Η Αρχή Συμπερίληψης - Εξαίρεσης Η Αρχή Συμπερίληψης - Εξαίρεσης Εφαρμογές Απαρίθμηση Πιθανότητες Δικτυωτά Χρωματικά πολυών. Rook πολυώνυμα Σεμινάριο Ε.Μ.Ε. Μωυσιάδης Πολυχρόνης Καθηγητής Τμ. Μαθηματικών ΑΠΘ

Ένα πρόβλημα από το Δημ. Σχολείο 15 παιδιά παίζουν στην αυλή του σχολείου 6 έχουν κασκόλ, ενώ 8 από αυτά έχουν σκούφο, 3 έχουν και σκούφο και κασκόλ. Πόσα παιδιά δεν έχουν τίποτα; 15-6-8+3=4 εξαιρέθηκαν 2 φορές συμπεριελήφθησαν 1

Ορισμός Ν(α ή β)=Ν(α)+Ν(β)-Ν(α β) N άτομα πλήθος ατόμων που έχουν την ιδιότητα αk πλήθος ατόμων που δεν έχουν την ιδιότητα αk Γενικά πλήθος ατόμων που έχουν τις ιδιότητες α1, α2, … και δεν έχουν τις ιδιότητες β1, β2, … πλήθος ατόμων με τουλάχιστον μία από τις ιδιότητες α1, α2, …αn Θ. Αν α και β είναι δύο ιδιότητες και είναι γνωστές οι ποσότητες Ν(α), Ν(β) και Ν(α β), τότε θα ισχύει: Ν(α ή β)=Ν(α)+Ν(β)-Ν(α β) Ν(α΄β΄)=Ν-Ν(α ή β) και

Αρχή Συμπερ.-Εξαίρεσης (ΑΣΕ) Στο εισαγωγικό παράδειγμα α έχει σκούφο β έχει κασκόλ Ν=15, Ν(α)=8, Ν(β)=6, Ν(α β)=3

Απόδειξη (συνδυαστική) Θα δείξουμε ότι κάθε άτομο που έχει τουλάχιστον μία ιδιότητα προσφέρει ακριβώς μία 1-δα στο άθροισμα του β΄μέλους, ενώ είναι προφανές ότι προσφέρει μία 1-δα στο α΄μέλος. Έστω ότι το x έχει ακριβώς k, (k=1 έως n), από τις ιδιότητες. Τότε: Το x προσφέρει μονάδες στο Το x προσφέρει μονάδες στο .................................................................... Το x προσφέρει μονάδες στο Τελικά το x προσφέρει μονάδες στο β΄ μέλος που είναι πάντα 1. (Διώνυμο Νεύτωνα για a = -b = 1).

Απόδειξη (αλγεβρική) Αν Ak το σύνολο των ατόμων που έχουν την ιδιότητα αk και |Ak| συμβολίζει τον πληθικό αριθμό του συνόλου Ak , τότε: Ν(αk)= |Ak|, Ν(αk αs)= |AkAs|, ... όπου: και η ΑΣΕ γράφεται επίσης : που δείχνεται επαγωγικά ως γενίκευση της

Εφαρμογή  Ν=21 Ν; Ν(α)=12, Ν(β)=7, Ν(γ)=10, Ν(αβ)=3, α έγχορδο Από τους μουσικούς μιας ορχήστρας οι 12 παίζουν έγχορδο όργανο, 7 παίζουν πνευστό και 10 παίζουν κρουστό. Γνωρίζουμε επίσης ότι τρεις παίζουν και έγχορδο και πνευστό, τέσσερις παίζουν και πνευστό και κρουστό όργανο, 2 παίζουν έγχορδο και κρουστό ενώ υπάρχει ένας που παίζει και τα τρία είδη οργάνων. Πόσοι είναι οι μουσικοί; α έγχορδο β πνευστό γ κρουστό Ν; Ν(α)=12, Ν(β)=7, Ν(γ)=10, Ν(αβ)=3, Ν(αγ)=2, Ν(βγ)=4, Ν(αβγ)=1, Ν(α΄β΄γ΄)=0.  Ν=21

Κόσκινο του Ερατοσθένη Πόσοι από τους n=70 αριθμούς, δεν διαιρούνται ούτε με 2 ούτε με 3 ούτε με 11 α πολ.(2) β πολ.(3) γ πολ.(11) Γενίκευση Συνάρτηση Euler φ(n): μικρότεροι του n πρώτοι προς τον n

Θεωρία Πιθανοτήτων- Θ. Poincare Αν Α1, Α2, Α3, … είναι γεγονότα, τότε Ισοδύναμη με ΑΣΕ αν ο πιθανοχώρος είναι πεπερασμένος και εφαρμόσουμε τον κλασικό ορισμό P(A)=NA/N Tα γράμματα Γ, Δ, Υ, Ε, Σ, Ω, τοποθετούνται τυχαία σε σειρά. Ποια η πιθανότητα να μην εμφανιστούν οι λέξεις ΕΓΩ και ΣΥ; Α εμφανίζ. ΕΓΩ Β εμφανίζ. ΣΥ

