ΕΙΔΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ο όρος «σφάλμα» υπονοεί μια διαφορά τιμών ανάμεσα στο «σωστό» και σε ένα αποτέλεσμα! Στη Γεωδαισία υπάρχουν 3 μεγάλες ομάδες «σφαλμάτων» Σφάλματα στο αναλυτικό μοντέλο που δίνει λύση σε ένα πρόβλημα ( θεωρία ) Σφάλματα μετάδοσης μετρητικών σφαλμάτων σε ένα μέγεθος που υπολογίζεται από μετρήσεις Σφάλματα μέτρησης ( μετρητικά σφάλματα ) Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Τεχνολογική χρήση Γεωδαισίας Τα σφάλματα κατηγορίας Α) δεν υπάρχουν! Οι άλλες δύο κατηγορίες σφαλμάτων αντιμετωπίζονται από τη Στατιστική θεωρία και ειδικότερα το τμήμα που διαχειρίζεται τα τυχαία σφάλματα Το βασικό «εργαλείο» για τη διαχείριση των τυχαίων σφαλμάτων είναι οι στατιστικές ποσότητες που μπορούν να υπολογισθούν από τις γεωδαιτικές μετρήσεις Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Πόσο καλές ήταν οι μετρήσεις Πόσο καλά προσδιορίστηκε το αποτέλεσμα Μετρητικά σφάλματα Κάθε μέγεθος στη Γεωδαισία προσδιορίζεται άμεσα ( κατ΄ ευθείαν ) από τη μέτρησή του ή υπολογίζεται έμμεσα από μετρήσεις. Για να ορισθεί το «σφάλμα» πρέπει να ορισθεί τι θεωρείται ως «σωστή» τιμή!!!! Το αποτέλεσμα κάθε μέτρησης xi δίνει μια τυχαία εκδοχή της «αληθινής» τιμής x. Επανάληψη της μέτρησης ( i=2,3,4…) δίνει μια παραπλήσια τιμή. Η «μέση» τιμή πολλών μετρήσεων (= o στατιστικός μέσος ) των xi ορίζεται ως η ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΗ τιμή του x. x X= Σ ( xi ) / n Ο σχηματισμός διαφορών xi - X = υi για μια σειρά μετρήσεων xi ( π.χ απόσταση, γωνία ) δίνουν στοιχεία για να προσδιορισθούν δύο πράγματα Πόσο καλές ήταν οι μετρήσεις Πόσο καλά προσδιορίστηκε το αποτέλεσμα Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Πηγές και είδη μετρητικών σφαλμάτων Σφάλματα που οφείλονται σε απροσεξία ή προχειρότητα του παρατηρητή ( χονδροειδή ) Σφάλματα που οφείλονται σε εξωτερικές συνθήκες όπως φυσικά αίτια & ατέλειες οργάνων,προσωπικά σφάλματα ( συστηματικά & τυχαία ) Τα τυχαία σφάλματα αντιμετωπίζονται με νόμους Στατιστικής ( Gauss ) ενώ τα συστηματικά εξαλείφονται με καλή εκτέλεση μετρήσεων ή εντοπίζονται στο ιστόγραμμα της καμπύλης του Gauss. Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Στοιχεία της κατανομής Gauss Η κατανομή Gauss προκύπτει από την κατανομή Bernoulli για ειδικές συνθήκες ( βιβλία Στατιστικής ) Αν η μέση τιμή των xi είναι Χ και η τυπική απόκλιση s τότε όλες σχεδόν οι τιμές των υi συσσωρεύονται μεταξύ -3s και 3s στο σχεδιασμό του ιστογράμματος s2= [xi – X]2 / n Η τετραγωνική ρίζα είναι η τυπική απόκλιση ( μέσο τετραγωνικό σφάλμα) ακρίβεια και ορθότητα μέτρησης Αγγλικοί όροι precision & accuracy ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΙΔΙΟ!!!!!!!! Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Ορισμός ακρίβειας & ορθότητας Ακρίβεια μέτρησης είναι ο όρος που δείχνει πόσο κοντά βρίσκονται μεταξύ τους τιμές μετρήσεων που έγιναν για το ίδιο μέγεθος. Αναφέρεται στην ευαισθησία του οργάνου και την ικανότητα του παρατηρητή στο σύστημα: Όργανο – παρατηρητής – συνθήκες Η ακρίβεια μπορεί να εκτιμηθεί για μια σειρά μετρήσεων Ορθότητα είναι η έννοια που δείχνει πόσο οι τιμές των μετρήσεων βρίσκονται και κοντά στην «πραγματική» τιμή του μεγέθους Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Χειρισμός των τυχαίων σφαλμάτων