2. Άλγεβρα Boole και Λογικές Πύλες 2.1 Βασικοί ορισμοί Η άλγεβρα Boole μπορεί να οριστεί με ένα σύνολο στοιχείων, ένα σύνολο τελεστών και ένα σύνολο αξιωμάτων. Δυαδικός τελεστής ορισμένος σε ένα σύνολο S είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε ζευγάρι στοιχείων του S ένα μοναδικό στοιχείο από το S. Τα αξιώματα ενός μαθηματικού συστήματος είναι οι βασικές υποθέσεις από τις οποίες μπορούν να εξαχθούν όλοι οι κανόνες, τα θεωρήματα και οι ιδιότητες του συστήματος.

Βασικά Αξιώματα Τα πιο συνηθισμένα αξιώματα είναι: 1. Κλειστότητα (closure) ως προς δυαδικό τελεστή εάν a,b S  ab = c S 2. Προσεταιριστικός νόμος (associative law) (xy)z=x(yz)  x,y,zS 3. Αντιμεταθετικός νόμος (commutative law) xy=yx  x,yS 4. Ουδέτερο ή στοιχείο ταυτότητας (identity element) ex=xe=x  xS 5. Αντίστροφο (inverse) xy=e  x,yS 6. Επιμεριστικός νόμος (distributive law) x(yz)=xy  xz  x,y,zS

2.2 Αξιωματικός ορισμός της Άλγεβρας Boole Η άλγεβρα Boole είναι μια αλγεβρική δομή ορισμένη σε ένα σύνολο στοιχείων Β, μαζί με δυο δυαδικούς τελεστές + και , αρκεί να ικανοποιούνται τα παρακάτω αξιώματα (Huntington): 1. (α) Κλειστή ως προς τον τελεστή + (β) Κλειστή ως προς τον τελεστή  2. (α) Ένα ουδέτερο στοιχείο, 0, ως προς + : x+0=0+x=x (β) Ένα ουδέτερο στοιχείο, 1, ως προς  : x1=1x=x 3. (α) Αντιμεταθετική ως προς +: x+y=y+x (β) Αντιμεταθετική ως προς  : xy=yx 4. (α) Ο  είναι επιμεριστικός ως προς + : x(y+z)=(xy)+(xz) (β) Ο + είναι επιμεριστικός ως προς  : x+(yz)=(x+y)(x+z) 5. Για κάθε στοιχείο xB, υπάρχει στοιχείο xB (το συμπλήρωμα) ώστε: α) x+x=1 και β) xx=0 6. Υπάρχουν τουλάχιστον δυο στοιχεία x,yB τέτοια ώστε xy

2.2 Αξιωματικός ορισμός της Άλγεβρας Boole 1. Δεν περιλαμβάνεται ο προσεταιριστικός νόμος, ο οποίος όμως μπορεί να εξαχθεί από τα άλλα αξιώματα 2. Ο επιμεριστικός νόμος του + ως προς , δηλαδή x+(yz)=(x+y)(x+z), ισχύει για την άλγεβρα Boole αλλά όχι για τη συνηθισμένη. Η άλγεβρα Boole δεν έχει προσθετικά ή πολλαπλασιαστικά αντίστροφα 4. Ο τελεστής που καλείται συμπλήρωμα δεν υπάρχει στη συνηθισμένη άλγεβρα Η συνηθισμένη άλγεβρα ασχολείται με το απειροσύνολο των πραγματικών αριθμών ενώ η άλγεβρα Boole μόνο με το σύνολο στοιχείων Β Για να έχουμε μια άλγεβρα Boole, πρέπει να έχουμε τα στοιχεία του συνόλου Β τους κανόνες λειτουργίας των δυο δυαδικών τελεστών - ότι το σύνολο των στοιχείων του Β μαζί με τους δυο τελεστές ικανοποιεί τα έξι αξιώματα του Huntington

