© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-1 Κεφάλαιο 4, Μέρος A Πιθανότητες

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-2 Στόχοι Μαθήματος Κατανόηση του τρόπου ανάθεσης πιθανοτήτων στα διάφορα ενδεχόμενα. Κατανόηση και χρήση της έννοιας της περιθώριας πιθανότητας, της από κοινού πιθανότητας, της δεσμευμένης πιθανότητας και της πιθανότητας ένωσης. Επιλογή του κατάλληλου νόμου πιθανοτήτων για την επίλυση προβλημάτων. Επίλυση προβλημάτων με την χρήση των νόμων των πιθανοτήτων συμπεριλαμβανομένου του νόμου της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού και της δεσμευμένης πιθανότητας. Χρήση του κανόνα του Bayes για τον υπολογισμό πιθανοτήτων.

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-3 Μέθοδοι ανάθεσης πιθανοτήτων Κλασική μέθοδος ανάθεσης πιθανότητας (κανόνες και νόμοι) Σχετική συχνότητα εμφάνισης ενδεχομένων (αθροιστικά ιστορικά δεδομένα) Υποκειμενική πιθανότητα (προσωπική διαίσθηση ή λογική)

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-4 Κλασικός ορισμός πιθανότητας Ο αριθμός των ευνοϊκών περιπτώσεων για ένα ενδεχόμενο Ε προς το σύνολο των δυνατών περιπτώσεων. Κάθε περίπτωση έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης Η συγκεκριμένη πιθανότητα είναι γνωστή εκ των προτέρων Χρησιμοποιείται σε τυχερά παιχνίδια Είναι αντικειμενική-η σωστή χρήση της μεθόδου οδηγεί στην ίδια πιθανότητα ανεξάρτητα ποιος την εφαρμόζει

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-5 Πιθανότητα Σχετικών Συχνοτήτων Βασίζεται σε ιστορικά στοιχεία Υπολογίζεται αφού εκτελεστεί το πείραμα Συχνότητα εμφάνισης του ενδεχομένου διιαρούμενη με τον αριθμό των δοκιμών Είναι αντικειμενική-η σωστή χρήση της μεθόδου οδηγεί στην ίδια πιθανότητα ανεξάρτητα ποιος την εφαρμόζει

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-6 Υποκειμενική Πιθανότητα Προέρχεται από την διαίσθηση ή την κοινή λογική του ερευνητή/ατόμου. Υποκειμενική-διαφορετικά άτομα μπορεί να αναθέσουν διαφορετικές πιθανότητες στο ίδιο ενδεχόμενο. Βαθμός πίστης. Χρήσιμη για πειράματα μιας δοκιμής, π.χ.: –Λανσάρισμα ενός νέου προϊόντος –Αρχική δημόσια εγγραφή μιας μετοχής –Αποφάσεις επιλογής χώρου κατασκευής ενός έργου –Αθλητικά γεγονότα

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-7 Δομή της Πιθανότητας Πείραμα Ενδεχόμενο Στοιχειώδη ενδεχόμενα Δειγματικός χώρος Ένωση και Τομή Αμοιβαίως Αποκλειόμενα ενδεχόμενα Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Πλήρη σε σύνολο ενδεχόμενα Συμπληρωματικά ενδεχόμενα

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-8 Πείραμα Πείραμα: μια διαδικασία που παράγει αποτελέσματα –Περισσότερα από ένα πιθανά αποτελέσματα. Ενδεχόμενο: το αποτέλεσμα ενός πειράματος –Συνήθως συμβολίζεται με κεφαλαία γράμματα, π.χ. A, E 1 Στοιχειώδες ενδεχόμενο: δεν μπορεί να διασπαστεί σε άλλα ενδεχόμενα

