Το μπιλιάρδο, το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης δύο ακεραίων αριθμών   Σωτήρης Γκιουλέας Επιβλέπων Καθηγητής: Ζήνων Λυγάτσικας.

Παρουσίαση με θέμα: "Το μπιλιάρδο, το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης δύο ακεραίων αριθμών   Σωτήρης Γκιουλέας Επιβλέπων Καθηγητής: Ζήνων Λυγάτσικας."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Το μπιλιάρδο, το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο και ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης δύο ακεραίων αριθμών   Σωτήρης Γκιουλέας Επιβλέπων Καθηγητής: Ζήνων Λυγάτσικας Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

2 Περιεχόμενο Τι είναι το πρόβλημα του μπιλιάρδου
Παρατηρώντας την περίπτωση του μπιλιάρδου 4×6 Εύρεση του ΕΚΠ και απόδειξη Εύρεση του ΜΚΔ Περίπτωση όπου (α,β)=1 Περίπτωση όπου (α,β)≠1

3 Τι είναι το μαθηματικό μπιλιάρδο
Το μαθηματικό ή αριθμητικό μπιλιάρδο είναι ένα ιδανικό μπιλιάρδο, στο οποίο ή μπάλα είναι αβαρής, και δεν υπάρχουν τριβές ή απώλεια κινητικής ενέργειας.

4 Ποιό είναι το Πρόβλημα της Μπάλλας του μπιλιάρδου;
Έστω ένα ορθογώνιο αριθμητικό μπιλιάρδο με ακέραιες διαστάσεις. Η μπάλα εκτοξεύεται από την κορυφή Α με γωνία 45ο . Μεταξύ των ερωτήσεων του προβλήματος αναφέρουμε τις: Αν m/n o λόγος των πλευρών του μπιλιάρδου, πόσες φορές χτυπάει η μπάλα στις πλευρές του ορθογωνίου μέχρι να καταλήξει στη γωνία του παραλληλογράμμου; Μπορούμε να προβλέξουμε πότε η μπάλα θα βγεί από μία εκ των τεσσάρων κορυφών του ορθογωνίου?

5 Κατασκευή του ΕΚΠ, [α,β], α ≠ β
Κατασκευή του ΕΚΠ, [α,β], α ≠ β ΕΚΠ των 4 και 6 Παίρνουμε ορθογώνιο τραπέζι με ακέραιες διαστάσεις α και β. Από κάποια γωνία εκτοξεύουμε μια μπάλα από γωνία 45°. Το μήκος της διαδρομής της μπάλας μέχρι αυτή να φτάσει σε κάποια γωνία είναι το ΕΚΠ των α και β επί το √2.

6 Απόδειξη για ορθογώνιο διαστάσεων 4×6
Εδώ θα έχεις γραμμένο σε ένα φύλλο την απόδειξη και θα την διαβάσεις

7 Μέγιστος κοινός διαιρέτης
Μετράμε την απόσταση από την αρχή της τροχιάς της μπάλας ως το κοντινότερο σημείο διασταύρωσής της. Η απόδειξη γίνεται ανά περίπτωση: Αν ο ΜΚΔ των διαστάσεων του τραπεζιού είναι το 1 Αν ο ΜΚΔ των διαστάσεων του τραπεζιού είναι μεγαλύτερος του 1

8 ΜΚΔ των 3 και 5 Επειδή (3,5)=1, [3,5]=3×5 Η μπάλα θα περάσει από 3×5 μοναδιαία τετράγωνα, δηλαδή, από όλα τα μοναδιαία τετράγωνα. Άρα η τροχιά της μπάλας θα διασταυρωθεί 1 μοναδιαίο τετράγωνο από το σημείο εκκίνησής της.

9 ΜΚΔ των 3 και ΜΚΔ των 6 και 8 Ανάγουμε την περίπτωση όπου ο ΜΚΔ των μηκών των πλευρών του τραπεζιού είναι διάφορος του 1, στην περίπτωση που είναι το 1

10 Βιβλιογραφία [1] Gardner, Martin (1984). Sixth Book of Mathematical Diversions from "Scientific American, University of Chicago Press. pp [2] Steinhaus, Hugo. (1999) Mathematical Snapshots, Dover Recreational Math Series ed., Courier Corporation. [3] Wikipedia: Λήμμα Arithmetic Billiards ή στο τελευταία προσπέλαση 01/12/2018.

11 Ευχαριστώ για την προσοχή σας