Διαταράξεις Αναδιατάξεις διατεταγμένου συνόλου που δεν αφήνουν κανένα στοιχείο στην αρχική του θέση. Συμβολίζουμε Dn . Απόδειξη Έστω, (μ1,μ2,...,μn) μία από τις N=n! μεταθέσεις της n-άδας (1,2,...,n). Συμβολίζουμε αi την ιδιότητα ότι στη μετάθεση αυτή το μi είναι i, i=1,2,...n. Εφαρμόζουμε ΑΣΕ. Treize 13 φύλλα τράπουλας «ξεφυλλίζονται» Ποια η πιθανότητα μη συνάντησης;

Δικτυωτά 1 2 5 6 3 4 Γενικά 7 Δ(εξιά) 4 Π(άνω) α “διαδρομή που 7 Δ(εξιά) 4 Π(άνω) 1 2 5 6 3 4 Γενικά α “διαδρομή που περνά από 12” γ “διαδρομή που περνά από 56” β “διαδρομή που περνά από 34” Θέτουμε

Χρωματικά Πολυώνυμα γνήσιοι χρωματισμοί μη-γνήσιος χρωματισμός α β γ δ γνήσιοι χρωματισμοί μη-γνήσιος χρωματισμός α β γ δ G P(G,x) : πλήθος γνήσιων χρωματισμών με το πολύ x χρώματα. Ισχύουν N=x4, N(α1)=…= N(α4)= x3, N(α1α2)=…= N(α3α4)= x2, N(α1α2α3)=N(α1α2α4)= N(α1α3α4)=x, ενώ N(α2α3α4)=x2 N(α1α2α3α4)= x. Εύρεση του P(G,x) α1 Οι κορυφές α,β έχουν ίδιο χρώμα α2 Οι κορυφές β,γ έχουν ίδιο χρώμα α3 Οι κορυφές β,δ έχουν ίδιο χρώμα α4 Οι κορυφές γ,δ έχουν ίδιο χρώμα Θεωρούμε όλους τους χρωματισμούς με x χρώματα, γνήσιους και μη-γνήσιους

Τότε: Άρα Χρωματικό πολυώνυμο χ(G)=3 μικρότερο x για μη μηδενική τιμή Χρωματικός αριθμός Οι 12 χρωματισμοί του G με ακριβώς 3 χρώματα 1,2,3 είναι

Πολυώνυμα Rook Σε n´m με n£m, σκακιέρα χωρίς απαγορευμένα είναι Έστω rk(B) συμβολίζει το πλήθος των τρόπων που μπορούμε να τοποθετήσου-με k πύργους στη σκακιέρα Β που έχει n τετράγωνα, με τρόπο ώστε κανένας πύργος να μην «παίρνει» οποιονδήποτε άλλο. Η γεννήτρια συνάρτηση είναι πολυώνυμο και λέγεται rook πολυώνυμο, από τη λέξη rook=πύργος Σε n´m με n£m, σκακιέρα χωρίς απαγορευμένα είναι παράδειγμα

Ιδιότητες  Θ. Β σκακιέρα που χωρίζεται σε ανεξάρτητες υπο-σκακιέρες Θ. Β σκακιέρα που χωρίζεται σε ανεξάρτητες υπο-σκακιέρες Β1 και Β2.  Β1 Β2  Βr Βs Θ. Β σκακιέρα, Βr διαγραφή γραμ./στήλ Βs διαγραφή τετραγ. Β Στο παράδειγμα

Θεώρημα Β σκακιέρα Β΄ συμπληρωματική (συμπληρώνουν ορθογώνια σκακιέρα). Τότε: Θέτουμε αi την ιδιότητα μία από τις τοποθετήσεις των n πύργων στη σκακιέρα Β, να έχει τον i πύργο, (i=1,2,…,n), σε απαγορευμένη θέση Με ΑΣΕ όπου β1, β2, …, βk, k από τις ιδιότητες αi, (i=1,2,…,n) διότι k πύργοι σε απαγορευμένες (άρα στη Β΄), οι υπόλοιποι στην ορθογώνια σκακιέρα (n-k)´(m-k) που απομένει

Εφαρμογή Ανάθεση εργασιών. Μία επιχείρηση διαθέτει 5 υπαλλήλους, τους Α, Β, Γ, Δ και Ε, στους οποίους πρόκειται να αναθέσει πέντε εργασίες, τις α, β, γ, δ, και ε, από μία στον καθένα. Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να γίνει η ανάθεση των εργασιών, όταν είναι γνωστό ότι ο Α δεν μπορεί (ή δεν θέλει) τις εργασίες γ και δ, ο Β δεν μπορεί την δ, ο Γ δεν μπορεί τις β και ε και ο Ε δεν μπορεί την ε. Συμβολίζουμε Β τη δοθείσα σκακιέρα και Β΄ τη συμπληρωματική της. Β΄

Βιβλιογραφία Χρόνη Μωυσιάδη. Εφαρμοσμένη Συνδυαστική (υπό έκδοσιν) Χ. Χαραλαμπίδη (1990). Συνδυαστική (Πανεπ. Αθήνας) Χ. Χαραλαμπίδη (1990). Ασκήσεις Συνδυαστικής (Πανεπ. Αθήνας) P. Cameron (1995). Combinatorics, Cambrige Univ. Press M. Eisen (1969). Elementary Combinatorial Analysis. I. Niven (1977). Mathematics of choice, The Mathematical association of America. F. Roberts (1984). Applied Combinatorics, Prentice Hall