Η δίτιμη Άλγεβρα Boole Μια άλγεβρα Boole με δυο τιμές ορίζεται πάνω σ’ένα σύνολο δυο στοιχείων Β={0,1}, με κανόνες για τους δυο δυαδικούς τελεστές + και  , όπως φαίνεται στους παρακάτω πίνακες: x y xy x y x+y x x’ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Αυτοί οι κανόνες είναι ίδιοι με τις λογικές πράξεις AND, OR και NOT. Οι κανόνες του Huntington ισχύουν για το σύνολο Β={0,1} και τους παραπάνω τελεστές: 1. Κλειστότητα: το αποτέλεσμα κάθε πράξης είναι 0 ή 1, και 0,1Β 2. (α) το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο για τον + αφού 0+0=0, 0+1=1+0=1 (β) το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο για τον  αφού 11=1, 10=01=0 3. Η ισχύς του αντιμεταθετικού νόμου είναι εμφανής από τη συμμετρία των πινάκων 4. Ο επιμεριστικός νόμος ισχύει (πίνακας αλήθειας) 5. (α) x+x=1, αφού 0+0=0+1=1 και 1+1=1+0=1 (β) xx=0, αφού 00=01=0 και 11=10=0 6. Η δίτιμη άλγεβρα Boole έχει δυο στοιχεία 1,0 με 10

2.3 Βασικά θεωρήματα και ιδιότητες της άλγεβρας Boole   Θεώρημα 1 α) x+x = x x+x = (x+x) 1 από αξίωμα 2(β) = (x+x)(x+x)  5(α) = x+xx  4(β) = x+0  5(β) = x  2(α)

2.3 Βασικά θεωρήματα και ιδιότητες της άλγεβρας Boole β) xx = x xx = xx + 0 από αξίωμα 2(α) = xx+xx  5(β) = x(x+x)  4(α) = x1  5(α) = x  2(β)   Το θεώρημα 1(β) είναι το δυϊκό του θεωρήματος 1(α) και κάθε βήμα της απόδειξης στο μέρος (β) είναι δυϊκό του αντίστοιχου στο μέρος (α). Οποιοδήποτε δυϊκό θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί παίρνοντας το δυϊκό της απόδειξης.

2.3 Βασικά θεωρήματα και ιδιότητες της άλγεβρας Boole Θεώρημα 2 α) x+1 = 1 x+1 = 1(x+1) από αξίωμα 2(β) = (x+x)(x+1)  5(α) = x+x1  4(β) = x + x  2(β) = 1  5(α)   β) x0 = 0 από δυϊσμό Θεώρημα 3 (x) = x Από αξίωμα 5 έχουμε x+x=1 και xx=0. Επομένως το συμπλήρωμα του x είναι το x αλλά και το (x). Άρα x=(x). Θεώρημα 4 (προσεταιριστικός νόμος) (α) x+(y+z) = (x+y)+z (β) x(yz) = (xy)z

2.3 Βασικά θεωρήματα και ιδιότητες της άλγεβρας Boole Θεώρημα 5 (De Morgan) (α) (x+y) = xy (β) (xy) = x+y x y z y+z x+y x+(y+z) (x+y)+z x y (x+y) xy 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

2.3 Βασικά θεωρήματα και ιδιότητες της άλγεβρας Boole Θεώρημα 4 (θεώρημα της απορρόφησης) α) x+xy = x x+xy = x1+xy από αξίωμα 2(β) = x(1+y)  5(α) = x(y+1)  4(α) = x∙1  5(α) = x  2(β) β) x(x+y) = x από δυϊσμό Προτεραιότητα τελεστών Η προτεραιότητα των τελεστών για τον υπολογισμό των εκφράσεων Boole ακολουθεί τη σειρά: (1) παρενθέσεις, (2) NOT, (3) AND και (4) OR.

Διαγράμματα Venn Διάγραμμα Venn για δυο μεταβλητές x y xy xy xy   xy Τα διαγράμματα Venn μπορούν να χρησιμοποιηθούν για γραφική απεικόνιση των αξιωμάτων της άλγεβρας Boole ή για απόδειξη των θεωρημάτων   Επιμεριστικός νόμος x y x y x y z z x(x+y) xy+xz x = x+xy  

2.4 Συναρτήσεις Boole Μια συνάρτηση Boole είναι μια έκφραση που σχηματίζεται από δυαδικές μεταβλητές, τους δυο δυαδικούς τελεστές AND, OR, τον τελεστή NOT, παρενθέσεις και ένα ίσον. Για μια δεδομένη τιμή των μεταβλητών η συνάρτηση μπορεί να είναι είτε 0 είτε 1 π.χ.: F1 = xyz F1 = 1 εάν x=1, y=1 και z=1, διαφορετικά F1 = 0 Μια συνάρτηση Boole μπορεί επίσης να οριστεί ή να περιγραφεί με έναν πίνακα αλήθειας - Ο αριθμός των γραμμών στον πίνακα είναι 2n όπου n ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών - Για κάθε γραμμή του πίνακα υπάρχει μία τιμή (0 ή 1) για τη συνάρτηση

