Το Μ/Μ/1 Σύστημα Ουράς Μ (η διαδικασία αφίξεων είναι Poisson) / Μ (οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν εκθετική κατανομή) / 1 (εξυπηρετητής) Εκθετικοί με παράμετρο μ Συμβολισμός : . / . / . / . Διαδικασία αφίξεων Μ: Poisson D: Ντετερμινιστική G: Γενική Χρόνοι Εξυπηρέτησης Μ: Εκθετικοί D: Ντετερμινιστικοί G: Γενικοί Αριθμός (#) εξυπηρετητών Μέγιστος αριθμός “πελατών” στο σύστημα Υποθέτουμε ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους, και ανεξάρτητοι των interarrival times Ο εξυπηρετητής ποτέ δεν μένει ανενεργής όταν υπάρχει πελάτης στο σύστημα (work conserving). Για να είμαστε συγκεκριμένοι, υποθέτουμε ότι η εξυπηρέτηση είναι First Come First Serve

Διαδικασία Poisson με ρυθμό λ H διαδικασία Poisson Α(t) είναι μια counting process. Για κάθε t, το A(t) είναι μια τυχαία μεταβλητή, η οποία υποδηλώνει τον αριθμό των αφίξεων στο χρονικό διάστημα από 0 έως t Οι αριθμοί των αφίξεων σε μη επικαλυπτόμενα χρονικά διαστήματα είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους Ανεξάρτητοι Εξαρτημένοι Ο αριθμός των αφίξεων σε κάθε διάστημα μήκους τ ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο λτ , όπου λ ο ρυθμός αφίξεων

Ιδιότητες μιας διαδικασίας Poisson Έστω tn ο χρόνος της n-στης άφιξης και τn=tn+1 – tn ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων (interarrival time) Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων είναι εκθετικά κατανεμημένοι με παράμετρο λ (μέση τιμή 1/λ και διασπορά 1/λ2) (Memoryless property - Χωρίς μνήμη) Για κάθε t και κάθε (αρκετά μικρό) δ P{A(t+δ) – Α(t) = 0} = 1 – λδ + ο(δ) P{A(t+δ) – Α(t) = 1} = λδ + ο(δ) P{A(t+δ) – Α(t) 2} = ο(δ) όπου Αυτά εξάγονται από τον ορισμό :

Εαν A1(t), A2(t), .....,Ακ(t) είναι ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson με ρυθμούς λ1,λ2,....λκ αντίστοιχα, τότε η Α1(t)+A2(t)+…+Aκ(t) είναι διαδικασία Poisson με ρυθμό λ1+λ2+...+λκ Εαν κάθε άφιξη μιας διαδικασία Poisson αποστέλλεται ανεξάρτητα στο σύστημα 1 με πιθανότητα p και στο σύστημα 2 με πιθανότητα 1-p, τότε οι αφίξεις στο κάθε σύστημα είναι Poisson και ανεξάρτητες (random splitting).

Αφίξεις Αναχωρήσεις Η κατάσταση τη χρονική στιγμή t Θεωρούμε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t: οι μελλοντικές αφίξεις δεν εξαρτώνται από οτιδήποτε έχει προηγηθεί και οι μελλοντικές αναχωρήσεις εξαρτώνται από το παρελθόν μόνο μέσω του αριθμού N(t) των πελατών στο σύστημα κατά τη χρονική στιγμή t. Συγκεκριμένα, αφού οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι εκθετικοί, δεν έχει καμία σημασία το χρονικό διάστημα εξυπηρέτησης που έχει ήδη λάβει ο τρέχων πελάτης. ο υπολειπόμενος χρόνος μέχρι την αναχώρηση παραμένει εκθετικός με τις ίδιες παραμέτρους. Ο μελλοντικός αριθμός των πελατών στο σύστημα εξαρτάται από τους προηγούμενους αριθμούς μόνο μέσω του τρέχοντος αριθμού N(t) .

