Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 3ο Εξάμηνο Σήματα και Φασματικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Signals and Spectral Methods in Geoinformatics Ακαδημαϊκή Χρονιά: 2014 – 2015 Πρόγραμμα: Τετάρτη 4 – 8 μ.μ. Διδάσκοντες: Α. Δερμάνης, H.N. Τζιαβός, Γ. Βέργος

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Μιγαδικές εκφράσεις – Ασκήσεις Περιοδικά σήματα – Ασκήσεις Φαινόμενο Gibbs Βασική βιβλιογραφία H.P. Hsu (1984): Applied Fourier Analysis M.R. Spiegel (1978): Fourier Analysis

Προσέγγιση σειράς Fourier με περιορισμένο αριθμό όρων σφάλμα στην προσέγγιση της συνάρτησης Μέσο τετραγωνικό σφάλμα Εκ(τ)

μιγαδικές σειρές ή πολυώνυμα ΣΕΙΡΕΣ FOURIER – MIΓΑΔΙΚΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ μιγαδικές συναρτήσεις μιγαδικές σειρές ή πολυώνυμα n-οστός όρος της σειράς χρησιμοποιούνται κυρίως στην «φασματική ανάλυση» σειράς δεδομένων

ΣΕΙΡΕΣ FOURIER – ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ FOURIER

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ FOURIER περιοδική με περίοδο Τ μέτρο – γραμμικό φάσμα φάση

Θεώρημα Parseval cn οι μιγαδικοί συντελεστές της f(t)

Περιοδικά συνεχή σήματα Περιοδικά συνεχή σήματα f(t+T)=f(t) για όλα τα t, Αν η f(t) είναι περιοδική με περίοδο Τ είναι επίσης περιοδική με περίοδο kΤ όπου k κάθε θετικός ακέραιος Η θεμελιώδης συχνότητα είναι η μικρότερη θετική τιμή του t για την οποία ισχύει f(t+T)=f(t) Παράδειγμα

-π/2<θ<0 Περιοδικά συνεχή σήματα Περιοδικά συνεχή σήματα -π/2<θ<0 f(t)=Acos(ωt+θ), περιοδικό με Τ=2π/ω Για θ=-π/2 Acos(ωt+θ)=Αsinωt

Περιοδικά σύνθετα συνεχή σήματα Περιοδικά σύνθετα συνεχή σήματα f1(t) περιοδικό σήμα με περίοδο Τ1 f2(t) περιοδικό σήμα με περίοδο Τ2 Το σήμα f1(t)+f2(t) είναι περιοδικό με περίοδο Τ όταν υπάρχει ένας θετικός αριθμός Τ για τον οποίο για όλα τα t Ισχύει εάν και μόνον εάν ο λόγος Τ1/Τ2 μπορεί να γραφεί ως λόγος q/r δύο ακεραίων q και r Η περίοδος του τελικού σήματος f(t) = f1(t) + f2(t) είναι Τ=rT1 Στο λόγο q/r οι q και r είναι πρώτοι αριθμοί (γίνονται απλοποιήσεις)

Περιοδικά διακριτά σήματα Περιοδικά διακριτά σήματα Ένα διακριτό σήμα x[n] είναι περιοδικό εάν υπάρχει ένας θετικός ακέραιος r τέτοιος ώστε x[n+r] = x[n] για κάθε ακέραιο n r περίοδος Θεμελιώδης περίοδος είναι η μικρότερη τιμή του r για την οποία το σήμα επαναλαμβάνεται x[n] = Acos(ωn + θ) Το σήμα είναι περιοδικό εάν Επειδή η συνάρτηση συνημιτόνου επαναλαμβάνεται κάθε 2π rad, είναι για όλους τους ακέραιους q Το σήμα Αcos(ωn+θ) είναι περιοδικό εάν και μόνον εάν υπάρχει θετικός ακέραιος r τέτοιος ώστε ωr = 2πq για κάποιους ακέραιους q ή ισοδύναμα Η συχνότητα ω είναι τέτοια ώστε ω=2πq/r για κάποιους θετικούς ακέραιους q και r