Έστω Χ η «αληθινή» τιμή ενός μεγέθους και xi το αποτέλεσμα μιας μέτρησης γι αυτό. Αν έχουν απαλειφθεί τα συστηματικά & χονδροειδή από τη μέτρηση, το «αληθές» σφάλμα της είναι: υi=xι - Χ Η αληθής τιμή Χ έχει προσεγγισθεί με τη μέση τιμή Χ και μπορεί να υπολογισθεί το «μέσο» σφάλμα! Η ακριβής τιμή του X είναι το όριο: X = lim [ Σxι / n ] για n που τείνει στο άπειρο Η διαφορά ui=χi – μ Λέγεται και είναι το τυχαίο σφάλμα Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Από τη θεωρία πιθανοτήτων & στατιστικής για τυχαία σφάλματα…….. Η συχνότητα εμφάνισης ενός θετικού σφάλματος είναι ίδια με τη συχνότητα εμφάνισης ενός αρνητικού Τα μικρά σφάλματα εμφανίζονται πιό συχνά από μεγάλα Πολύ μεγάλα σφάλματα δεν εμφανίζονται καθόλου ή έχουν ελάχιστη πιθανότητα να εμφανισθούν! Πιθανότητα είναι ο λόγος του αριθμού των σφαλμάτων που περιέχονται σε ένα εύρος τιμών x, x+dx ως προς το συνολικό αριθμό των σφαλμάτων για n να τείνει στο άπειρο Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

P(x) = [ h / √π] e-h2x2 dx Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται συνάρτηση κανονικής κατανομής Gauss ή συνάρτηση πυκνοτήτων Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης από - ∞ έως + ∞ δίνει άθροισμα Ρ(x)=1( σύνολο πιθανότητας ) Η δεύτερη ονομασία οφείλεται στο ότι το εμβαδό που περικλείεται από την καμπύλη Gauss και των άξονα των τετμημένων μεταξύ x, x+dx είναι η πιθανότητα εμφάνισης σφάλματος ( από μέση τιμή ) Το h είναι παράμετρος που δείχνει την ακρίβεια των μετρήσεων ( μεγάλο h ακριβείς μετρήσεις…) Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

H h είναι παράμετρος Εάν το h είναι μικρό η καμπύλη Gauss είναι πλατειά και σημαίνει ότι υπάρχει διασπορά των τιμών των μετρήσεων. Εάν το h είναι μεγάλο σημαίνει ότι οι πιο πολλές μετρήσεις βρίσκονται κοντά στη μέση τιμή Σχόλιο: Από το σχήμα της καμπύλης Gauss μπορούν να υπάρχουν συμπεράσματα για ακρίβεια + ορθότητα των μετρήσεων Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Οι μετρήσεις είναι ισοβαρείς και ανισοβαρείς Ισοβαρείς είναι οι μετρήσεις που γίνονται με το ίδιο σετ οργάνου-παρατηρητή και εξωτερικών συνθηκών. Οι ισοβαρείς μετρήσεις συμμετέχουν το ίδιο η κάθε μια στη μέση τιμή Ανισοβαρείς είναι οι μετρήσεις στις οποίες έχει διαφοροποιηθεί το όργανο ή ο παρατηρητής ή οι συνθήκες ή και άλλοι «παράγοντες». Οι ανισοβαρείς μετρήσεις ΔΕΝ συμμετέχουν το ίδιο η κάθε μια στη μέση τιμή Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

υi=χi – μ αυτό ονομάζεται πιθανό σφάλμα Η «καλύτερη» τιμή μιας ομάδας παρατηρήσεων χi είναι η μέση τιμή μ όλου του set! υi=χi – μ αυτό ονομάζεται πιθανό σφάλμα Η διαφορά υi=x- χi καλείται υπόλοιπο(residual) Τα πιθανά σφάλματα θεωρείται ότι συμπεριφέρονται όπως τα τυχαία και ακολουθούν την στατιστική κατανομή Gauss Η καλλίτερη δυνατή τιμή του μεγέθους είναι η μέση τιμή του διότι [ υ υ] =0 [ Αρχή Ελαχίστων τετραγώνων] Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Τυπικό σφάλμα & ιστόγραμμα Η εκτίμηση του Τυπικού σφάλματος μιας σειράς n to πλήθος μετρήσεων δίνεται από τη σχέση: σ = ± √[ υυ ] / ( n-1) Το ( n-1) ονομάζεται βαθμός ελευθερίας Δείχνει πόσες επί πλέον μετρήσεις από τις απαραίτητες έγιναν για τον προσδιορισμό του μεγέθους Το σ2 ονομάζεται μεταβλητότητα Μεταξύ του –σ και του +σ κυμαίνεται το 68.3% των