Συστήματα Συντεταγμένων Στη γενική περίπτωση μπορούμε να ορίσουμε άπειρα συστήματα συντεταγ-μένων τα οποία να μας επιτρέπουν να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου. Στη Φυσική χρησιμοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουμε εδώ. Θα εξετάσουμε τα συστήματα ανάλογα με τις διαστάσεις του προβλήματος ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ x Ορίζουμε τον άξονα  + Ορίζουμε την αρχή 1,5 +3 Προσανατολίζουμε (+/) Κάθε σημείο προσδιορίζεται μονοσήμαντα Μονάδα μέτρησης π.χ. m

Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Καρτεσιανό Σύστημα y Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες Α yA xA Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες xA, yA x Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από ζεύγος τιμών x, y.

Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Το σχεδιάζουμε μαζί με το καρτεσιανό για να καταλάβουμε τη σχέση μεταξύ τους Πολικό Σύστημα y Για να προσδιορίσουμε τη θέση του σημείου Α πρέπει να χρησιμοποι- ήσουμε και πάλι ένα ζεύγος τιμών. Α ρ Την απόσταση από την αρχή των αξόνων ρ φ x Τη γωνία φ που μετριέται από το θετικό ημιάξονα αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από ζεύγος τιμών ρ, φ.

Πολικών και Καρτεσιανών συντεταγμένων Σχέση μεταξύ Πολικών και Καρτεσιανών συντεταγμένων Γεωμετρικά εύκολα βρίσκουμε ότι y Α y ρ Συμβολισμοί που θα χρησιμοποιούμε φ x x

Καρτεσιανό Σύστημα (δεξιόστροφο) ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ z zA Καρτεσιανό Σύστημα (δεξιόστροφο) Τρεις κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες Α yA Έστω σημείο Α στο χώρο y Η θέση του προσδιορίζεται αν φέρουμε την προβολή του Α΄στο xy επίπεδο και βρούμε Τις xΑ , yΑ και την προβολή του zΑ στον z άξονα. xA Α΄ x Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη x, y, z.

Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ z zA Κυλινδρικό Σύστημα Ουσιαστικά πρόκειται για Το πολικό σύστημα στο Επίπεδο (π.χ. το x,y) Α Με την προσθήκη ενός άξονα (π.χ.) του z) y Έστω σημείο Α στο χώρο ρΑ Η θέση του προσδιορίζεται αν φέρουμε την προβολή του Α΄στο xy επίπεδο και βρούμε τις ρΑ, φΑ και την προβολή του zΑ στον z άξονα. φΑ Α΄ x Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη ρ, φ, z.

Κυλινδρικού και Καρτεσιανού Συστήματος ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σχέση συντεταγμένων Κυλινδρικού και Καρτεσιανού Συστήματος z Από το σχήμα, αλλά και από τις σχέσεις τις οποίες βρήκαμε για το πολικό σύστημα στο επίπεδο έχουμε: z Α y ρ φ Α΄ x

Γιατί λέγεται το σύστημα Κυλινδρικό; ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Γιατί λέγεται το σύστημα Κυλινδρικό; Εάν διατηρήσουμε σταθερό το ρ, ενώ θα μεταβάλλουμε το φ και το z σχηματίζεται κύλινδρος z z Α Το σύστημα χρησιμοποιείται σε προβλήματα με κυλινδρική συμμετρία, π.χ. μαγνητικό πεδίο ρευματοφόρου αγωγού. y x

Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ z Σφαιρικό Σύστημα Η θέση του Α προσδιορίζεται από τα εξής μεγέθη: Α θΑ Την απόσταση rΑ από την αρχή rΑ Την γωνία φΑ που ορίζεται όπως και η πολική. y φΑ Την γωνία θΑ που μετριέται πάντα από το θετικό ημιάξονα z Α΄ x Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη r, θ, φ.

