Οι νοεροί υπολογισμοί Χρησιμοποιούνται περισσότερο από τους γραπτούς υπολογισμούς. Αναφέρονται συνήθως στις τέσσερις πράξεις, αλλά και στους αριθμούς και στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Βοηθούν στην καλύτερη και βαθύτερη κατανόηση της έννοιας του αριθμού. Συμβάλλουν στην κατανόηση και στην ανάπτυξη των γραπτών μεθόδων υπολογισμού Η νοερή εργασία αναπτύσσει ικανότητες για τη λύση προβλημάτων.

Οι κατ’ εκτίμηση υπολογισμοί Πραγματοποιούνται νοερά. Χρησιμοποιούνται συχνά στην καθημερινή ζωή για να βρούμε γρήγορα και κατά προσέγγιση το αποτέλεσμα ενός υπολογισμού. Μας επιτρέπουν να ελέγξουμε κατά προσέγγιση την ορθότητα ενός γραπτού υπολογισμού ή τη λύση ενός προβλήματος. Τους χρησιμοποιούμε για να ελέγξουμε τα αποτελέσματα που μας δίνει η αριθμομηχανή. Τους χρησιμοποιούμε για να ελέγξουμε αν μας φτάνουν τα χρήματα για τις αγορές μας.

Η διδασκαλία των κατ’ εκτίμηση υπολογισμών Η εκτίμηση της απάντησης ενσωματώνεται στη διδασκαλία μας και δεν αποτελεί ξεχωριστό θέμα των Μαθηματικών. Η εκτίμηση της απάντησης βοηθά στην κατανόηση πολλών μαθηματικών εννοιών, όπως της αξίας θέσης των ψηφίων, των τεσσάρων αριθμητικών πράξεων, των δεκαδικών και κλασματικών αριθμών και αναπτύσσει την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων. Οι στρατηγικές εκτίμησης της απάντησης διδάσκονται συστηματικά. Είναι αδύνατο οι μαθητές να τις χρησιμοποιήσουν αυθόρμητα. Ο δάσκαλος τονίζει την ανάγκη της εκτίμησης μέχρι οι μαθητές να κατανοήσουν τη σπουδαιότητά της και να τη χρησιμοποιούν αυτοβούλως όταν χρειάζεται. Μετά τη συστηματική διδασκαλία των στρατηγικών οι μαθητές επιλέγουν την πιο κατάλληλη στρατηγική ώστε να προκύπτει, κατά περίπτωση, το πιο ικανοποιητικό αποτέλεσμα.

Οι στόχοι της διδασκαλίας των κατ’ εκτίμηση υπολογισμών Να κατανοήσουν όλοι οι μαθητές ότι η εκτίμηση είναι ένας προσεγγιστικός υπολογισμός (στο περίπου). Να κατανοήσουν οι μαθητές ότι η εκτίμηση χρησιμοποιείται συχνά στην καθημερινή ζωή. Να κατανοήσουν το πότε η εκτίμηση είναι ικανοποιητική και πότε δεν είναι. Να αποκτήσουν εναλλακτικές στρατηγικές εκτίμησης ενός αποτελέσματος. Να χρησιμοποιούν την εκτίμηση κατά την επίλυση προβλημάτων ή προβληματικών καταστάσεων. Να χρησιμοποιούν την εκτίμηση για να αξιολογήσουν την ορθότητα ή τη λογικότητα των αποτελεσμάτων των αριθμητικών πράξεων ή των λύσεων των προβλημάτων.

Αρχές διδασκαλίας των κατ’ εκτίμηση υπολογισμών Αξιοποίηση παραδειγμάτων από την καθημερινή ζωή Ανάδειξη και χρήση του κατάλληλου λεξιλόγιο, όπως: περίπου, κοντά, περισσότερο από, λιγότερο από, μεταξύ κλπ. Καλλιέργεια των σχετιζόμενων δεξιοτήτων Στις περισσότερες στρατηγικές εκτίμησης γίνεται χρήση «κατάλληλων» αριθμών που βρίσκονται κοντά στους αρχικούς Οι «κατάλληλοι» αυτοί αριθμοί προσφέρονται για την εκτέλεση νοερών υπολογισμών. Έμφαση στο να γίνει κατανοητό ότι το αποτέλεσμα μιας εκτίμησης εμπίπτει σε ένα σύνολο από τιμές.

