ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Οι ροπές στους κόμβους του φορέα προσδιορίζονται από την επαλληλία 3 δράσεων Δράση εξωτερικού φορτίου pj Δράση στροφών των εσωτερικών κόμβων, φj Δράση μετατοπίσεων δj Συνεπώς Μολ = Μp + Μφ + Μδ

Ο κόμβος Β δεν μπορεί να μετακινηθεί οριζόντια ή κατακόρυφα Παραδοχές (Ι). Αξονική ατένεια ράβδων  βραχύνσεις ή μηκύνσεις ράβδων θεωρούνται μηδενικές  (β) αν η ράβδος δεν στηρίζεται στο έδαφος, τότε οι μετακινήσεις κόμβων αρχής και τέλους κατά την αξονική διεύθυνση είναι ίδια. (α) Μετακινήσεις κόμβων κατά την αξονική διεύθυνση ράβδων που στηρίζονται στο έδαφος απαγορεύονται. Β Γ Α Ο κόμβος Β δεν μπορεί να μετακινηθεί οριζόντια ή κατακόρυφα

Οι κόμβοι Β, Γ δεν μπορούν να μετακινηθούν κατά την κατακόρυφη έννοια αλλά μπορούν να μετακινηθούν ισόποσα κατά την οριζόντια. δ Α Β Γ Δ (ΙΙ) Οι ράβδοι που συντρέχουν σε ένα κόμβο j κατά την ίδια γωνία φj (διατήρηση της αρχικής μεταξύ τους γωνίας )

Διάκριση Φορέων σε Πάγιους –Μη Πάγιους Πάγιος  φορέας του οποίου οι κόμβοι παρουσιάζουν μηδενικές μετατοπίσεις  δj=0. Συνεπώς Μολ = ΜP + Μφ Μη πάγιος  φορέας του οποίου οι κόμβοι όχι μόνο στρέφονται αλλά και μετατοπίζονται. Οπότε Μολ = ΜP + Μφ + Μδ Πορεία Υπολογισμών 1. Παγιώνω τους εσωτερικούς κόμβους κατά τρόπο ώστε ο φορέας να αποτελείται από μονόπακτους - αμφίπακτους δοκούς. Α Β Γ Δ ΑΒ μονόπακτη, ΒΓ αμφίπακτη, ΓΔ αμφίπακτη

2. Υπολογίζω της ροπές λόγω εξωτερικού φορτίου Μ σε κάθε κόμβο, με τη βοήθεια πινάκων. ΑΜΦΙΠΑΚΤΗ

ΜΟΝΟΠΑΚΤΗ

3. Στρέφω τους κόμβους και χαράζω τον παραμορφωμένο φορέα, εκλέγοντας αυθαίρετα την ίνα αναφοράς, προσέχοντας να μην καταλύω την συνέχεια του φορέα. ΠΑΓΙΟΙ Γ Α + Β -

ΜΗ-ΠΑΓΙΟΙ Β Γ - + A Δ δ Β Γ + - ευθεία A δ

4. Βρίσκω τα εντατικά μεγέθη Μ,φ με την βοήθεια των πινάκων, λαμβάνοντας ως θετικές τις στροφές που εφελκύουν την ίνα αναφοράς. ΑΜΦΙΠΑΚΤΗ ΜΟΝΟΠΑΚΤΗ

5. Μετατοπίζω τους κόμβους- στην περίπτωση μη πάγιου φορέα- και χαράζω τον παραμορφωμένο φορέα. Πάλι βρίσκω τα εντατικά μεγέθη Μδ, κάνοντας χρήση πινάκων, λαμβάνοντας ως θετικές τις μετατοπίσεις που εφελκύουν την ίνα αναφοράς. ΑΜΦΙΠΑΚΤΗ

ΜΟΝΟΠΑΚΤΗ 6. Συνθέτω τις επιμέρους ροπές ΜP, Μφ, Μδ και μορφώνω τις εξισώσεις συμβιβαστου/ ισορροπιας των κόμβων. 7. Επιλύω τις εξισώσεις και βρίσκω τα άγνωστα μεγέθη φj και δj 8. Υπολογίζω τον κόμβο Mj και χαράζω τα διαγράμματα M,V,N

Δυσκολίες και λάθη Αναγνώριση παγιότητας Χάραξη παραμορφωμένου σώματος καταλύοντας την συνεχεία του φορέα. Αδυναμία επίλυσης συστήματος εξισώσεων. Παράληψη έλεγχου τελικής ισορροπίας κόμβων για πιθανή εντόπιση αριθμητικών σφαλμάτων.

