομβων shell στοιχείων. Για να προσδιοριστούν οι συμμετρικές και οι μη-συμμετρικές ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, μοντελοποιείται ολόκληρη η πλάκα χωρίς συνθήκες συμμετρίας.

Παραδείγματα Η αναλυτική λύση για τις φυσικές συχνότητες για τετραγωνικές πλάκες απλής στήριξης δίνεται από: όπου D η ακαμψία της πλάκας: και οι διαστάσεις της πλάκας, το πάχος της πλάκας και φυσικοί αριθμοί. Για μια τετραγωνική πλάκα ισχύει ότι . Έτσι η παραπάνω σχέση μετασχηματίζεται σε:

Παραδείγματα Από αυτή την εξίσωση φαίνεται ότι το είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τις ιδιότητες του υλικού και τις διαστάσεις της πλάκας. Οι φυσικές συχνότητες μπορούν να ληφθούν με την επιλογή διάφορων τιμών για τα .

Παραδείγματα Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται διάφορες ιδιομορφές που αντιστοιχούν στις χαμηλότερες συχνότητες.

Εισαγωγή στη μη-γραμμική ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων

Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε: Τις βασικές σχέσεις μη-γραμμικής ανάλυσης στερεών με πεπερασμένα στοιχεία Την ιδέα της γραμμικοποίησης και σχηματισμού ενός αυξητικού και επαναληπτικού σχήματος για μη γραμμικά προβλήματα Τη χρήση της γραμμικής μορφής της Αρχής εικονικού έργου για τη λύση μη γραμμικών προβλημάτων Τα μη γραμμικά προβλήματα χωρίζονται ανάλογα με το αν η γραμμικότητα έγκειται στη γεωμετρία ή στο υλικό

Εισαγωγή Στην ανάλυση της παραμόρφωσης κάποιου στερεού, το πρόβλημα είναι μη γραμμικό όταν οι μετατοπίσεις είναι μη γραμμικά ανάλογες των φορτίων Η επίλυση γίνεται μέσω αυξητικής προσέγγισης θεωρώντας το συνολικό φορτίο διαιρεμένο σε ένα αριθμό επαυξήσεων και τη λύση της παραμόρφωσης υπολογίζεται διαδοχικά. Επομένως: Όπου n το βήμα της φόρτισης, η αύξηση της κομβικής μετατόπισης, είναι το μητρώο δυσκαμψίας και κάθε μετατόπιση, το διάνυσμα της αύξησης της εξωτερικής δύναμης και το σύνολο των βαθμών ελευθερίας.

Εισαγωγή Ράβδος Αμετάβλητο το ένα άκρο Το άλλο άκρο κινείται με την επίδραση της δύναμης F ως προς τον x και , Α η διατομή και Ε το Young’s modulus. Η σχέση μεταξύ της δύναμης και της μετατόπισης είναι:

Εισαγωγή Σχέση της δύναμης με τη μετατόπιση Αναλυτική λύση και επαναληπτική επίλυση για να πάρουμε την πραγματική μετατόπιση

Εισαγωγή Υποθέτουμε ότι η συνολική φόρτιση διαιρείται σε βήματα ώστε η εξωτερική δύναμη την εσωτερική Στην αρχή κάθε βήματος έχουμε ισορροπία Η αύξηση της δύναμης είναι και η νέα κατάσταση ισορροπίας Η εσωτερική δύναμη λόγω της παραμόρφωσης της μπάρας είναι μη γραμμική συνάρτηση της μετατόπισης και οι σειρές Taylor πρώτης τάξης είναι: (1) (2)

Εισαγωγή Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε: Όπου η πρώτη προσέγγιση της αύξησης της μετατόπισης Επίσης έχουμε τις πρώτες προσεγγίσεις Από τις σχέσεις (3) και (1) έχουμε όπου το υπολογίζεται και συνεχίζοντας επαναληπτικά έχουμε και τη μετατόπιση (3) Full Newton iteration

Εισαγωγή Στο τροποποιημένο επαναληπτικό σχήμα Newton το μητρώο δυσκαμψίας υπολογίζεται μόνο σε συγκεκριμένα βήματα ή μόνο στην αρχή Κερδίζουμε σε υπολογιστικό χρόνο Χάνουμε σε σύγκλιση γιατί χρειάζονται περισσότερες επαναλήψεις Στο παράδειγμα μας με το ολοκληρωμένο σχήμα χρειάζονται 7 επαναληπτικά βήματα ενώ στη δεύτερη περίπτωση χρειάζονται 48