Αρχές διδασκαλίας των κατ’ εκτίμηση υπολογισμών Αρχική επιλογή δραστηριοτήτων που θέτουν πλαίσια για τις εκτιμήσεις Επιλογή πράξεων που το αποτέλεσμά τους είναι πάνω ή κάτω από δοσμένο αριθμό. Για παράδειγμα 76λ + 97λ + 19λ=…. Είναι περισσότερα ή λιγότερα από 2€; Για δεδομένη εκτίμηση δίνονται τρεις ή τέσσερις εναλλακτικές επιλογές. Ο βαθμός δυσκολίας της δραστηριότητας καθορίζεται από το κατά πόσο διαφέρουν μεταξύ τους οι εναλλακτικές επιλογές. Π.χ. 76λ + 97λ + 85λ+ 59λ=….. Είναι περίπου α. 1€, β. 2€, γ. 3€, δ. 4€ Δίνονται πέντε έως δέκα κατάλληλα επιλεγμένες αριθμητικές πράξεις. Ποιες απ’ αυτές έχουν αποτέλεσμα πιο κοντά σε τρεις δοσμένους αριθμούς (π.χ. 500, 200, 1100)

Στρατηγικές Εκτίμησης της Απάντησης Η στρατηγική των αρχικών ψηφίων. Εστιάζομε την προσοχή μας στα αρχικά ψηφία. Είναι μία εύκολη στρατηγική για τις πρώτες τάξεις του δημοτικού. Στον πολλαπλασιασμό, με τη στρατηγική των αρχικών ψηφίων, χρησιμοποιείται το πρώτο ψηφίο του κάθε παράγοντα. Για παράδειγμα στο γινόμενο 362 x 43= , έχομε : 300 x 40= 12.000 ή για μεγαλύτερη ακρίβεια, με την τυπική μέθοδο στρογγυλοποίησης 400 x 40= 16.000. Στις διαιρέσεις πρέπει να προσδιοριστεί ποιας τάξης μεγέθους είναι το πρώτο ψηφίο του πηλίκου. Στη διαίρεση 4.573: 6= Το 6 στο 45 χωράει 7 φορές. Το 7 ανήκει στην τάξη των εκατοντάδων, επειδή το 45 ως τμήμα του διαιρετέου δηλώνει εκατοντάδες. Η εκτίμηση με βάση τα αρχικά ψηφία του διαιρετέου μας δίνει ως αποτέλεσμα το 700.

Στρατηγικές Εκτίμησης της Απάντησης Η Στρατηγική της στρογγυλοποίησης. Είναι η πιο συνηθισμένη στρατηγική. Μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους. Η στρατηγική απαιτεί πολλές εσωτερικές διεργασίες εκ μέρους των μαθητών. Στην πρόσθεση με δύο προσθετέους και στην αφαίρεση μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε μόνο τον ένα από τους δύο αριθμούς. Στην πράξη της αφαίρεσης στρογγυλοποιούμε τον αφαιρετέο. Στους πολλαπλασιασμούς αν ο ένας παράγοντας στρογγυλοποιηθεί σε 10, 100 ή 1000 το γινόμενο προκύπτει εύκολα, χωρίς να απαιτείται η μεταβολή του άλλου παράγοντα. Στον πολλαπλασιασμό συχνά στρογγυλοποιούμε μόνο τον ένα παράγοντα. Όταν οι δύο παράγοντες διαφέρουν πολύ μεταξύ τους στρογγυλοποιούμε τον μεγαλύτερο. Π.χ. 36 x 6.845 → 36 x 7000= 252.000. Ένας καλός τρόπος είναι να στρογγυλοποιήσουμε τον ένα παράγοντα προς τα πάνω (π.χ. 73 x 38=), έχομε (38 → 40) και (73 → 70). Έτσι έχομε την εκτίμηση 70 x 40= 2800.

