Κύκλωμα RLC Ζαχαριάδου Κατερίνα ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ

Αμοιβαία Επαγωγή και Αυτεπαγωγή Αμοιβαία Επαγωγή και Αυτεπαγωγή

Αμοιβαία επαγωγή Ι χρονικά μεταβαλλόμενο ρεύμα Μ21=Μ12=Μ Η μαγνητική ροή στο πηνίο 2 είναι ανάλογη με το ρεύμα στο πηνίο 1 Ι χρονικά μεταβαλλόμενο ρεύμα Συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής (Στο κενό εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία των πηνίων) Μ21=Μ12=Μ

Μακρύ σωληνοειδές μήκους L με Ν1 σπείρες περιβάλλεται από άλλο με Ν2 σπείρες Το ρεύμα Ι1 δημιουργεί μαγνητικό πεδίο στο κέντρο του σωληνοειδούς : Η αμοιβαία επαγωγή είναι:

Ένα μεταβαλλόμενο ρεύμα σε κύκλωμα προκαλεί μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή και επαγόμενη ΗΕΔ σε γειτονικό κύκλωμα, ανάλογη προς το ρυθμό μεταβολής του ρεύματος. Ο συντελεστής αναλογίας ονομάζεται αμοιβαία επαγωγή Ένα μεταβαλλόμενο ρεύμα σε κύκλωμα επάγει ΗΕΔ στο ίδιο το κύκλωμα ανάλογη προς το ρυθμό μεταβολής του ρεύματος. Ο συντελεστής αναλογίας ονομάζεται αυτεπαγωγή Ένα στοιχείο του κυκλώματος που παρουσιάζει αυτεπαγωγή σε ένα κύκλωμα ονομάζεται πηνίο

Αυτεπαγωγή

Αυτεπαγωγή : το ίδιο το κύκλωμα προκαλεί τη μεταβολή της μαγνητικής ροής και η εμφανιζόμενη με αυτό τον τρόπο ΗΕΔ ονομάζεται ΗΕΔ εξ’ αυτεπαγωγής. Μετά το κλείσιμο του διακόπτη το ρεύμα δεν φτάνει αμέσως τη μέγιστη τιμή του: Ι=Ε/R Αύξηση μαγνητικής ροής Αύξηση του ρεύματος ΗΕΔ εξ’ επαγωγής Επαγόμενο ρεύμα στο κύκλωμα Το επαγόμενο ρεύμα αντιτίθεται στο ρεύμα αγωγιμότητας

V=R I Για πηνίο με Ν σπείρες: Η επαγόμενη ΗΕΔ είναι: Συντελεστής αυτεπαγωγής L Μονάδες Henry: η αυτεπαγωγή δίνει κατά κάποιο τρόπο το μέτρο της εναντίωσης στη μεταβολή του ρεύματος σε σύγκριση με την αντίσταση που δίνει το μέτρο της εναντίωσης στο ρεύμα. V=R I ορισμός του συντελεστή αυτεπαγωγής πηνίου ανεξάρτητα από το σχήμα, το μέγεθος και τα λοιπά χαρακτηριστικά του Έστω η θετική φορά του ρεύματος από το αb Στην ωμική αντίσταση: Vab πάντα θετικό ΣΤο πηνίο είναι θετικό για αυξανόμενο ρεύμα, αρνητικό για ελαττούμενο και μηδενικό για σταθερό ρεύμα

Κύκλωμα RL Αρχικά Τελικά Όσο μεγαλύτερη η αυτεπαγωγή τόσο πιο αργός ο ρυθμός Αρχικά Τελικά

Η σχέση αυτή δείχνει ότι ένα μέρος της ισχύος (Ε i ) που παρέχεται από την πηγή καταναλώνεται στον αντιστάτη και ένα άλλο μέρος αποθηκεύεται στο πηνίο Ρυθμός μεταβολής μαγνητικής ενέργειας στο πηνίο: Η ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο:

Κύκλωμα RL-εκφόρτιση Ο διακόπτης ανοίγει. Το ρεύμα δεν γίνεται ακαριαία μηδέν αλλά φθίνει ομαλά Η σταθερά χρόνου είναι ο χρόνος που απαιτείται για να ελαττωθεί το ρεύμα στο 1/e ~37% της αρχικής του τιμής Η ενέργεια που απαιτείται για να διατηρείται το ρεύμα κατά τη διάρκεια της απόσβεσης παρέχεται από την αποθηκευμένη ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου Η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο πηνίο ελαττώνεται με ρυθμό ίσο προς τον ρυθμό κατανάλωσης ενέργειας στον αντιστάτη

Παράδειγμα: Μαγνητική ενέργεια αποθηκευμένη σε δακτυλιοειδές πηνίο Ολική ροή μέσω της διατομής Α Αυτεπαγωγή: Θεωρουμε το μαγνητικό πεδίο σταθερό σε ολη τη διατομή Α Η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη όταν το ρεύμα είναι Ι Η ενέργεια ανά μονάδα όγκου (πυκνότητα ενέργειας) : Μαγνητικό ανάλογο της πυκνότητας ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου σε πυκνωτή αέρα :

