Ε λληνικό Ι νστιτούτο Μ ετρολογίας Σύγκριση μεταξύ αναλυτικών και αριθμητικών μεθόδων υπολογισμού της αβεβαιότητας μέτρησης Χρήστος Μπαντής, Ph. D. Νοέμβριος, 2005

Συνοπτικά... Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε: Τις προϋποθέσεις για τον υπολογισμό της αβεβαιότητας μίας μέτρησης με την μέθοδο διάδοσης των αβεβαιοτήτων (Law of Propagation of Uncertainties-LPU), όπως αυτή περιγράφεται στο “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement”. Τον τρόπο υπολογισμού της αβεβαιότητας μίας μέτρησης με αριθμητικές μεθόδους Monte Carlo, μέθοδο διάδοσης των κατανομών πιθανότητας (propagation of probability distributions). Την ανάγκη της επιβεβαίωσης (validation) της μεθόδου της διάδοσης των αβεβαιοτήτων με την βοήθεια των αριθμητικών μεθόδων.

Επιλογή Μοντέλου... Αρχικά επιλέγουμε την συνάρτηση που περιγράφει την διαδικασία της μέτρησής μας. όπου x i είναι οι μετρήσιμες ποσότητες και παράμετροι του μαθηματικού μοντέλου. (1)

Επιλογή κατανομών των x i...

Μέθοδος διάδοσης αβεβαιοτήτων όπου και για r(x i,x j )=0 (2) (3)

Μέθοδος διάδοσης αβεβαιοτήτων Γραμμικότητα μοντέλου. Ισχύς του κεντρικού οριακού θεωρήματος. Συμμετρικές κατανομές. Καμίας παραμέτρου η αβεβαιότητα δεν είναι τόσο μεγάλη ώστε να κυριαρχεί όλων των άλλων. Προϋποθέσεις εφαρμογής...

Μέθοδος διάδοσης κατανομών πιθανότητας Η επιλογή του μοντέλου και των κατανομών. Δημιουργία Μ ανεξάρτητων τυχαίων τιμών για κάθε μία από τις Ν παραμέτρους που ακολουθούν τις επιλεγμένες κατανομές. {(x 11,x 21...x N1 ), (x 12,x 22...x N2 ), …, (x 1M,x 2M...x NM )} Για μεγάλο αριθμό Μ υπολογίζουμε τις τιμές των y i, προσεγγίζουμε τη συνάρτησης αθροιστικής πυκνότητας πιθανότητας, και υπολογίζουμε την αναμενόμενη τιμή, την τυπική απόκλιση, καθώς και το διάστημα εμπιστοσύνης για το απαιτούμενο ποσοστό εμπιστοσύνης.

Παράδειγμα 1 Η αβεβαιότητα μίας παραμέτρου είναι τόσο μεγάλη ώστε να κυριαρχεί όλων των άλλων. Έστω ότι η μέτρηση περιγράφεται από το άθροισμα τεσσάρων τετραγωνικών κατανομών μία από τις οποίες έχει πολύ μεγαλύτερο εύρος από τις άλλες. Η μέση τιμή όλων των μεταβλητών είναι ίση με μηδέν και τυπική αβεβαιότητα u(x 1 )=10 και u(x 2 )=u(x 3 )=u(x 4 )=1). Μετρήσεις με απλά παχύμετρα, χάρακες και υδραργυρικά θερμόμετρα, στις οποίες το σφάλμα ανάγνωσης είναι η κύρια πηγή της αβεβαιότητας μπορεί να ανήκουν σε αυτή την κατηγορία.

Κατανομή της παραμέτρου εξόδου Y όπως υπολογίζεται με την μέθοδο διάδοσης των αβεβαιοτήτων (συνεχής μαύρη γραμμή) και από Monte Carlo Simulation (ιστόγραμμα). Οι διακεκομμένες και διακεκομμένες με τελείες γραμμές ορίζουν διάστημα εμπιστοσύνης όπως αυτό προκύπτει από τις δύο μεθόδους αντίστοιχα.

Αποτελέσματα αθροιστικού μοντέλου Από το γράφημα και τον παραπάνω πίνακα βλέπει κανείς ότι η στατιστική κατανομή της παραμέτρου εξόδου δεν είναι κανονική και το διάστημα εμπιστοσύνης υπερεκτιμάται. Μέθοδοςyu(y)u(y) Διευρυμένη Αβεβαιότητα (U) Διάστημα Εμπιστοσύνης % MCS , 17.4 LPU , 20.3

Παράδειγμα 2 Απλό μη γραμμικό μοντέλο. Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το διάστημα που διήνυσε ένα αυτοκίνητο που ξεκινά από την ηρεμία και επιταχύνει με σταθερή επιτάχυνση α=1±0.1 m/s 2, για t=20±3 sec τα οποία τα μετρούμε με ένα απλό ρολόι. Εξίσωση μοντέλου:

Κατανομή της παραμέτρου εξόδου Y όπως υπολογίζεται με την μέθοδο διάδοσης των αβεβαιοτήτων (συνεχής μαύρη γραμμή) και από Monte Carlo Simulation (ιστόγραμμα). Οι διακεκομμένες και διακεκομμένες με τελείες γραμμές ορίζουν διάστημα εμπιστοσύνης όπως αυτό προκύπτει από τις δύο μεθόδους αντίστοιχα.

Πίνακας αποτελεσμάτων Μέθοδοςy (m)u(y) (m) Διευρυμένη Αβεβαιότητα (U) (m) Διάστημα Εμπιστοσύνης % (m) MCS , LPU , Από το γράφημα και τον παραπάνω πίνακα βλέπει κανείς ότι η στατιστική κατανομή της παραμέτρου εξόδου δεν είναι κανονική και το διάστημα εμπιστοσύνης υποεκτιμάται, ενώ διαφορά μεταξύ των δύο μεθόδων παρατηρείται και στην μέση τιμή.

Συμπεράσματα Η σύγκριση αναλυτικών (όπως αυτές περιγράφονται στο “Guide to the expression of uncertainty in measurement”-GUM) και αριθμητικών (Monte Carlo) μεθόδων υπολογισμού της αβεβαιότητας μέτρησης οδηγούν σε αποτελέσματα που συμφωνούν μεταξύ τους μόνον όταν όλες οι προϋποθέσεις εφαρμογής του αναλυτικού υπολογισμού πληρούνται. Συνεπώς προσεκτικός έλεγχος των περιπτώσεων όπου εφαρμόζεται η μέθοδος διάδοσης των αβεβαιοτήτων πρέπει πάντα να προηγείται. Η χρήση της μεθόδου Monte Carlo λόγω της σημερινής υπολογιστικής δύναμης των προσωπικών υπολογιστών μπορεί να χρησιμοποιηθεί στα περισσότερα μοντέλα μέτρησης και να αποτελέσει μία γρήγορη μέθοδο για την επιβεβαίωση (validation) ή ακόμη και την αντικατάσταση των αναλυτικών μεθόδων υπολογισμού.

Βιβλιογραφία ISO, Guide to the expression of uncertainty in measurement. (International Organization for Standardization, 1995). ISO, Guide to the expression of uncertainty in measurement. Supplement 1. Numerical methods for the propagation of distributions (International Organization for Standardization, 2004). EA-4/02, Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration (European co-operation for Accreditation, 1999). C. F. Dietrich, Uncertainty, Calibration and Probability (Adam Hilger, Bristol, 1991). I. Lira, Evaluating the Measurement Uncertainty (IOP, Bristol and Philadelphia, 2002).