2.4 Συναρτήσεις Boole π.χ: F1=xyz, F2=x+yz, F3=xyz+xyz+xy, F4=xy+xz x y z F1 F2 F3 F4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 Μπορεί να υπάρχουν διαφορετικές αλγεβρικές εκφράσεις για την ίδια συνάρτηση π.χ. F3= F4. Η εύρεση απλούστερων εκφράσεων είναι η σημαντικότερη εφαρμογή της άλγεβρας Boole. Mια συνάρτηση Boole μπορεί να μετασχηματιστεί από αλγεβρική έκφραση σε ένα κύκλωμα αποτελούμενο από πύλες AND, OR, NOT

Παραδείγματα υλοποιήσεων

Αλγεβρικοί Μετασχηματισμοί Όταν μια συνάρτηση Boole υλοποιείται με λογικές πύλες, κάθε παράγοντας μέσα στη συνάρτηση αντιστοιχεί σε μια είσοδο μιας πύλης και κάθε όρος παραγόντων υλοποιείται με μια πύλη. Η ελαχιστοποίηση του αριθμού των παραγόντων και του αριθμού των όρων δίνει ένα ελαχιστοποιημένο κύκλωμα.  π.χ.: Να ελαχιστοποιηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις  1. x+xy = (x+x)(x+y) = 1(x+y) = x+y 2. x(x+y) = x x+xy = 0+xy = xy 3. x yz+ xyz+x y = xz(y+y)+x y = xz+x y 4. xy+xz+yz = xy+ xz+yz(x+ x) = xy+ xz+xyz+ xyz = xy(1+z)+ xz(1+y) = xy+ xz 5. (x+y)(x+z)(y+z) = (x+y)(x+z) λόγω δυϊσμού με (4)

Συμπλήρωμα Συνάρτησης Το συμπλήρωμα μιας συνάρτησης F, το F, είναι η συνάρτηση εκείνη που ισούται με 0, όταν F=1 και με 1, όταν F=0. Το συμπλήρωμα μιας συνάρτησης μπορεί να βρεθεί αλγεβρικά, με χρήση του θεωρήματος De Morgan. π.χ.: απόδειξη θεωρήματος De Morgan με τρεις μεταβλητές (A+B+C) = (A+x) θέτουμε B+C=x = Ax θεώρημα 5(α) De Morgan = A(B+C) αντικαθιστούμε B+C=x = A(BC) θεώρημα 5(α) = ABC θεώρημα 4(α)   Γενικά: (A+B+C+D+...+F) = ABCD...F (ABCD...F) = A+B+C+D+...+F Το συμπλήρωμα μιας συνάρτησης μπορεί να βρεθεί εναλλάσσοντας τα AND με τα OR και συμπληρώνοντας κάθε παράγοντα

Συμπλήρωμα Συνάρτησης   π.χ.: Βρείτε το συμπλήρωμα των συναρτήσεων F1=xyz+xyz, F2=x(yz+yz) α) εφαρμόζοντας το θεώρημα De Morgan F1=(xyz+xyz)=( xyz)( xyz)=(x+y+z)(x+y+z) F2=[x(yz+yz)]= x+( yz+yz) β) παίρνοντας το δυϊκό της και συγχρόνως το συμπλήρωμα κάθε παράγοντά της

2.5 Κανονικές και πρότυπες μορφές Ελαχιστόροι και Μεγιστόροι Ελαχιστόροι (minterms) - Μεγιστόροι (maxterms) x y z όρος ονομασία όρος ονομασία 0 0 0 xyz m0 x+y+z M0 0 0 1 xyz m1 x+y+z M1 0 1 0 xyz m2 x+y+z M2 0 1 1 xyz m3 x+y+z M3 1 0 0 xyz m4 x+y+z M4 1 0 1 xyz m5 x+y+z M5 1 1 0 xyz m6 x+y+z M6 1 1 1 xyz m7 x+y+z M7

