Θεωρία Ελαχίστων Τετραγώνων
x(min)y(cm) 05,3 17,5 28,7 310,6 413,0 514,7 Πολλές φορές τα δεδομένα μας τείνουν σε ευθεία της μορφής y = A + Bx. Η ερώτηση είναι πόσο είναι το A και B; Π.χ. ένας φοιτητής στο t = 0 min άνοιξε μια βρύση για να γεμίσει έναν νεροχύτη ο οποίος ήδη περιείχε μια ποσότητα νερού). Ο φοιτητής κατέγραψε την στάθμη του νερού ανά ένα λεπτό.
Μπορούμε βέβαια να τοποθετήσουμε τα σημεία πάνω σε μια γραφική παράσταση, να φέρουμε την καλύτερη ευθεία κατά την γνώμη μας, και να μετρήσουμε τα A και B. Μια πιο ακριβής μέθοδος είναι η λεγόμενη θεωρία των τετραγώνων. Σύμφωνα με αυτή, απλά κατασκευάζουμε τον πίνακα Νxyx*yx2x2 y2y2 605,30028,09 17,5 156,25 28,717,4475,69 310,631,89112,36 413,052, ,773,525216,09 Άθροισμα1559,8182,255657,48
Με την βοήθεια των παραπάνω αθροισμάτων οι ζητούμενες σταθερές δίνονται αυτομάτως από τις: A = ( N Σxy – Σx Σy ) / ( N Σx 2 – (Σx) 2 ) B = ( Σy Σx 2 – Σx Σxy ) / ( N Σx 2 – (Σx) 2 ) Στο συγκεκριμένο παράδειγμα A = (6. 182,2 – ,8) / ( – 15 2 ) = 5,3 cm B = (59,8. 55 – ,2) / ( – 15 2 ) = 1,87 cm/min (μονάδες!) Δηλαδή σύμφωνα με την θεωρία ελαχίστων τετραγώνων, τα δεδομένα μας πρέπει να πέφτουν πολύ κοντά στην ευθεία y = 5,3 + 1,87 x Η γραφική παράσταση επιβεβαιώνει το παραπάνω: