Η Γεωμετρία και η σημασία της στη σύγχρονη Φυσική Η Γεωμετρία και η σημασία της στη σύγχρονη Φυσική Η οντότητα των μη-Ευκλείδειων Γεωμετριών

« .. α ε ί ο Θ ε ό ς ο Μ έ γ α ς γ ε ω μ ε τ ρ ε ί .. » εισαγωγή ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ : « γ α ί α » + « μ ε τ ρ ώ » = χωρικές σχέσεις + ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΑΞΙΩΜΑ = θεμελιώδεις σχέσεις χωρίς απόδειξη  λογικά συμπεράσματα  μαθηματικό οικοδόμημα ‘Στοιχεία’ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ, 300π.Χ. πρότυπο εγχειριδίου και επιστημονικού πονήματος αισθητική τελειότητα των σχημάτων συμπαγής ορθότητα « .. α ε ί ο Θ ε ό ς ο Μ έ γ α ς γ ε ω μ ε τ ρ ε ί .. »

ΤΑ 5 ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ 1. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν αγάγειν. 2. Και πεπερασμένην ευθείαν κατά το συνεχές επ’ευθείας εκβάλειν. 3. Και παντί κέντρω και διαστήματι κύκλον γράφεσθαι. 4. Και πάσας τας ορθάς γωνίας ίσας αλλήλαις είναι. 5. Και εάν εις δύο ευθείας ευθεία εμπίπτουσα τας εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίας δύο ορθών ελάσσονος ποιή, εκβαλλομένας τας δύο ευθείας επ’άπειρον συμπίπτειν, εφ’ά μέρη εισίν αι των δύο ορθών ελάσσονες.

ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΥΘΕΙΑ := η γραμμή ελαχίστου μήκους που συνδέει δύο σημεία του επιπέδου ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΗ ΓΡΑΜΜΗ := η γραμμή επάνω σε οποιαδήποτε επιφάνεια που ενώνει δύο σημεία της και έχει το ελάχιστο δυνατόν μήκος π.χ. Ο μέγιστος κύκλος στην επιφάνεια μίας σφαίρας. Στους μη-Ευκλείδειους χώρους, αντικαθιστά την έννοια της ευθείας. ΧΩΡΟΣ := περιβάλλον + έννοια της απόστασης [ max  Σύμπαν , min  σημείο ] ΔΙΑΣΤΑΣΗ := η δυνατότητα αλλαγής διεύθυνσης κίνησης κάθετα στην προηγούμενη σε ένα χώρο [ μήκος ┴ πλάτος ┴ ύψος ]

ΟΡΙΣΜΟΙ ΜΕΤΡΙΚΗ := το πλέγμα των αποστάσεων μεταξύ γειτονικών σημείων. Εξαρτάται από το σύστημα συντ/νων και την πραγματική γεωμετρία του υπό μελέτη χώρου. Σ' ένα Ευκλείδειο επίπεδο μερικές από τις δυνατές μετρικές είναι: ds² = dx² + dy² (Καρτεσιανές συντ/νες)       ds² = dr² + r² dθ² (Πολικές συντ/νες) Πάνω στην επιφάνεια μιας σφαίρας έχει τη μορφή:          ds² = dr² + sin2r·dθ² (Πολικές συντ/νες-σφαιρική γεωμετρία) Μετρική Minkowski της ειδικής σχετικότητας:           ds² = (cdt)² - dx² - dy² - dz²

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ Ποσότητα που ορίζεται σε κάθε σημείο οποιασδήποτε επιφάνειας και χαρακτηρίζει την τάση της μετρικής να αυξάνει [θετική],να παραμένει σταθερή [μηδενική] ή να μειώνεται [αρνητική] καθώς απομακρυνόμαστε από τη γραμμή βάσεως. Όσο μεγαλύτερη [αντίστ. μικρότερη] είναι η τιμή της θετικής [αρνητικής] καμπυλότητας, τόσο πιο γρήγορα μικραίνουν [αυξάνονται] τα διαστήματα μεταξύ των γειτονικών σημείων, όπως προκύπτει από τον τύπο του Gauss. Ο Gauss εισάγει τον όρο προσδιορίζοντας ένα μέγεθος που μετρείται μόνο ενώ βρισκόμαστε εντός του χώρου που αυτό χαρακτηρίζει. Οι τοπικές μετρήσεις σε λείες επιφάνειες προσεγγίζουν καλά τον Ευκλείδειο χώρο, αλλά μακροσκοπικά διαπιστώνονται αποκλίσεις με την ύπαρξη καμπυλότητας.

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ Η ποιότητα του χώρου που δεν υπακούει στους νόμους της Ευκλείδειας γεωμετρίας. π.χ. Γ ρ α μ μ ή (! ανεξ. σχήματος,1-D) : μηδενική k Ε π ί π ε δ ο τυλιγμένο σε κύλινδρο (2-D) : μηδενική k Σ φ α ί ρ α (3-D) : k > 0 ΕΞΩΓΕΝΗΣ : απαίτηση 1 παραπάνω διάστασης ΕΓΓΕΝΗΣ : γεωδαισιακές γραμμές Ευθεία / Καμπύλη [Gauss]

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ Γιατί η έννοια της καμπυλότητας κατέληξε να αποκτήσει διττό χαρακτήρα? Οι μη-Ευκλείδειοι χώροι μπορούν να παρασταθούν μόνο ως (εξωγενώς) καμπυλωμένες Ευκλείδειες επιφάνειες,γι’αυτό και έγινε χρήση του όρου « κ α μ π υ λ ό τ η τ α » για τον χαρακτηρισμό των εσωτερικών ιδιοτήτων τέτοιων χώρων, αφού τα ευκλείδεια μοντέλα τους διαθέτουν πάντα εξωγενή. Π.χ. Χώρος Riemann [k>0 , 3-D]  Σφαίρα σε επίπεδο [k=0 , 2-D]

ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΓΩ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ Το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου δεν ισούται με 180°. Η περίμετρος του κύκλου δεν ισούται με 2πR, όπου R η ακτίνα του. Δεν ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

ΤΟ 5° ΑΞΙΩΜΑ «Αν μια ευθεία γραμμή η οποία τέμνει δύο άλλες, σχηματίζει εσωτερικές γωνίες μ'αυτές -προς την ίδια πλευρά της- με άθροισμα λιγότερο από 2 ορθές, τότε αν οι 2 ευθείες επεκταθούν επ' άπειρον, τέμνονται προς εκείνη την πλευρά που το άθροισμα των παραπάνω γωνιών ήταν λιγότερο από 2 ορθές.» ή «Από ένα σημείο εκτός μίας ευθείας περνά μία και μόνη παράλληλη ως προς την ευθεία αυτή.» [ΑΞΙΩΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ]

ΓΕΝΕΣΗ ΜΗ-ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΩΝ Gerolamo Saccheri (1667-1733) 5° Αξίωμα: διαισθητικά μ η π ρ ο φ α ν έ ς “εις άτοπον απαγωγή” Καμία παράλληλη ευθεία  «ΣΦΑΙΡΙΚΗ» ή «ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΗ» γεωμετρία [θετικά καμπυλωμένος χώρος] Riemann (1826-1866) Άπειρες παράλληλες  «ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ» γεωμετρία [αρνητικά καμπυλωμένος χώρος] Bolyai (1802-1860) Lobachewsky (1792-1856)

ΜΗ-ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ & ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Βαρυτική θεωρία [Einstein 1915] Οι 3 διαστάσεις του στερεού εξαρτώνται και από την κίνησή του στον χώρο, όπου υφίσταται και 4η διάσταση, ο χ ρ ό ν ο ς. Ο χ ω ρ ό χ ρ ο ν ο ς ως ενοποιημένη έννοια, που είναι μαθηματικά χώρος Μινκόφσκι, είναι απόλυτος, ενώ οι συνιστώσες του, ο χώρος και ο χρόνος, αποτελούν πλευρές του που εξαρτώνται από τον παρατηρητή (το σύστημα αναφοράς). Η β α ρ υ τ ι κ ή δ ύ ν α μ η περιγράφεται μέσω καμπυλώσεων του χωροχρονικού συνεχούς παρουσία μάζας.

ΜΗ-ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ & ΘΕΩΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ To δισδιάστατο ανάλογο παραμόρφωσης του χωρόχρονου. Η παρουσία ύλης αλλάζει τη γ ε ω μ ε τ ρ ί α του χωροχρονικού συνεχούς, η θετική κ α μ π ύ λ ω σ η του οποίου ερμηνεύεται ως βαρύτητα.

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ εγγενής καμπυλότητα = εξωγενής + 1 extra διάσταση ΟΠΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ≡ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ: εγγενής καμπυλότητα = εξωγενής + 1 extra διάσταση ΑΞΙΩΜΑ ΟΡΘΟΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ ΟΠΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ≠ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ: δυνατότητα ύπαρξης εγγενώς καμπύλων χώρων χωρίς την εξωγενή καμπυλότητα ΑΞΙΩΜΑ ΕΤΕΡΟΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ & ΥΠΑΡΞΗ ΤΩΝ ΜΗ-ΕΥΚΛΕΙΔΙΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΩΝ Κ Λ Ε Ι Σ Τ Η ΟΡΘΟΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ: οποιαδήποτε γεωμετρία εκτός της Ευκλείδιας  Ψευδο-Γεωμετρία [καμπύλη ≠ ευθείας] Α Ν Ο Ι Κ Τ Η ΟΡΘΟΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ: Ύπαρξη ‘κρυμμένων’ χωρικών διαστάσεων  λειτουργικές οι μη-Ευκλείδιες γεωμετρίες [ευκλείδιο μοντέλο με εξωγενή k] ΕΤΕΡΟΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ: Δυνατές οι μη-Ευκλείδιες γεωμετρίες [γεωδαισιακή ≡ ευθεία]