Νk Ν(kδ) = ο αριθμός των πελατών στο σύστημα τη στιγμή kδ (δ αρκούντως μικρό) Νk Ν(kδ) = ο αριθμός των πελατών στο σύστημα τη στιγμή kδ Pij = P{ Nk+1= j | Νk = i } (πιθανότητες μετάβασης) P00 = 1 – λδ + ο(δ) (καμία άφιξη) Pii = 1 – λδ – μδ + ο(δ) , i 1 (καμία άφιξη ή αναχώρηση) Pi,i+1 = λδ + ο(δ), i 0 (μία άφιξη) Pi,i-1 = μδ + ο(δ), i 0 (μία αναχώρηση) [Σημείωση: Για κάθε κατάσταση n 1, ο εξυπηρετητής είναι απασχολημένος και η πιθανότητα αναχώρησης είναι Pr(X δ) = 1-e-μδ = μδ + ο(δ)] Pi,j = o(δ), (η πιθανότητα πολλαπλών αφίξεων ή αναχωρήσεων είναι αμελητέα)

pn-1λδ = pnμδ pn=(λ/μ) pn-1=(λ/μ)2 pn-2=…=(λ/μ)n p0 Έστω pn η πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση n όταν το σύστημα είναι στην σταθερή κατάσταση (“steady state probabilities”) Σημείωση: Για ένα αυθαίρετα μεγάλο χρονικό διάστημα, ο αριθμός των μεταβάσεων από την n στην n+1 είναι ίδιος με τον αριθμό των μεταβάσεων από την n+1 στην n (+/- 1). Επομένως, για κάθε n ισχύει: pn-1λδ = pnμδ pn=(λ/μ) pn-1=(λ/μ)2 pn-2=…=(λ/μ)n p0 Ορίζοντας ρ = λ/μ (utilization factor) έχουμε pn=ρnp0 , n=1,2,3,…. Για να βρούμε το p0: ρ = η πιθανότητα το σύστημα να έχει τουλάχιστον έναν πελάτη (1-p0) = η πιθανότητα ο εξυπηρετητής να είναι απασχολημένος Ο αναμενόμενος αριθμός πελατών (Ν) στο σύστημα είναι :

Ο αριθμός των πελατών στο σύστημα αυξάνεται δραματικά όταν ρ 1 οπότε Ν (δηλ. όταν η τιμή του λ πλησιάζει την τιμή του μ) Από το θεώρημα του Little, έχουμε ότι η μέση καθυστέρηση Τ ενός πελάτη είναι ο μέσος χρόνος, W, στην ουρά είναι : και ο μέσος αριθμός πελατών στην ουρά, ΝQ, είναι :

Παράδειγμα 1ο : Επιτάχυνση ενός Μ/Μ/1 συστήματος for όπου ρ=λ/μ Έστω ότι ο ρυθμός αφίξεων λ και ο ρυθμός εξυπηρέτησης μ πολλαπλασιάζονται με μια σταθερά k. Τότε τα Ν, ΝQ και pn παραμένουν αμετάβλητα. Τ=1/(μ-λ) και W=ρ/(μ-λ) Η καθυστέρηση στο σύστημα Τ, και η καθυστέρηση στην ουρά W, μεταβάλλονται ως προς 1/k Αριθμός αναχωρήσεων β(t) Αριθμός αφίξεων α(t) Επιταχυνθέν σύστημα Αριθμός αναχωρήσεων β(t) Αριθμός αφίξεων α(t)

Παράδειγμα 2ο: Στατιστική πολυπλεξία έναντι FDM Θεωρήστε 100 συνόδους (sessions), με αφίξεις Poisson συνολικού ρυθμού λ και εκθετικά κατανεμημένα μήκη πακέτων, οι οποίες μοιράζονται έναν σύνδεσμο με ρυθμό εξυπηρέτησης μ πακέτα/sec Στατιστική Πολυπλεξία ρυθμός εξυπηρέτησης μ Πολυπλεξία με διαίρεση συχνότητας (FDM) Αν χρησιμοποιήσουμε FDM, τότε η κάθε σύνοδος έχει ρυθμό λ/100 και “βλέπει” ρυθμό εξυπηρέτησης μ/100 Η χωρητικότητα διαιρείται σε 100 ίσα μέρη Τ= 100/(μ-λ) ρυθμός εξυπηρέτησης μ/100 ανά σύνοδο