Στρατηγικές Εκτίμησης της Απάντησης Η Στρατηγική της στρογγυλοποίησης. Στη διαίρεση με μονοψήφιο διαιρέτη ένας καλός τρόπος είναι να αντικαταστήσομε το διαιρετέο με τον πλησιέστερο δυνατό στρογγυλοποιημένο αριθμό που διευκολύνει τη νοερή εκτέλεση της διαίρεσης Π.χ. 3.432 : 8 → 3.200 : 8= 400. Όταν ο διαιρέτης είναι διψήφιος ή τριψήφιος αριθμός, το πηλίκο της διαίρεσης μπορεί να εκτιμηθεί σχετικά εύκολα, αν τον στρογγυλοποιήσουμε στις δεκάδες ή στις εκατοντάδες. Π.χ. 4.390: 625 → 4.390 : 600 και το ζητούμενο είναι ο αριθμός που όταν πολλαπλασιαστεί με το 600 θα μας δώσει γινόμενο περίπου τον αριθμό 4.390.

Στρατηγικές Εκτίμησης της Απάντησης Η Στρατηγική του συνταιριάσματος των αριθμών. Μπορούμε να αλλάξουμε τους αριθμούς με πλησιέστερους ώστε να διευκολύνεται η νοερή εκτέλεση των πράξεων. 64 x 8 → 60 x 8, 1 /4 x 17 x 987 → 1 /4 x 16 x 1000 371 : 18 → 360 : 18 = ή 371 : 18 → 380 : 20 = Σε προσθέσεις με πολλούς προσθετέους, μπορούμε να συνδυάσουμε δύο ή τρεις αριθμούς που δίνουν ως άθροισμα περίπου 10 ή 100. 41 + 29 + 63 + 17 + 65 + 48 + 85 → (41 + 63) + (85 + 17) + (65 + 29) + 48 μας κάνουν περίπου 100 + 100 + 100 + 48 Η Στρατηγική του μέσου όρου. Εφαρμόζεται στις περιπτώσεις που μπορεί να βρεθεί ένας κατά προσέγγιση μέσος όρος των αριθμών που πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε στην εκτίμησή μας. 2,93 + 3,14 + 3,05= 82 + 90 + 87 + 97 + 84= 0,79 + 0,68 + 0,75 + 0,67 + 0,64= 57 + 60 + 52 + 54 + 67= . Ο μ.ο. φαίνεται να είναι το 60. Η εκτίμηση είναι 5 x 60= 300 και το ακριβές άθροισμα των αριθμών είναι το 290.

Αισθητοποίηση των αριθμών μέχρι το 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Αισθητοποίηση των αριθμών μέχρι το 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 17 18 19 20 21 22 26 27 28 29 30 31 32 34 36 37 38 39 40 41 42 46 47 48 49 50 51 52 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Στρατηγικές νοερών προσθέσεων Όταν οι μαθητές είναι σε θέση να προσθέτουν ένα διψήφιο αριθμό με ένα διψήφιο πολλαπλάσιο του 10 (35 + 40= ) Μπορεί να εισαχθεί και να διδαχθεί η νοερή διαδικασία πρόσθεσης δύο οποιονδήποτε διψήφιων αριθμών. Προσθέτω στον ένα προσθετέο το πιο κοντινό πολλαπλάσιο του άλλου προσθετέου και συνεχίζω με την αναγκαία αντισταθμιστική αφαίρεση ή πρόσθεση. Π.χ. 34 + 49→34 + 50= 84 και 84 – 1= 83 ή συνοπτικά ως παράσταση: 34 + 49= 34 + (50 – 1)= (34 + 50) – 1= 84 – 1= 83. Για την ίδια πρόσθεση, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η εναλλακτική διαδικασία 34 + 49= 34 + (40 + 9)= (34 + 40) + 9=74 + 9=83. Όταν ο ένας προσθετέος λήγει σε 8 ή 9, μία εύκολη στην εφαρμογή της στρατηγική είναι αυτή της μεταφοράς μονάδων από τον ένα προσθετέο στον άλλο για τη δημιουργία πολλαπλασίου του 10. Π.χ. στην πρόσθεση 36 + 48= παίρνομε 2 μονάδες από το 36 και τις προσθέτουμε στο 48 που γίνεται 50. Έτσι 36 + 48= 34 + 50= 84.

Στρατηγικές νοερών προσθέσεων Εφόσον οι μαθητές έχουν απομνημονεύσει τις απλές πράξεις της πρόσθεσης και κατανοήσει την αξία θέσης των ψηφίων μπορούν: Να προσθέτουν πρώτα τα ψηφία των Δ και στο μερικό αυτό άθροισμα να προσθέτουν το άθροισμα των ψηφίων των Μ. Στους μαθητές με προβλήματα βραχύχρονης μνήμης μπορεί να επιτρέπεται να σημειώνουν ενδιάμεσα αποτελέσματα, ιδιαίτερα όταν υπάρχουν κρατούμενα Π.χ. 38 + 45= , έχουμε 3Δ + 4Δ= 7Δ, δηλαδή 70 Ο μαθητής γράφει 70 και συνεχίζει 8Μ + 5Μ μας κάνουν 13. Ο μαθητής γράφει 13) και καταλήγει 38 + 45 μας κάνουν 70 + 13= 83.