Σφαιρικών και Καρτεσιανών συντεταγμένων ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σχέση μεταξύ Σφαιρικών και Καρτεσιανών συντεταγμένων Από το σχήμα εύκολα παίρνουμε: z Ρ Α θ r Τελικά: θ y φ Α΄ x

Γιατί λέγεται το σύστημα Σφαιρικό; ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Γιατί λέγεται το σύστημα Σφαιρικό; Εάν διατηρήσουμε σταθερό το r, ενώ θα μεταβάλλουμε το φ και το θ σχηματίζεται σφαίρα z r Το σύστημα χρησιμοποιείται σε προβλήματα με σφαιρική συμμετρία, π.χ. βαρυντικό πεδίο Της Γης. y x

Είναι γνωστό ότι πολλά φυσικά μεγέθη θεωρούνται διανυσματικά (π. χ Είναι γνωστό ότι πολλά φυσικά μεγέθη θεωρούνται διανυσματικά (π.χ. Δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα κ.τ.λ) Συμβολισμός του διανύσματος: Συμβολισμός του μέτρου του διανύσματος: z Στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (όπως θα μάθουμε και σε όλα τα συστήματα συντεταγμένων) μπορούμε να ορίσουμε ένα σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ y х Τότε ένα διάνυσμα μπορούμε να το γράψουμε με τη βοήθειά τους Όπου οι συνιστώσες του διανύσματος

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ θ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ φ Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα, κάθετο και στα δύο διανύσματα

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ φ

ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

= εμβαδόν παραλληλογράμμου ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ h S h φ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ = εμβαδόν παραλληλογράμμου

Μήπως θα ήταν σκόπιμο να παριστάνουμε ΚΑΘΕ επίπεδο με διάνυσμα; Ας υποθέσουμε ότι έχουμε το επίπεδο S στο χώρο. Βρίσκουμε την προβολή του S΄ στο επίπεδο xy. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ξέρουμε ότι Αν σύμφωνα με όσα είπαμε προηγουμένως παριστάναμε τα 2 επίπεδα με 2 διανύ- σματα , τότε είναι κατανοητό, πως το θα ήταν η προβολή του στον άξονα z (ΒΟΛΙΚΟ). ΕΠΟΜΕΝΩΣ: ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΠΟΡΟΎΜΕ ΝΑ ΤΟ ΠΑΡΑΣΤΗΣΟΥΜΕ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΜΙΑΣ ΚΛΕΙΣΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΜΗΔΕΝ Διανύσματα είναι μόνο τα επίπεδα; ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΣ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ; ΔSi S Έστω τυχαία επιφάνεια S στο χώρο. Τη χωρίζουμε σε πολύ μικρές επιφάνειες ΔSi. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΜΙΑΣ ΚΛΕΙΣΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΜΗΔΕΝ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ x y = f(x) y φ φ Δy φ x1+Δх Δy x1+Δх Δx ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Ο στιγμιαίος «ρυθμός» μεταβολής ενός μεγέθους σε σχέση με κάποιο άλλο (όχι απαραίτητα το χρόνο). Ταχύτητα Επιτάχυνση Θερμοχωρητικότητα Συμβολισμοί:

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ φ Έστω μια ανεξάρτητη μεταβλητή x. Αν Δх 0 χρησιμοποιούμε το συμβολισμό dx και ονομά-ζουμε το dx διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής x. ΕΡΩΤΗΜΑ Εάν έχω συνάρτηση y=f(x) και η ανεξάρτητη μεταβλητή x μεταβληθεί κατά dx, πόσο θα μεταβληθεί η y; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Βλέπουμε ότι αν το x μεταβληθεί κατά Δx, τότε θα έχουμε: φ Και για Δх 0

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω συνάρτηση y=f(x) Τότε y΄=f(x+Δx) Με τι ισούται η διαφορά Δy=y΄ y=f(x+Δx)  f(x); Αποδεικνύεται ότι Δy=ΑΔx+ο(Δx) όπου Α=Α(x) (δεν εξαρ-τάται από το x) και ο(Δx) συνάρτηση του Δx δύνα-μης μεγαλύτερης της 1ης Για Δx 0 Για Δx 0 A=(dy/dx) και ο(Δx)  0

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ο γενικός τύπος μας επιτρέπει να θεωρούμε την παράγωγο ως λόγο. dr Έστω κύκλος ακτίνας r. Πόσο θα αυξηθεί το εμβαδόν του, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ; r Συμβατική απάντηση: Διαφορικό:

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να απαντήσουμε στο ερώτημα, πόσο θα αυξηθεί ο όγκος σφαίρας, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ; ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του διαφορικού για μερικές ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ προσεγγίσεις. Από τον γενικό τύπο του διαφορικού μπορούμε να περάσουμε στον προσεγγιστικό

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Τον τύπο αυτό μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε με μεγάλη επιτυχία, υπό την προϋπόθεση ότι Δx<<x Παραδείγματα: = ; = ;