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-9 Ένα παράδειγμα Πειράματος Πείραμα: Τυχαία επιλογή, χωρίς επανάθεση, 2 οικογενειών από τον πληθυσμό μιας πόλης που αποτελείται από 4 οικογένειες. Οικογένεια Παιδιά στο Νοικοκυριό Αριθμός Αυτοκινήτων ABCDABCD Ναι Όχι uΣτοιχειώδες ενδεχόμενο: το δείγμα περιλαμβάνει τις οικογένειες Α και Γ uΕνδεχόμενο: κάθε οικογένεια του δείγματος έχει παιδιά uΕνδεχόμενο: οι οικογένειες του δείγματος διαθέτουν στο σύνολο 4 αυτοκίνητα

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-10 Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των στοιχειωδών ενδεχομένων ενός πειράματος. Μέθοδοι περιγραφής ενός δειγματικού χώρου –Κατάλογος ονομάτων –Διάγραμμα δέντρο –Σημειογραφία Συνόλων –Διάγραμμα Venn

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-11 Δειγματικός Χώρος: Παράδειγμα καταλόγου ονομάτων Πείραμα: τυχαία επιλογή, χωρίς επανάθεση, 2 οικογένειες από τον πληθυσμό μιας μικρής πόλης Κάθε διατεταγμένο ζεύγος στο δειγματικό χώρο αποτελεί ένα στοιχειώδες ενδεχόμενο, π.χ.-- (D,C) Οικογένεια Παιδιά στο Νοικοκυριό Αριθμός Αυτοκινήτων ABCDABCD Yes No Yes Δειγματικός Χώρος (A,B), (A,C), (A,D), (B,A), (B,C), (B,D), (C,A), (C,B), (C,D), (D,A), (D,B), (D,C)

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-12 Δειγματικός Χώρος: Διάγραμμα δέντρο για ένα τυχαίο δείγμα 2 οικογενειών A B C D D B C D A C D A B C A B

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-13 Δειγματικός Χώρος: Σημειογραφία θεωρίας συνόλων για ένα τυχαίο δείγμα 2 οικογενειών S = {(x,y) | x} είναι η επιλεγμένη οικογένεια στη πρώτη δοκιμή και y η οικογένεια στη δεύτερη δοκιμή αντίστοιχα} Συνοπτική περιγραφή μεγάλων δειγματικών χώρων

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-14 Ένωση Συνόλων Η ένωση δυο συνόλων περιέχει όλα εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν είτε στο ένα (Χ) είτε στο άλλο (Υ) είτε στη τομή τους. X = {1,4,7,9} Y = {2,3,4,5,6} X  Y = {1,2,3,4,5,6,7,9}

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-15 Τομή Συνόλων Η τομή δυο συνόλων περιέχει μόνο τα στοιχεία που ανήκουν και στα δυο σύνολα (κοινά στοιχεία). X = {1,4,7,9} Y = {2,3,4,5,6} X  Y = {4} Y X

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-16 Αμοιβαίως Αποκλειόμενα Ενδεχόμενα Ενδεχόμενα με κανένα κοινό αποτέλεσμα. Η εμφάνιση του ενός αποκλείει την εμφάνιση του άλλου. P(X  Y ) = 0

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-17 Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα Η εμφάνιση ενός ενδεχομένου δεν επηρεάζει την εμφάνιση ή μη ενός άλλου. Η δεσμευμένη πιθανότητα του Χ δεδομένου του Υ ισούται με την πιθανότητα εμφάνισης του Χ. Η δεσμευμένη πιθανότητα του Y δοθέντος του X ισούται με την πιθανότητα εμφάνισης του Y.

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-18 Πλήρη σε Σύνολο Γεγονότα Περιλαμβάνουν όλα τα πιθανά στοιχειώδη ενδεχόμενα ενός πειράματος. E1E1 E2E2 E3E3 Δειγματικός Χώρος τριών γεγονότων πλήρη σε σύνολα

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-19 Συμπληρωματικά Ενδεχόμενα Όλα τα στοιχειώδη ενδεχόμενα που δεν ανήκουν στο ενδεχόμενο Α αλλά στο συμπληρωματικό του (Α’). Δειγματικός Χώρος A

© 2002 Thomson / South-Western Slide 4A-20 Συνέχεια με το Κεφάλαιο 4, Μέρος B