γεωμετρικές «προεκτάσεις» Η 5η Διάσταση: Ηλεκτρομαγνητική δύναμη [Kaluza-Klein] Κάθε σημείο του χώρου αποτελεί βρόγχο της 5ης διάστασης,που τυλίγεται για να φτάσει να είναι μικρότερη απο την κλίμακα του Planck (10-33cm). Φορτίο  κίνηση στην 5η διάσταση Μεγάλος Συγκρουστής Αδρονίων (LHC) CERN

γεωμετρικές «προεκτάσεις» Υπερσυμμετρική Θεωρία Χορδών: 10-D χωρόχρονου Οριακή περίπτωση της M-theory των 11-D «Θεωρία των Πάντων» - ενοποίηση ? 4 + 6 διαστάσεις! μικρές/κρυμμένες οι επιπλέον διαστάσεις ή δέσμευσή μας σε υπερμεμβράνη 4 χωροχρονικών διαστάσεων [brane-world theory]

γεωμετρικές «προεκτάσεις» Fractal: γεωμετρικό σχήμα με αυτοπαθή συμμετρία και κλασματική διάσταση – θεωρία του Χάους  fractal Geometry [περιγραφή πολύπλοκων φυσικών δομών] 1890/Peano : καμπύλη Peano (διέρχεται από κάθε εσωτερικό σημείο τετραγώνου)  Μήκος ή εμβαδόν? 1904/ von Koch : καμπύλη «νιφάδας» (αντικείμενο διάστασης >1 και <2) 1918/ Hausdorff : χώρος κλασματικής διάστασης 1975/ Mandelbrot : fractal διάσταση (πρόβλημα εμβαδού επιφανειών - μήκους καμπύλης)

το γαλάζιο ρόδο

φιλοσοφικοί προβληματισμοί ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ : μαθηματικός φορμαλισμός [Newton] και φυσικό νόημα [Einstein] ΠΕΙΡΑΜΑ : παρατήρηση της αντικείμενης πραγματικότητας - αίτιο και «κριτής» μίας θεωρίας Φυσικός Κόσμος  σύμφυτη αίσθηση νομοτέλειας

φιλοσοφικοί προβληματισμοί Em.Kant: “Αν και η άρνηση του 5ου Αξιώματος μπορεί να συλληφθεί από τον ανθρώπινο νου χωρίς εμφανείς αντιφάσεις, η διαίσθησή μας για τον κόσμο είναι περιορισμένη από τον τύπο του χώρου που έχει επιβληθεί στο μυαλό μας.” D.Hume: “Η πιθανότητα ύπαρξης ταυτίζεται με μια λογικά στέρεη δυνατότητα σύλληψης.”

επίλογος μαθηματικές εξισώσεις ≠ εξήγηση του φαινομένου μαθηματικές εξισώσεις ≠ εξήγηση του φαινομένου Απορίες οντολογικής φύσης ανεξάρτητες του μαθηματικού μέρους της θεωρίας και άρα της ίδιας της επιστήμης  καταφυγή στην Φιλοσοφία και όριο της επιστημονικής Γνώσης

Σ.Μαλτέζος – προσωπικές σημειώσεις [Ε.Μ.Π.] βιβλιογραφία «Οι θεμελιώδεις αρχές της θεωρίας της Ειδικής Σχετικότητας» Σ.Μαλτέζος – προσωπικές σημειώσεις [Ε.Μ.Π.] «Η ΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ» R.Osserman – μτφρ. Γ.Κυρακόπουλος [Παν/μίου Stanford] «ΤΟ ΧΡΟΝΙΚΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ» St.Hawking – μτφρ. Κ.Χάρακας «ΥΠΕΡΧΟΡΔΕΣ - Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΝΤΩΝ» J.Schwartz, Ed.Witten, R.Feynman κ.α. [Παν/μίου Cambridge]

βιβλιογραφία «The Ontology and Cosmology of Non-Euclidean Geometry» Kelley L. Ross, Ph.D. «The Riemannian Metric and Curvature Tensor on a Manifold» Niles G. Johnson, 2003 David T. Guarrera, Northwestern University Homer F. Wolfe, New College of Florida Μηνιαίο Περιοδικό QUANTUM εκδ.NSTA / AAPT / NCTM / Kvant google-search / www.physics4u.gr

Σας ευχαριστώ Ε.Μ.Π. Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. Υπεύθυνος θέματος: Επιμέλεια: Σ.ΜΑΛΤΕΖΟΣ Επιμέλεια: Κ.-Β. ΜΥΤΙΛΗΝΑΙΟΥ