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ – ΜΕΡΙΚΟΙ ΓΕΝΙΚΟΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ – ΜΕΡΙΚΟΙ ΓΕΝΙΚΟΙ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ ν – ρητός αριθμός Αυτοί οι τύποι είναι μερικές περιπτώσεις της σειράς Taylor

ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Η παράγωγος που ξέρουμε αναφέρεται σε συνάρτηση μιας με-ταβλητής. Τι γίνεται αν έχουμε συνάρτηση πολλών μεταβλητών; Π.χ. Και θέλουμε να δούμε πως μεταβάλλεται το υ όταν μεταβληθεί είτε το s είτε το t. Για συνάρτηση f(x, y, z,…) χρησιμοποιούμε την έννοια της μερικής παραγώγου. Παραγωγίζουμε ως προς x, θεωρώντας τις άλλες μεταβλητές σταθερές. Παραγωγίζουμε ως προς y, θεωρώντας τις άλλες μεταβλητές σταθερές.

Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών f(x, y, z). ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Όσον αφορά τη δεύτερη παράγωγο, έχουμε μερικών ειδών: Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών f(x, y, z).

Διαφόριση και παραγώγιση διανύσματος Έστω διάνυσμα Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση = Δηλαδή Η παράγωγος διανύσματος είναι διάνυσμα, οι συνιστώσες του οποίου είναι οι παράγωγοι των συνιστωσών του αρχικού διανύσματος

Διαφόριση και παραγώγιση διανύσματος ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Εάν σταθερό (κατά μέτρο και διεύθυνση)

Διάνυσμα θέσης - Ταχύτητα - Επιτάχυνση Έστω σωματίδιο που κινείται στο επίπεδο διαγράφοντας μια συγκεκριμένη τροχιά και τη χρονική στιγμή t βρίσκεται στη θέση Α. Α Η στιγμιαία ταχύτητά του θα δίνεται από τη γνωστή σχέση: Όπου η στοιχειώδης μετατόπιση σε χρόνο dt. Το διάνυσμα δείχνει τη θέση του σωματιδίου τη χρονική στιγμή t και ονομάζεται διάνυσμα θέσης. Μετά από χρόνο Δt το διάνυσμα θέσης θα είναι το Βλέπουμε εύκολα, ότι Κατανοούμε ότι για

Διάνυσμα θέσης - Ταχύτητα - Επιτάχυνση Α Επομένως η στιγμιαία ταχύτητα του σωματιδίου θα είναι: Έστω x, y οι συντεταγμένες του σημείου Α. Τότε θα έχουμε: Επομένως: Θα ισχύει: Εντελώς ανάλογα:

Διάνυσμα θέσης - Ταχύτητα - Επιτάχυνση Σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω για την επιτάχυνση (στις 2 διαστάσεις) θα ισχύει: Ενώ για τις 3 διαστάσεις: ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Όλα αυτά ισχύουν στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων!

Βρείτε, στη γενική περίπτωση, την ταχύτητα (για κίνηση σε 2 διαστάσεις) στο πολικό σύστημα συντεταγμένων ΠΡΟΒΛΗΜΑ! Για ΚΑΘΕ σύστημα συντεταγμένων, για την ταχύτητα θα ισχύει ο γενικός ορισμός Για το πολικό σύστημα συντεταγμένων επομένως πρέπει να ορίσουμε το . Για να το κάνουμε πρέπει να έχουμε τα μοναδιαία διανύσματα του πολικού συστήματος.

Τα μοναδιαία διανύσματα ορίζονται ως εξής: 1. Για σημείο Α φέρουμε την ΟΑ που ορίζει το ρ. Α Το μοναδιαίο διάνυσμα ορίζεται κατά μήκος του ρ και φορά από το Ο προς το Α. Ο 2. Το μοναδιαίο διάνυσμα που αντιστοιχεί στη γωνία φ, το , είναι κάθετο στο και δείχνει τη φορά μέτρησης του φ. ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΕΙΝΑΙ ΣΑΦΕΣ, ΠΩΣ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΜΕ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΠΟΥ ΚΙΝΕΙΤΑΙ, ΘΑ ΕΧΟΥΜΕ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΟΝΑΔΙΑΙΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Επιστρέφουμε στο πρόβλημά μας Εξετάζουμε και πάλι το σημείο Α, το οποίο περιγράφει τη θέση του σωματιδίου μια τυχαία χρονική στιγμή. Ο Α Ας εκφράσουμε το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου στις πολικές συντεταγμένες Τότε, σύμφωνα με τα γνωστά για την ταχύτητα θα έχουμε Κατά την παραγώγιση πρέπει να πάρουμε υπόψη μας ότι και το ρ και το είναι μεταβλητά Πρέπει να υπολογίσουμε το