Μ/Μ/m Σύστημα Ουράς Οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ και υπάρχουν m το πλήθος εξυπηρετητές (servers). Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι εκθετικά κατανεμημένοι με παράμετρο μ. m εξυπηρετητές Δοθέντος ότι υπάρχουν n πελάτες μέσα στο σύστημα, με n m, μια νέα αναχώρηση θα συμβεί μέσα στο επόμενο χρονικό διάστημα δ με πιθανότητα nμδ. Για n>m, μια αναχώρηση θα συμβεί με πιθανότητα mμδ.

Αν Αν Έστω Η πιθανότητα ένας πελάτης, όταν φτάνει στο σύστημα, να βρει όλους τους εξυπηρετητές απασχολημένους είναι : Erlang C formula : (χρησιμοποιείται στην τηλεφωνία)

Ο αναμενόμενος αριθμός πελατών στην ουρά είναι : Ο χρόνος αναμονής W είναι : Και ο συνολικός χρόνος στο σύστημα, είναι :

Μ/Μ/m/m Σύστημα Ουράς Οι πελάτες που φτάνουν στο σύστημα όταν όλοι οι εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι, απορρίπτονται και χάνονται οριστικά από αυτό. Η πιθανότητα ένας πελάτης να βρει όλους τους εξυπηρετητές απασχολημένους είναι : Erlang B Formula Τα Ν,Τ είναι μικρότερα από ό,τι στο Μ/Μ/m σύστημα, αλλά δεν έχει τόσο νόημα να μιλάμε για μέση καθυστέρηση σε ένα σύστημα που χάνει πελάτες. Σε ένα τηλεφωνικό δίκτυο, η συμπεριφορά των πελατών είναι κάτι το ενδιάμεσο μεταξύ των συμπεριφορών που επιδεικνύουν οι πελάτες σε ένα Μ/Μ/m και σε ένα M/M/m/m σύστημα. Κάποιοι φεύγουν όταν δε μπορούν να εξυπηρετηθούν και κάποιοι συνεχίζουν να προσπαθούν.

[Στατιστική πολυπλεξία με χρήση m καναλιών] Παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν m=100 σύνοδοι που μοιράζονται ένα σύνδεσμο. Επίσης υποθέτουμε ότι υπάρχουν 100 κανάλια συχνοτήτων με τα πακέτα να δρομολογούνται προς κάθε διαθέσιμο κανάλι. Αυτό είναι ένα Μ/Μ/100 σύστημα. [Στατιστική πολυπλεξία με χρήση m καναλιών] 100 υποκανάλια με ρυθμό εξυπηρέτησης μ/100 το καθένα Όταν το φορτίο είναι ελαφρύ το σύστημα συμπεριφέρεται σαν ένα FDM σύστημα.

Για μεγάλο φόρτο, το σύστημα συμπεριφέρεται σαν ένα σύστημα που χρησιμοποιεί στατιστική πολυπλεξία [Στατιστική πολυπλεξία για ολόκληρο το κανάλι] Ένα κανάλι με ρυθμό εξυπηρέτησης μ Για μικρό λ : Για μεγάλο λ ( ) :

= Σύστημα Ουράς Είναι παρόμοιο με ένα Μ/Μ/m σύστημα, μόνο που τώρα Οι μαθηματικές εκφράσεις μπορούν να βρεθούν, αν πάρουμε το όριο από τις αντίστοιχες εκφράσεις του Μ/Μ/m συστήματος. = Ο μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα είναι : και