πιθανών σφαλμάτων για αρκετά μεγάλο n Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Ιστόγραμμα Ιστόγραμμα λέγεται η απεικόνιση της κατανομής μιας συγκεκριμένης σειράς μετρήσεων / ή σφαλμάτων Στον άξονα των τεταγμένων υπάρχει η συχνότητα ( πόσες μετρήσεις αντιστοιχούν) στο διάστημα τιμών ή σφαλμάτων που ορίζεται στον άξονα των τετμημένων σε ένα μικρό διάστημα – βήμα Μεταξύ - 2σ και 2σ η πιθανότητα των τιμών είναι 95.4% και για -3σ 3σ είναι 99.7% Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Αναλογικό σφάλμα Αναλογικό σφάλμα μήκους είναι ο λόγος: σs / S Εκφρασμένος ως 1/ Κ ή ως κλάσμα 1/ 1000000 Αναλογικό σφάλμα διεύθυνσης ij εκφρασμένο σε rad δίνει το αναλογικό γραμμικό σφάλμα σε διεύθυνση κάθετη προς την ij Μετρήθηκε η SAB με σφάλμα 0.05 m και η αΑΒ με σφάλμα 10 cc Aναλογικό μήκους 0.05 / 5000 = 1/ 100000 και το αναλογικό σφάλμα διεύθυνσης σα = 10 / 636620 Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Νόμος μετάδοσης σφάλματος Αν y= f( x1, x2, x3 ….xn ) και τα x1, x2, x3 ….xn είναι γραμμικώς ανεξάρτητα το σφάλμα υπολογισμού του y, σy είναι σy = ±√ ( άθροισμα μερικών παραγώγων της y για κάθε μεταβλητή χωριστά στο τετράγωνο επί το τυπικό σφάλμα του κάθε xi Παράδειγμα το σφάλμα εμβαδού! Εδώ υπάρχει ένα σημαντικό στοιχείο για τη Γεωδαισία: Να είναι πράγματι γραμμικά ανεξάρτητες οι ποσότητες x1, x2, x3 ….xn Για να εξασφαλισθεί η παραδοχή αυτή πολλοί τύποι μετρήσεων που δεν είναι «γεωμετρικές» ΔΙΟΡΘΩΝΟΝΤΑΙ πρώτα από κάθε φυσικό παράγοντα που επιδρά σ’ αυτές! Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Η έννοια της συνόρθωσης ( γενικά ) Συνόρθωση στη Γεωδαισία ονομάζεται η Μαθηματική διαδικασία με την οποία γίνονται ταυτόχρονα τα εξής: Αξιοποιούνται οι πλεονάζουσες μετρήσεις που έχουν γίνει για τον προσδιορισμό ενός αγνώστου Αντιμετωπίζονται ( λαμβάνονται υπόψη ) τα τυχαία σφάλματα των μετρήσεων Αντιμετωπίζονται ή προσδιορίζονται ( αν χρειάζεται ) διάφορες παράμετροι ενός προβλήματος υπολογισμού Κάθε μέτρηση μπορεί να γράφεται σε μορφή y=Ax + S + υ Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Μια πολύ στοιχειώδης αναφορά…… Στη συνόρθωση από μια ομάδα n μετρήσεων yi αποσκοπείται να προσδιορισθούν οι καλύτερες δυνατές τιμές των x ( είναι παράμετροι ή άγνωστοι ) όταν το πλήθος m των αγνώστων x είναι m << n Επίσης ταυτόχρονα αντιμετωπίζονται τα μετρητικά σφάλματα υ Μια συνήθης επιδίωξη ( = συχνά εξασφαλίζεται από τις μεθόδους ) είναι οι εξισώσεις y=f(x) να είναι γραμμικά ανεξάρτητες Η γραμμική ανεξαρτησία εξασφαλίζεται από Μαθηματική ανάλυση & με το κατάλληλο σύστημα αναφοράς / συντεταγμένες Για συνορθώσεις / βελτιστοποιήσεις Γεωδαιτικών ποσοτήτων εφαρμόζεται η Γραμμική Άλγεβρα πινάκων και στοιχεία από τη θεωρία σφαλμάτων Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008

Αυτά διδάσκονται σε άλλα Μαθήματα….. Εφαρμόζεται η Αρχή Ελαχίστων Τετραγώνων ( Gauss ) Αυτή η αρχή οδηγεί στη Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων όταν 1) το διαφορικό της απόστασης ds απαραίτητα μπορεί να είναι αναλλοίωτο μέγεθος σε όλο το γεωμετρικό χώρο των μετρήσεων & 2) οι διαφορές υi μεταξύ μέτρησης και πλέον πιθανής τιμής της (από θεωρία) χαρακτηρίζονται ως στοχαστικές ποσότητες ( σύνδεση με Μαθηματικά ) Πολύ απλή εισαγωγή στα σφάλματα. Σφάλματα μέτρησης. Gauss - M.G.Doufexopoulou 2008