1ος ΤΡΟΠΟΣ Ο Α Σχεδιάζουμε τα μοναδιαία διανύσματα και του καρτεσιανού συστήματος στο ίδιο σχήμα Σχεδιάζουμε και τα 4 μοναδιαία διανύσματα στους x, y άξονες με κοινή κορυφή το Ο Ο

Ο Φέρνουμε τις προβολές του στους άξονες x και y. Τότε, από το σχήμα βλέπουμε ότι ισχύει: Φέρνουμε τις προβολές του στους άξονες x και y. Θα ισχύει: Για να υπολογίσουμε την πρέπει να παραγωγίσουμε την (1) ως προς το χρόνο Από τη (2) παίρνουμε:

2ος ΤΡΟΠΟΣ Έστω ότι σε χρόνο dt το σωματίδιό μας μετατοπίσθηκε από τη θέση Α στη θέση Α΄. Α΄ Α Τότε η θέση του θα προσδι-ορίζεται από τις συντεταγμένες ρ΄=ρ+dρ (το dρ μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό) και φ΄=φ+dφ (το ίδιο και το dφ). Ο Τα μοναδιαία διανύσματα θα είναι τώρα και . Σχεδιάζουμε και τα 4 μοναδιαία διανύσματα με κοινή κορυφή.

Στην περίπτωση αυτή η μεταβολή του θα είναι . Ενώ η μεταβολή του , . ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΧΝΑΜΕ ΟΤΙ ΑΥΤΕΣ ΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΚΑΙ ΤΟ dφ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ ΜΙΚΡΕΣ Ξέρουμε ότι . Επειδή το dφ είναι απειροστά μικρό μπορούμε να θεωρήσουμε το τόξο κύκλου ακτίνας 1. Επομένως: Επειδή το dφ είναι απειροστά μικρό μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το είναι ταυτόχρονα κομμάτι της εφαπτομένης, δηλαδή είναι κάθετο στο . Επομένως θα είναι παράλληλο προς το .

Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης Δηλαδή αν ισχύει Θα έχουμε Όπου C σταθερά. Στη Φυσική η σταθερά C υπολογίζεται από κάποιες συνθήκες (αρχικές ή ενδιάμεσες) του προβλήματος. Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα χρησιμοποιούμε κάποια μέθοδο ολοκλήρωσης ΑΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω συνάρτηση y=f(x) με πεδίο ορισμού ax b. x y y=f(x) a b Χωρίζουμε το πεδίο ορισμού σε πολλά μικρά τμήματα Δxi το κέντρο των οποίων είναι το xi. Δxi xi f(xi) Εάν από το xi και με βάση το Δxi φέρουμε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα με ύψος το f(xi) θα έχουμε: Όπου Ν το πλήθος των Δxi στα οποία χωρίσαμε το διάστημα ab και S΄ εμβαδόν που διαφέρει λίγο από το εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f(x) και του άξονα x.

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ΑΘΡΟΙΣΜΑ Το ορισμένο ολοκλήρωμα ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εάν τώρα Ν είτε (πράγμα που είναι το ίδιο) Δxi0 είναι προφανές ότι το εμβαδόν θα είναι ακριβώς ίσο με το εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f(x) και του άξονα x. Τότε γράφουμε: Δxi x y y=f(x) a b xi f(xi) Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ΑΘΡΟΙΣΜΑ Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΡΟΣΟΧΗ Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΟΝΟ ΑΝ f(x)>=0

ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής x y z ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Ο γενικός τύπος για το διάνυσμα θέσης του ΚΜ στην περίπτωση που έχουμε σημειακές (διάκριτες) μάζες είναι: CM mi Αυτή η σχέση είναι στην πραγματικό-τητα 3 σχέσεις

ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής x y z ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Στην περίπτωση συνεχούς κατανομής της μάζας το άθροισμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα. CM dm Μ

ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ri mi O Στην περίπτωση σημειακών μαζών (διάκριτη κατανομή μάζας) η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα Ο δίνεται από τη σχέση: όπου mi η μάζα κάθε σωματιδίου και ri η απόστασή του από τον άξονα Ο.

ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ r dm O Στην περίπτωση συνεχούς κατανομής της μάζας το άθροισμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα και συνεπώς η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα Ο δίνεται από τη σχέση:

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ας υποθέσουμε ότι δύναμη μετακινεί σώμα στο επίπεδο κατά μήκος της καμπύλης L. L Τότε μπορούμε να μιλάμε για στοιχειώδες έργο που θα είναι Στη γενική περίπτωση, το ολικό έργο εξαρτάται από την τροχιά που ακολουθεί το σώμα (π.χ. τριβή), δηλαδή από την L. Για να το υπολογίσουμε πρέπει να αθροίσουμε όλα τα στοιχειώδη έργα (δηλαδή να ολοκληρώσουμε) ακολουθώντας την τροχιά L. Αυτό ακριβώς το ολοκλήρωμα λέγεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ξέρουμε ήδη ότι: Επομένως για το έργο θα έχουμε: Ας υποθέσουμε τώρα ότι: Ξέρουμε επίσης ότι: Επομένως: Άρα: Δηλαδή το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε άθροισμα απλών, στα οποία το L χρησιμοποιείται για να εκφράσουμε το x συναρτήσει του y ή αντίστροφα.

Μερικά συμπληρωματικά ΒΑΘΜΙΔΑ Όπως είπαμε, το έργο δύναμης είναι: Στην περίπτωση που η δύναμη είναι συντηρητική υπάρχει δυναμική ενέργεια για την οποία ξέρουμε ότι: Επομένως, σ’ αυτή την περίπτωση: Η εξίσωση αυτή μας επιτρέπει, αν ξέρουμε τη δύναμη, να υπολογίσουμε τη δυναμική ενέργεια. Πως όμως μπορούμε να τη λύσουμε, έτσι ώστε, αν ξέρουμε τη δυναμική ενέργεια, να υπολογίσουμε τη δύναμη; Ας εξετάσουμε το πρόβλημα στη γενική περίπτωση. Έστω ότι, από τη σχέση: Θέλουμε να υπολογίσουμε το

Μερικά συμπληρωματικά ΒΑΘΜΙΔΑ Ξέρουμε ότι: Ξέρουμε επίσης, ότι για τη συνάρτηση f(x,y,z) ισχύει: Τότε η σχέση γράφεται: Επειδή η σχέση αυτή ισχύει για όλα τα ανεξάρτητα dx, dy, dz, εύκολα προκύπτει ότι: Επομένως:

Μερικά συμπληρωματικά ΒΑΘΜΙΔΑ Επομένως, από τη σχέση: Καταλήξαμε στη: Αυτό μπορούμε να το συμβολίσουμε ως εξής: Όπου το ονομάζεται ΑΝΑΔΕΛΤΑ ή NABLA και θεωρείται τελεστής: Τελεστής είναι ένα σύμβολο που μας δίνει την εντολή να εκτελέσουμε μια πράξη (ενέργεια).

Μερικά συμπληρωματικά ΒΑΘΜΙΔΑ Μερικές φορές χρησιμοποιούμε το συμβολισμό: και τον όρο ΒΑΘΜΙΔΑ. Από το αρχικό μας πρόβλημα: καταλήγουμε στο συμπέρασμα: Εάν ΕP=const θα έχουμε και για κάθε θα ισχύει , επομένως θα υπάρχει μια επιφάνεια, που ονομάζεται ισοδυναμική. Συνεπώς η βαθμίδα μας δείχνει πόσο «κοντά» ή πόσο «μακριά» είναι οι ισοδυναμικές επιφάνειες, δηλ. πόσο «γρήγορα» μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια.

Μερικά συμπληρωματικά ΑΠΟΚΛΙΣΗ Στα προηγούμενα είδαμε, ότι ο τελεστής επιδρά σε ένα βαθμωτό μέγεθος και το μετατρέπει σε διάνυσμα : Τι γίνεται αν ο τελεστής αυτός επιδράσει σε διάνυσμα; Αυτό λέγεται ΑΠΟΚΛΙΣΗ του διανύσματος Η ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΜΑΣ ΔΙΝΕΙ ΤΗΝ ΙΣΧΥ ΤΗΣ ΠΗΓΗΣ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙ ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Μερικά συμπληρωματικά ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ Ο τελεστής έχει τη μορφή διανύσματος, επομένως μπορεί να επιδράσει σε ένα διάνυσμα και εξωτερικά. ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ Ο ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΜΑΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΑΝ ΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΕΙΝΑΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟ Η ΟΧΙ (Αν όχι είναι δυναμικό)