Ελαχιστόροι και Μεγιστόροι Κάθε ελαχιστόρος (μεγιστόρος) είναι το γινόμενο, AND, (άθροισμα, OR) των n μεταβλητών όπου κάθε μεταβλητή εμφανίζεται με το συμπλήρωμά της, αν το αντίστοιχο ψηφίο του δυαδικού αριθμού είναι 0 (1) ή κανονικά αν αυτό είναι 1 (0). Μια συνάρτηση Boole μπορεί να εκφραστεί αλγεβρικά από τον πίνακα αλήθειας της σχηματίζοντας έναν ελαχιστόρο για κάθε συνδυασμό των μεταβλητών που δίνει τιμή συνάρτησης 1 και μετά σχηματίζοντας το λογικό άθροισμα (OR) όλων αυτών των ελαχιστόρων. Πχ. συναρτήσεις τριών μεταβλητών x y z f1 f2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 f1=xyz+xyz+xyz=m1+m4+m7 f2= xyz+xyz+xyz+xyz=m3+m5+m6+m7 Οποιαδήποτε συνάρτηση Boole μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα (OR) ελαχιστόρων.

Κανονικές Μορφές Το συμπλήρωμα μιας συνάρτησης μπορεί να βρεθεί από τον πίνακα αλήθειας παίρνοντας το άθροισμα των ελαχιστόρων για κάθε συνδυασμό των μεταβλητών που δίνει τιμή 0 στην αρχική συνάρτηση. π.χ.: f1′=xyz+xyz+xyz+xyz+xyz ενώ (f1)=f1=(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)=M0M2M3M5M6 Παρόμοια f2=(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)= M0M1M2M4 Οποιαδήποτε συνάρτηση Boole μπορεί να εκφραστεί αλγεβρικά ως γινόμενο (AND) μεγιστόρων. Για κάθε συνδυασμό μεταβλητών που δίνει τιμή 0 για τη συνάρτηση παίρνουμε τον αντίστοιχο μεγιστόρο και μετά φτιάχνουμε το γινόμενο όλων αυτών των μεγιστόρων και παίρνουμε τη συνάρτηση. Οι συναρτήσεις Boole που είναι εκφρασμένες ως άθροισμα ελαχιστόρων ή ως γινόμενο μεγιστόρων, λέμε ότι είναι σε κανονική μορφή.

Άθροισμα Ελαχιστόρων Για n δυαδικές μεταβλητές, υπάρχουν 2n διαφορετικοί ελαχιστόροι και κάθε συνάρτηση Boole μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τέτοιων ελαχιστόρων. Αφού η συνάρτηση μπορεί να είναι 0 ή 1 για κάθε ελαχιστόρο και αφού υπάρχουν 2n ελαχιστόροι, μπορούμε να υπολογίσουμε ότι υπάρχουν διαφορετικές συναρτήσεις Boole των n μεταβλητών. Μερικές φορές χρειάζεται να εκφράσουμε μια συνάρτηση Boole υπό μορφή αθροίσματος ελαχιστόρων. Αυτό γίνεται ως εξής: - τη φέρνουμε αρχικά σε μορφή αθροίσματος γινομένων, αν δεν είναι ήδη - αν σε κάποιο γινόμενο λείπουν μια ή περισσότερες μεταβλητές, τότε το πολλαπλασιάζουμε με μια παράσταση της μορφής (x+x) όπου το x είναι μια από τις μεταβλητές που λείπουν.

π.χ.: εκφράστε τη συνάρτηση F=A+BC ως άθροισμα ελαχιστόρων Από τον πρώτο όρο, Α, λείπουν δυο μεταβλητές Α=Α(Β+Β)=ΑΒ+ΑΒ Ακόμα λείπει μια μεταβλητή Α=ΑB(C+C)+AB′(C+C)=ABC+ABC+ABC+ABC Από το δεύτερο όρο λείπει μια μεταβλητή ΒC=BC(A+A)=ABC+ABC Επομένως έχουμε: F=A+BC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC Εξαλείφοντας τον όρο ABC που εμφανίζεται δυο φορές (x+x=x) σύμφωνα με το θεώρημα 1, έχουμε: F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=m1+m4+m5+m6+m7 Μια συνάρτηση Boole εκφρασμένη σε άθροισμα ελαχιστόρων γράφεται: F(A,B,C)=Σ(1,4,5,6,7) Ένας άλλος τρόπος εξαγωγής των ελαχιστόρων μιας συνάρτησης Boole είναι να κατασκευάσουμε τον πίνακα αλήθειας της συνάρτησης κατευθείαν από την αλγεβρική της έκφραση και μετά να πάρουμε τους ελαχιστόρους από αυτόν.