1) Πακτώνω των ενδιάμεσο κόμβο Β Άσκηση 10.4.1 5,0 3,0 Α Β Γ 5I I 2 kN/m - + Φορέας= πάγιος 1) Πακτώνω των ενδιάμεσο κόμβο Β ΒΑ: μονόπακτο αφόρτιστο  Ροπή μόνο λόγω στροφής φβ

ΒΓ: αμφίπακτο, φορτισμένο  ροπές λόγω Ρ και φ

2) Ισορροπία κόμβου Β ΜΒΑ=ΜΒΓ  -Β= -4,17+4Β  Β = 4,17/5 = 0,834 Συνεπώς : ΜΒΑ = -0,834 ΜΒΓ = -4,17+40,834 = -0,834 ΜΓΒ = -4,17-20,834 = -5,834

Α Β +3,166 -0,83 Γ -5,83 [M] Max MΒ-Γ = -0,834 + 42/(2*2) = +3,166 Α Β Γ +4,0 -6,0 -0,278 [V] Α Β -4,0 -0,278 [N] Γ 4,0 0,278

φορέας πάγιος  Μ = ΜP + Μφ ΑΣΚΗΣΗ 9.5.2 50 kN/m 4040 3030 5,0 2,0 A B D E C + - 3,0 φορέας πάγιος  Μ = ΜP + Μφ Ι=b d3/ 12 Έστω Α= , Β=

  ΜDA= 0 + (φΑ<0) ΜAD = 0 +

MAD = MAB  -9A = -104,2+17,07A-8,53B  A = 4+0,33B MBA MBE MBC Ισορροπία Κόμβων MAD = MAB  -9A = -104,2+17,07A-8,53B  A = 4+0,33B MBA+MBE = MBC  -104,2+17,07B-8,53A+6,75B = -25-32B  B(17,07+6,75+32-8,530,33) = 104,2-25+8,534  B = 2,14  A = 4,71 Αντικαθιστώντας: MDA= 21,2 , MAD = -42,3 , MAB = -42,3 MBA= -107,8 , MBE = 14,4 MBC = -93,4 (σε kNm)

Ενδεικτικός υπολογισμός τεμνουσών VAB = 50*5/2 + Έλεγχος 42,3 93,4 107,8 14,4 A D E B -21,2 - 138,1 +96,7 +111,9 [V] -3,3 4,8 Ενδεικτικός υπολογισμός τεμνουσών VAB = 50*5/2 + (-107.8+42.3)/5 = 111.9 VBA = 111.9 – (50*5) = -138.1 A D E B C +82,9 +14,4 -93,4 -107,8 -42,3 +21,2 [M] +0,1 MaxMAB = -42,3 + = +82,9 MaxMBC = = +0,1

C A D E B -21,2 -111,9 -234,8 -16,4 [N] NAB 21,2 NAD 111,9 NBE 96,7 138,1 NBC 4,8 21,2

Ο φορέας είναι πάγιος λόγω συμμετρίας διαστάσεων, διατομών , φορτίων A 4I B Γ 30 KN/m 6,0 4,0 Η Ε Ζ Θ Δ 2I I 2,0 3,0 + - Ο φορέας είναι πάγιος λόγω συμμετρίας διαστάσεων, διατομών , φορτίων Συμμετρία  Συμμετρικά Μ,Ν- αντιμετρικό V φΓ = φΒ , φΔ = φΑ  μόνο δυο άγνωστοι Αν δεν ήταν συμμετρικός  μη πάγιος  5 άγνωστοι Έστω EIφΑ =Α, EIφΒ =Β,

ΜΑΕ = ΜΑΒ  -40-4Α+2Β = Α  Β = 20+2,5Α (1) Ισορροπία Κόμβων ΜΑΒ ΜΒΓ ΜΒΖ ΜΑΕ ΜΒΑ ΜΑΕ = ΜΑΒ  -40-4Α+2Β = Α  Β = 20+2,5Α (1) ΜΒΑ+ΜΒΖ = ΜΒΓ  -40-4Β+2Α-1,6Β = -90+1,33Β … (2) (1),(2)  Β = 5,55, Α = -5,78 Άρα ΜΑE = -5,8 kNm = MΑΒ = MΔΓ = ΜΔΘ, ΜΒΑ = -73,7 kNm = ΜΓΔ, ΜΒΖ = -8,9 kNm = ΜΓΗ, ΜZΒ = +4,4 kNm = ΜΗΓ, ΜΒΓ = -82,6 kNm = ΜΓΒ

90 -43 77 -90 +1,9 43 2,6 -2,6 -1,9 -77 A E B Γ Ζ Η Δ Θ [V] -82,6 25 -73,7 -8,9 -5,8 4,4 52,4 Η Θ Δ Ζ Ε Α Γ Β [M]

-1,9 -4,5 -43 -167 Ε Ζ Α Β Γ Δ Η Θ [Ν] ΝΑΒ 1,9 43 ΝΑΕ A 90 ΝΒΖ ΝΒΓ 2,6 B 1,9 77