Κύκλωμα LC

εναλλασσόμενη διέγερση Αντίσταση σε εναλλασσόμενη διέγερση Πυκνωτής σε εναλλασσόμενη διέγερση Πηνίο σε εναλλασσόμενη διέγερση

Αντίσταση σε εναλλασσόμενη διέγερση Η τάση και το ρεύμα είναι σε φάση Μέγιστο ρεύμα

Αντίσταση σε εναλλασσόμενη διέγερση Στιγμιαία Ισχύς: Μέση Ισχύς: ΑΠΟΔΕΙΞΗ (βλ. παρακάτω) ενεργός τιμή της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος: ένταση εκείνου του συνεχούς ρεύματος που αν διέρρεε την ίδια αντίσταση θα έδιδε την ίδια ισχύ. Ενεργός τιμή της εναλλασσόμενης τάσης είναι η συνεχής εκείνη τάση που θα προκαλούσε στην ίδια αντίσταση ρεύμα ίσο με την ενεργό ένταση του ρεύματος.

Πηνίο σε εναλλασσόμενη διέγερση C: υπάρχει ένα σταθερό ρεύμα στο κύκλωμα επιπλέον του εναλλασσόμενου. Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν απώλειες αυτό είναι σταθερό και μπορούμε να το αγνοήσουμε Το ρεύμα υστερεί από την τάση κατά π/2 αντίσταση που παρουσιάζει στο εναλλασσόμενο ρεύμα ένα πηνίο Εξαρτάται από την κυκλική συχνότητα (ω) Για συνεχές ρεύμα μηδενίζεται Για μεγάλες συχνότητες η αντίσταση αυξάνεται

Πηνίο σε εναλλασσόμενη διέγερση-2 Το ρεύμα υστερεί από την τάση κατά π/2 αντίσταση που παρουσιάζει στο εναλλασσόμενο ρεύμα ένα πηνίο Εξαρτάται από την κυκλική συχνότητα (ω) Για συνεχές ρεύμα μηδενίζεται Για μεγάλες συχνότητες η αντίσταση αυξάνεται

Πυκνωτής σε εναλλασσόμενη διέγερση Το ρεύμα προηγείται της τάσης

Πυκνωτής σε εναλλασσόμενη διέγερση-2 χωρητική αντίσταση ενός πυκνωτή η αντίσταση που παρουσιάζει στο εναλλασσόμενο ρεύμα ένας πυκνωτής Για μεγάλες συχνότητες : μικρή χωρητική αντίσταση Στο συνεχές ρεύμα η χωρητική αντίσταση απειρίζεται, δηλαδή δεν υπάρχει διέλευση ρεύματος.

Κυκλώματα RLC Χωρίς εξωτερική διέγερση Εξωτερική διέγερση εναλλασσόμενη

Κύκλωμα RLC εν σειρά η ένταση του ρεύματος που το διαρρέει ταλαντώνεται εκτελώντας φθίνουσα ταλάντωση μέχρι τον τελικό μηδενισμό της εκτός και αν το κύκλωμα τροφοδοτείται από μια εξωτερική διεγείρουσα τάση, οπότε η ταλάντωση είναι αμείωτη. τα ταλαντούμενα συστήματα είτε είναι ηλεκτρικά είτε είναι μηχανικά περιγράφονται από τις ίδιες μαθηματικές εξισώσεις

Κύκλωμα RLC χωρίς εξωτερική διέγερση Η λύση εξαρτάται από το πρόσημο της υπόρριζης ποσότητας Κρίσιμη αντίσταση Δηλαδή εξαρτάται από το μέγεθος της απόσβεσης ή αλλιώς των αντιστάσεων

Κύκλωμα RLC χωρίς εξωτερική διέγερση-2 η ταλάντωση του φορτίου άρα και του ρεύματος φθίνει πολύ γρήγορα. Δεν υπάρχει ταλάντωση Υπερκρίσιμη απόσβεση αρχικές συνθήκες (q=q0 και Ι=0)

Κύκλωμα RLC χωρίς εξωτερική διέγερση-3 το σύστημα επιστρέφει στη θέση ισορροπίας του χωρίς να ταλαντώνεται. Η επιστροφή στη θέση ισορροπίας είναι η ταχύτερη δυνατή. Κρίσιμη απόσβεση συνθήκες t=0 q=q0 και Ι=0

Κύκλωμα RLC χωρίς εξωτερική διέγερση-4 Υποκρίσιμη απόσβεση (καμπύλη 3) το φορτίο ταλαντώνεται και το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται εκθετικά. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της αντίστασης τόσο ταχύτερα ελαττώνεται το πλάτος της ταλάντωσης για t=0 q=q0 και το ρεύμα είναι μηδενικό

Κύκλωμα RLC χωρίς εξωτερική διέγερση-4 Υποκρίσιμη απόσβεση (καμπύλη 3) Το φορτίο εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση. Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο

Κύκλωμα RLC χωρίς εξωτερική διέγερση -Συνοπτικά η ταλάντωση του φορτίου άρα και του ρεύματος φθίνει πολύ γρήγορα. Δεν υπάρχει ταλάντωση Υπερκρίσιμη απόσβεση το σύστημα επιστρέφει στη θέση ισορροπίας του χωρίς να ταλαντώνεται. Η επιστροφή στη θέση ισορροπίας είναι η ταχύτερη δυνατή. Κρίσιμη απόσβεση (καμπύλη 2): Υποκρίσιμη απόσβεση (καμπύλη 3) το φορτίο ταλαντώνεται και το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται εκθετικά. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της αντίστασης τόσο ταχύτερα ελαττώνεται το πλάτος της ταλάντωσης το σύστημα των αμορτισέρ πρέπει να πληρεί τη συνθήκη κρίσιμης ή υποκρίσιμης απόσβεσης

Κύκλωμα RLC σε εναλλασσόμενη διέγερση Η τάση και το ρεύμα έχουν την ίδια φάση Αντίσταση: Η τάση προηγείται του ρεύματος Πηνίο: Η τάση έπεται του ρεύματος Πυκνωτής

Κύκλωμα RLC σε εναλλασσόμενη διέγερση-2 Σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος

Κύκλωμα RLC με διέγερση Το ρεύμα παρουσιάζει διαφορά φάσης αντίσταση που παρουσιάζει στο εναλλασσόμενο ρεύμα ένα πηνίο Εξαρτάται από την κυκλική συχνότητα (ω) Για συνεχές ρεύμα μηδενίζεται Για μεγάλες συχνότητες η αντίσταση αυξάνεται η αντίσταση που παρουσιάζει στο εναλλασσόμενο ρεύμα ένας πυκνωτής Η χωρητική αντίσταση ενός πυκνωτή Για μεγάλες συχνότητες : μικρή χωρητική αντίσταση Στο συνεχές ρεύμα η χωρητική αντίσταση απειρίζεται, δηλαδή δεν υπάρχει διέλευση ρεύματος.

Κύκλωμα RLC με διέγερση- Συντονισμός Το πλάτος της έντασης του ρεύματος γίνεται μέγιστο όταν : Κυκλική ιδιοσυχνότητα του συστήματος: Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της: Το πλάτος του ρεύματος γίνεται μέγιστο H φάση μεταξύ ρεύματος και τάσης μηδενίζεται

Ισχύς κυκλώματος R-L-C

Στο συντονισμό ή αν υπάρχει μόνο ωμική αντίσταση είναι φ=0 άρα cosφ=1 Επειδή η ισχύς μεταβάλλεται με το χρόνο, δεν έχει πρακτική σημασία η στιγμιαία τιμή της, αλλά η μέση τιμή της, η οποία ορίζεται ως το πηλίκο του έργου που παράγεται από το ρεύμα μέσα στο χρόνο μιας περιόδου δια της περιόδου το στοιχειώδες έργο dW που παράγεται από το εναλλασσόμενο ρεύμα σε χρόνο dt Η μέση ισχύς που καταναλίσκεται στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα: παράγοντας ισχύος του κυκλώματος Στο συντονισμό ή αν υπάρχει μόνο ωμική αντίσταση είναι φ=0 άρα cosφ=1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ενεργού έντασης ρεύματος Ας θεωρήσουμε ότι στο κύκλωμα υπάρχει μόνο ωμική αντίσταση. Τότε (είναι φ=0 άρα cosφ=1) Σύμφωνα με τον ορισμό της ενεργού έντασης Ιεν, αν η αντίσταση R διαρρεόταν από συνεχές ρεύμα τότε η ισχύς που θα καταναλισκόταν στην αντίσταση θα ήταν ίση με τη μέση ισχύ εφόσον η ένταση του συνεχούς ρεύματος είχε τιμή ίση με την ενεργό ένταση,

Συνδιασμός σύνθετων αντιστάσεων Σε σειρά: Παράλληλα: Πολική μορφή:

Πυκνωτής : Είδαμε ότι η τάση υστερεί του ρεύματος: Ή αλλιώς: όπου: Ή αλλιώς: Πηνίο: Η τάση προηγείται του ρεύματος όπου: Σύνθετη αντίσταση

Έστω πυκνωτής χωρητικότητας C σε σειρα με αυτεπαγωγή και εναλλασσόμενη τάση στα άκρα τους Το πραγματικό μέρος της λύσης:

Έστω πυκνωτής χωρητικότητας C σε σειρα αντίσταση και εναλλασσόμενη τάση στα άκρα τους Πραγματικό μέρος:

Ποιό το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα?

Το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή : Να βρεθεί η συχνότητα για την οποία μηδενίζεται το ρεύμα στην αντίσταση Ποιό είναι το ρεύμα στον πυκνωτή και στο πηνίο για αυτήν την συχνότητα Για να μηδενιστεί το ρεύμα στην αντίσταση πρέπει Το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή : Πραγματικό μέρος