Γινόμενο Μεγιστόρων Καθεμιά από τις συναρτήσεις n δυαδικών μεταβλητών μπορεί επίσης να εκφραστεί ως γινόμενο μεγιστόρων Για να γίνει αυτό - αρχικά την φέρουμε σε μορφή γινομένου αθροισμάτων χρησιμοποιώντας τον επιμεριστικό κανόνα π.χ. x+yz=(x+y)(x+z) - μετά σε κάθε άθροισμα όπου λείπει μια μεταβλητή x, προσθέτουμε τον όρο xx (που είναι =0).

π.χ.: εκφράστε τη συνάρτηση Boole F=xy+xz σε γινόμενο μεγιστόρων   Την μετατρέπουμε σε γινόμενο αθροισμάτων F = xy+xz = (xy+x)(xy+z) = (x+x)(y+x)(x+z)(y+z) = (x+y)(x+z)(y+z) Από κάθε άθροισμα λείπει μια μεταβλητή, άρα: x+y = x+y+zz = (x+y+z)(x+y+z) x+z = x+z+yy = (x+y+z)(x+y+z) y+z = y+z+xx = (x+y+z)(x+y+z) Συνδυάζοντας όλους τους όρους και απαλείφοντας αυτούς που εμφανίζονται περισσότερο από μια φορά, παίρνουμε F = (x+y+z) (x+y+z) (x+y+z) (x+y+z) = Μ0Μ2Μ4Μ5  Η οποία εκφράζεται και ως εξής F (x,y,z) = Π(0,2,4,5)

Μετατροπή μεταξύ κανονικών μορφών Έχουμε τη συνάρτηση F(A,B,C) = Σ(1,4,5,6,7) Το συμπλήρωμα της συνάρτησης αυτής εκφράζεται ως: F′(A,B,C) = Σ(0,2,3) = m0+m2+m3 Χρησιμοποιώντας το θεώρημα De Morgan στην F′ έχουμε: F(A,B,C) = (m0+m2+m3)′ = m′0∙m′2∙m′3 = Μ0Μ2Μ3 = Π(0,2,3) Ισχύει m′j = Μj Άρα F(A,B,C) = Σ(1,4,5,6,7) = Π(0,2,3)

Πρότυπες Μορφές Υλοποιήσεις δύο επιπέδων Έχουμε δυο πρότυπες μορφές για Boole συναρτήσεις - άθροισμα γινομένων (sum of products) - γινόμενο αθροισμάτων (product of sums) Το άθροισμα γινομένων είναι μια έκφραση Boole που περιέχει όρους AND (γινόμενα) με έναν ή περισσότερους παράγοντες ο καθένας. Το άθροισμα αποτελεί το λογικό OR όλων αυτών των γινομένων. π.χ.: F1 = y+xy+xyz Το γινόμενο αθροισμάτων είναι μια έκφραση Boole που περιέχει όρους OR (αθροίσματα) με έναν ή περισσότερους παράγοντες ο καθένας. Το γινόμενο αποτελεί το λογικό AND των αθροισμάτων αυτών. π.χ.: F2 = x(y+z)(x+y+z) Υλοποιήσεις δύο επιπέδων

Πρότυπες Μορφές Μια συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί και με μη πρότυπη μορφή π.χ.: F3 = AB+C(D+E) που μπορεί όμως να μετατραπεί σε πρότυπη μορφή π.χ.: F3 = AB+C(D+E)= AB+CD+CE

Άλλες Λογικές Πράξεις Για n μεταβλητές υπάρχουν συναρτήσεις Πίνακας αλήθειας για τις 16 συναρτήσεις δυο δυαδικών μεταβλητών   x y F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Άλλες Λογικές Πράξεις Συναρτήσεις Σύμβολο Boole Τελεστή Όνομα Σχόλια Συναρτήσεις Σύμβολο Boole Τελεστή Όνομα Σχόλια F0 = 0 ουδέτερη δυαδική σταθερά 0 F1 = xy xy AND x AND y F2 = xy x/y αποτροπή x αλλά όχι y F3 = x μεταφορά x F4 = xy y/x αποτροπή y αλλά όχι x F5 = y μεταφορά y F6 = xy+xy xy XOR x OR y αλλά όχι και τα δυο F7 = x+y x+y OR x OR y F8 = (x+y) xy NOR x NOT OR y F9 = xy+xy xy ισοδυναμία(XNOR) x ίσον y F10 = y y συμπλήρωμα NOT y F11 = x+y xy συνεπαγωγή αν y τότε x F12 = x x συμπλήρωμα NOT x F13 = x+y xy συνεπαγωγή αν x τότε y F14 = (xy) xy NAND x NOT AND y F15 = 1 ταυτότητα δυαδική σταθερά 1