Στρατηγικές νοερών αφαιρέσεων Εφόσον οι μαθητές μπορούν να αφαιρούν από ένα ένα διψήφιο αριθμό, ένα διψήφιο πολλαπλάσιο του 10 (π.χ. 75 – 40= ) Μπορεί να εισαχθεί και να διδαχθεί η νοερή διαδικασία αφαίρεσης δύο οποιονδήποτε διψήφιων αριθμών. Μία στρατηγική που μπορεί να εισαχθεί στη συνέχεια είναι αυτή της αφαίρεσης του πλησιέστερου πολλαπλάσιου του 10 του αφαιρετέου και στη συνέχεια η εκτέλεση μίας αφαίρεσης ή πρόσθεσης ως αντιστάθμιση. α. 75 – 42= έχομε 75 – 40= 35 και 35 – 2= 33 ή συνοπτικά ως παράσταση: 75 – 42= 75 – (40 + 2)= (75 – 40) – 2= 35 – 2= 33 β. 75 – 49= έχομε αρχικά 75 – 50= 25 και ως αντιστάθμιση 25 + 1= 26 ή συνοπτικά 75 – 49= 75 – (50 – 1)= (75 – 50) + 1= 25 + 1= 26.

Στρατηγικές νοερών αφαιρέσεων Στις περιπτώσεις αφαιρέσεων με δανεισμό, προτείνονται οι ακόλουθες στρατηγικές: α. Αφαιρέστε τις δεκάδες του αφαιρετέου από τις δεκάδες του μειωτέου. Στη συνέχεια αφαιρέστε τις μονάδες του αφαιρετέου Τέλος προσθέστε τις μονάδες του μειωτέου». Π.χ. 83 – 56= . Έχομε 80 - 50→30 - 6→24 + 3= 27 β. Προσθέστε τον κατάλληλο αριθμό στον μειωτέο ώστε να αφαιρείται εύκολα ο αφαιρετέος και Μετά την αφαίρεση του αφαιρετέου, αντισταθμίστε αφαιρώντας τον αριθμό που αρχικά προσθέσατε» Π.χ. 73 - 46→(73 + 3) - 46→76 - 46→30 – 3= 27.

Στρατηγικές νοερών πολλαπλασιασμών Οι γνώσεις και οι δεξιότητες που βοηθούν στην εκτέλεση νοερών πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων και πρέπει να αποκτηθούν είναι: Η νοερή αρίθμηση ανά 10, 20, 25, 30, 50 κτλ. Η εκτέλεση πολλαπλασιασμών με πολλαπλάσια του 10 και του 100 σε διαφορετικούς συνδυασμούς (5 x 3=15, 5 x 30= 150, 5 x 300= 1500, 50 x 30= 1500, 50 x 3= 150, 500 x 3=1500). Για την κατανόηση αυτών των γινομένων προτείνονται πολλαπλασιασμοί του τύπου 40 x 70= ή 310 x 60= , όπου οι δεκάδες πολλαπλασιάζονται με δεκάδες

Στρατηγικές νοερών πολλαπλασιασμών Αρχικά δίνεται ένας σύνθετος πολλαπλασιασμός Προτείνεται από το δάσκαλο ή από τους μαθητές μία σειρά από απλούστερους πολλαπλασιασμούς Συζητιέται στην τάξη ποιες πράξεις μπορεί να επιλεγούν για την νοερή εκτέλεση του σύνθετου. Π.χ. Στην πράξη 310 x 20= προτείνονται οι πολλαπλασιασμοί: 3 x 2= , 31 x 2= , 2 x 10= , 20 x 10= , 2 x 30= ,2 x 300= , 20 x 300= , 20 x 31= Η πιο συνηθισμένη χρήση των βασικών αυτών δεξιοτήτων είναι σε πολ/σμούς για τον έλεγχο της ορθότητας ή λογικότητας ενός γινομένου ή πηλίκου. Π.χ. έστω ότι 32 x 29= 354 . Κάνω στρογγυλοποίηση και πολλαπλασιάζω για να ελέγξω 30 x 30= 900. Το γινόμενο είναι λανθασμένο. Στη διαίρεση 2475 : 79= 31 και υπόλ. 26. Έλεγχος 80 x 30=2400, η διαίρεση φαίνεται να είναι σωστή