Αρχή εικονικού έργου στη μη-γραμμική αυξητική ανάλυση Η αρχή βασίζεται στην ισορροπία των τάσεων μέσα σε ένα παραμορφώσιμο σώμα ή ένα σύνορο Οι μετατοπίσεις είναι μικρές Για κάθε διάταξη nB, τα εσωτερικά και εξωτερικά έργα είναι ίσα

Διακεκριμένο σύστημα Θεωρούμε ένα διακεκριμένο σύστημα με άκαμπτα και παραμορφώσιμα στερεά με βαθμούς ελευθερίας Το πρόβλημα λύνεται αυξητικά Η αρχή του εικονικού έργου είναι Προκύπτει η ισορροπία Από το επαναληπτικό σχήμα προκύπτει: , Ανύσματα μετάθεσης και περιστροφής αντίστοιχα

Αρχή συνεχούς έργου για συνεχές μέσο Το εσωτερικό εικονικό έργο περιγράφεται με τους όρους Green-Lagrange strain and το κλίση έργου second Piola -Kirchhoff stress για το τέλος του βήματος: είναι μικρές παραμορφώσειςόσον αφορά τη διάταξη αναφοράς: Ενώ είναι παραμορφώσεις σε σχέση με την μετατόπιση: Επίσης η αύξηση της τάσης προκύπτει:

Αρχή συνεχούς έργου για συνεχές μέσο Από τις προηγούμενες σχέσεις βρίσκουμε το εσωτερικό εικονικό έργο για τη διάταξη n+1B : Τέλος η γραμμική μορφή της Αρχής εικονικού έργου είναι: ως προς τον όγκο

Μοντέλο Πεπερασμένων Στοιχείων Ισορροπία πετυχαίνεται από την προηγούμενη σχέση και την παρεμβολή της μετατόπισης στο στοιχείο Για γραμμικές παραμορφώσεις έχουμε: όπου το γραμμικό μητρώο παραμορφώσεων -μετατόπισης, το n αντιστοιχεί στη διάταξη nB. Από τη σχέση (1) και έχουμε: Από τα προηγούμενα προκύπτει η σχέση ισορροπίας για ένα στοιχείο: Ο συστατικός πίνακας είναι (1)

Μοντέλο Πεπερασμένων Στοιχείων Το γραμμικό αυξητικό σύστημα εξισώσεων λύνεται για τη διαφορά μετατόπισης του κόμβου και οι εξισώσεις ισορροπίας γίνονται: Η μη-γραμμικότητα προκύπτει από μεγάλες μετατοπίσεις (γεωμετρική μη-γραμμικότητα) Επίσης μη-γραμμικότητα έχουμε αν το υλικό είναι μη-γραμμικό και υπάρχει στο συστατικό πίνακα Στην περίπτωση μη-γραμμικότητας μόνο στο υλικό έχουμε: όπου

Μοντέλο Πεπερασμένων Στοιχείων Η ακρίβεια εξαρτάται από τον αλγόριθμο για την ολοκλήρωση των τάσεων Ενώ η σύγκλιση εξαρτάται από το συστατικό πίνακα Ο μη-γραμμικός πίνακας παραμόρφωσης-μετατόπισης δίνεται από όπου

Μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων με λογαριθμικές παραμορφώσεις Οι λογαριθμικές παραμορφώσεις χρησιμοποιούνται σε αναλύσεις μεγάλων παραμορφώσεων Η λογαριθμική παραμόρφωση είναι το άθροισμα των αυξήσεων του μήκους όσον αφορά το παρόν μήκος. Δηλαδή: Αρχικό μήκος: Τελικό μήκος: Τότε και Για την επίλυση πρέπει: Να υπολογίσουμε την κλίση της παραμόρφωσης και τον αριστερό τανυστή Cauchy-Green Υπολογίζουμε τα κύρια τεντώματα, τις λογαριθμικές παραμορφώσεις και τις κύριες τάσεις Το υλικό είναι ισότροπο. Οι λογαριθμικές παραμορφώσεις χρησιμοποιούνται για βιολογικά υλικά : τέντωμα : παραμόρφωση Hencky

Παράδειγμα Μεγάλη μετατόπιση καναλιού με τοπική κάμψη