2.7 Ψηφιακές λογικές πύλες

Ψηφιακές λογικές πύλες πολλών εισόδων Επέκταση σε πολλαπλές εισόδους  Μια πύλη μπορεί να επεκταθεί σε περισσότερες από δυο εισόδους εάν η δυαδική πράξη της είναι αντιμεταθετική και προσεταιριστική. Οι πύλες AND, OR έχουν την παραπάνω ιδιότητα Οι πύλες NAND, NOR μπορούν μεν να επεκταθούν σε περισσότερες από δυο εισόδους, αλλά αυτό με την προϋπόθεση να τροποποιηθεί ο ορισμός τους. Είναι αντιμεταθετικές αλλά όχι προσεταιριστικές   xy = yx αλλά (xy) z  x(yz) αφού (xy) z = [(x+y)+z] = (x+y)z = xz+yz x(yz) = [x+(y+z)] = x(y+z) = xy+xz

Ψηφιακές λογικές πύλες πολλών εισόδων Μη προσεραιριστικότητα της NOR Συνεπώς ορίζεται η πύλη NAND (NOR) πολλών εισόδων ως το συμπλήρωμα της πύλης AND (OR) πολλών εισόδων xyz = (x+y+z) NOR τριών εισόδων xyz = (xyz) NAND τριών εισόδων

Ψηφιακές λογικές πύλες XOR, XNOR Ο ορισμός τους όμως τροποποιείται ως εξής: - Η XOR είναι περιττή συνάρτηση, δηλαδή =1 εάν οι μεταβλητές εισόδου έχουν περιττό αριθμό 1 - Η XNOR είναι άρτια συνάρτηση

Ολοκληρωμένα Κυκλώματα Τα ψηφιακά συστήματα κατασκευάζονται με ολοκληρωμένα κυκλώματα Τα ολοκληρωμένα κυκλώματα χωρίζονται σε κατηγορίες ανάλογα με την κυκλωματική τους πολυπλοκότητα - Μικρής κλίμακας ολοκλήρωσης (SSI). Περιέχουν λιγότερο από 10 πύλες. - Μεσαίας κλίμακας ολοκλήρωσης (MSI). Περιέχουν από 10-1000 πύλες. - Μεγάλης κλίμακας ολοκλήρωσης (LSI). Περιέχουν από 1000-10000 πύλες. - Πολύ μεγάλης κλίμακας ολοκλήρωσης (VLSI). Περιέχουν εκατοντάδες χιλιάδες πύλες.   Οικογένειες ψηφιακής λογικής    TTL Transistor-Transistor Logic  ECL Emitter- Coupled Logic  MOS Metal-Oxide-Semiconductor  CMOS Complementary MOS

Σύγκριση χαρακτηριστικών οικογενειών Η δυνατότητα οδήγησης φορτίων εξόδου (fan out) Η δυνατότητα εισόδου (fan in) Η κατανάλωση ισχύος (power dissipation) Η καθυστέρηση διάδοσης (propagation delay) Το περιθώριο θορύβου (noise margin)

Σχεδιασμός με τη βοήθεια υπολογιστή Ο σχεδιασμός ψηφιακών συστημάτων με κυκλώματα VLSI είναι πολύ δύσκολο έργο ώστε να γίνει χωρίς τη χρήση υπολογιστή Χρησιμοποιούνται εργαλεία CAD που αυτοματοποιούν το σχεδιασμό σε όλα τα επίπεδά του Μια τυπική ροή σχεδιασμού ξεκινά από τη εισαγωγή των κυκλωμάτων και περιέχει όλα τα βήματα μέχρι την παραγωγή της μάσκας που θα χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή του ολοκληρωμένου Υλοποίηση σε διάφορες τεχνολογίες ανάλογα των απαιτήσεων της εφαρμογής. ASIC, PLD, FPGA κλπ. Σημαντική εξέλιξη στο σχεδιασμό η χρήση γλώσσας περιγραφής υλικού (VHDL, Verilog)