Στρατηγικές νοερών πολλαπλασιασμών Στρατηγικές χωρίς ανάλυση των αριθμών. Οι μαθητές αντιμετωπίζουν την πράξη του πολλαπλασιασμού ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Στρατηγικές ανάλυσης των αριθμών. Οι στρατηγικές ανάλυσης βασίζονται στη χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας και στην κατανόηση του δεκαδικού συστήματος και της αξίας θέσης των ψηφίων. Μπορεί να έχουμε ανάλυση του πολλαπλασιαστέου ή του πολλαπλασιαστή ή σύνθετες αναλύσεις και των δύο παραγόντων. α. Ανάλυση του πολλαπλασιαστέου. Π.χ. 37 x 6= (30 + 7) x 6= 30 x 6 + 7 x 6= 180 + 42= 222 ή 37 x 6= (10 +10 +10 + 7) x 6= 60 + 60 + 60 + 42= 222. β. Ανάλυση του πολλαπλασιαστή. Π.χ. 27 x 4= 27 x (2 + 2)= 27 x 2 + 27 x 2= 54 + 54= 108.

Στρατηγικές νοερών πολλαπλασιασμών γ. Άλλες σύνθετες αναλύσεις. Αξιοποιούνται οι νοεροί υπολογισμοί με τα πολλαπλάσια του 25 και του 50 και μετά προστίθεται ή αφαιρείται ένα μικρό υπόλοιπο. 27 x 8→25 x 4= 100, οπότε 25 x 8= 200 και 2 x 8= 16. Επομένως 27 x 8= 216. Στρατηγικές αντιστάθμισης. Οι μαθητές τροποποιούν τους αριθμούς για να εκτελούνται εύκολα οι υπολογισμοί. Η αντιστάθμιση μπορεί να γίνει στο αρχικό αποτέλεσμα 37 x 4→ 40 x 4→160 - 12→148 ή συνοπτικά 37 x 4= (40 – 3) x 4= (40 x 4) – (3 x 4)= 160 – 12= 148. Επίσης μπορεί να τροποποιηθεί κατάλληλα ο ένας παράγοντας ως αντιστάθμιση της αλλαγής του άλλου παράγοντα, όπως 250 x 5= 125 x 10= 1250. Δηλαδή διαιρέθηκε το 250 δια 2 και πολλαπλασιάστηκε το 5 επί 2. Η τελευταία περίπτωση χρησιμοποιείται συχνά, όταν ο ένας παράγοντας είναι οι αριθμοί 5 ή 50.

Υπολογιστές τσέπης και σχολικά Μαθηματικά Η λογική και σωστή χρήση της αριθμομηχανής βοηθά: Στην κατανόηση εννοιών και διαδικασιών Στην απόκτηση υπολογιστικών δεξιοτήτων Στην απόκτηση θετικής στάσης προς τα Μαθηματικά Στην εξοικονόμηση χρόνου Ερευνητικές δραστηριότητες σ’ ένα περιβάλλον επίλυσης προβλημάτων γίνονται αποτελεσματικότερα με τις αριθμομηχανές Πρέπει να είναι διαθέσιμες και οι μαθητές να μπορούν να τις χρησιμοποιούν εναλλακτικά ανά πάσα στιγμή. Οι απαγορεύσεις ενισχύουν την πεποίθηση των μαθητών ότι δε συνιστούν συνηθισμένα εργαλεία για την επίλυση προβλημάτων. Οι μαθητές πρέπει να μάθουν να επιλέγουν την αριθμομηχανή σε υπολογισμούς ρουτίνας ή νοερές πράξεις σε σχετικά απλούς υπολογισμούς ή εκτιμήσεις όταν δεν ενδιαφέρει το ακριβές αποτέλεσμα και για προβλέψεις και ελέγχους αποτελεσμάτων. Η χρήση των αριθμομηχανών συνιστάται ιδιαίτερα για τους μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες στα Μαθηματικά.