Περιοδικά διακριτά σήματα Περιοδικά διακριτά σήματα x[n] = Acos(ωn+θ) ω = 1 θ=0 Τ=6 ω = π/3 θ=0

Σχέσεις ορθογωνικότητας Ορισμός Ισχύουν για ημιτονικές και συνημιτονικές σχέσεις Σχέσεις ορθογωνικότητας

Ασκήσεις με περιοδικά σήματα Να βρεθεί η περίοδος της cos(θ+2kπ)=cosθ cos2kπ-sinθ sin2kπ   cos(θ+2kπ)=cosθ για κάθε ακέραιο k cos2kπ=1 sin2kπ=0 Άρα: cos2(t+T) = cos2t cos(2t+2T) = cos2t Και επειδή cos(θ+2kπ) = cosθ 2Τ=2kπ Τ=kπ Για κ=1 έχουμε τη μικρότερη τιμή του π Άρα Τ=π Διαφορετικά: H f(t) είναι περιοδική ω=2 Τ=2π/ω=2π/2=π Τ=π

Ασκήσεις με περιοδικά σήματα Να βρεθεί η περίοδος της f(t)=cos(t/3) + cos(t/4) Ισχύει: cos(θ + 2kπ) = cosθ Άρα: Τ=6kπ=8πn Όταν κ=4, ν=3 έχουμε τη μικρότερη τιμή του Τ Άρα Τ=24π ΓΕΝΙΚΟ ΣΧΟΛΙΟ f(t) = f1(t) + f2(t) T T1 T2

Ασκήσεις με περιοδικά σήματα f1(t) = cos(πt/2) f2(t) = cos(πt/3) f(t)= f1(t) + f2(t) Nα βρεθούν οι περίοδοι Τ, Τ1, Τ2 Λόγος ακεραίων – πρώτοι αριθμοί Το σήμα f(t)= f1(t) + f2(t) είναι περιοδικό Τ = T1 x r = 4 x 3 = 12 Χρησιμοποιήθηκε το τυπολόγιο ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι q, r πρώτοι αριθμοί

Λύση Προσέγγιση σειράς Fourier με περιορισμένο αριθμό όρων - Εφαρμογή με τρεις όρους και να υπολογιστεί το μ.τ.σ. Λύση Είναι: Τ=2π [π-(-π)=2π], ω0=2π/Τ=1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

Προσέγγιση σειράς Fourier με περιορισμένο αριθμό όρων - Εφαρμογή άρτιο περιττό Αντικατάσταση στο:

Προσέγγιση σειράς Fourier με περιορισμένο αριθμό όρων - Εφαρμογή Για το σφάλμα αντικατάσταση στο:

Λύση Σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή – συνάρτηση δειγματοληψίας (1) Να βρεθούν τα γραμμικά φάσματα της συνάρτησης για d=1/20, T=1/4 sec και d=1/20, T=1/2 sec Λύση πραγματικοί συντελεστές Επειδή

Σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή – συνάρτηση δειγματοληψίας (2) γραμμικό φάσμα (α)

Σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή – συνάρτηση δειγματοληψίας (3) (β)

Συνάρτηση δειγματοληψίας Σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή – συνάρτηση δειγματοληψίας (4) Στη γενική περίπτωση Συνάρτηση δειγματοληψίας

Λύση Ασκήσεις με σχέσεις ορθογωνικότητας (1) Ασκήσεις με σχέσεις ορθογωνικότητας (1) Να αποδειχθεί η σχέση ορθογωνικότητας Λύση Ισχύουν: Ισχύει για για

Λύση Ασκήσεις με σχέσεις ορθογωνικότητας (2) Ασκήσεις με σχέσεις ορθογωνικότητας (2) Να αποδειχθεί η σχέση ορθογωνικότητας Λύση Για το ολοκλήρωμα είναι ίσο με μηδέν

Λύση Ασκήσεις με σχέσεις ορθογωνικότητας (3) Ασκήσεις με σχέσεις ορθογωνικότητας (3) Να αποδειχθεί η σχέση ορθογωνικότητας Λύση

Λύση Ασκήσεις με σχέσεις ορθογωνικότητας (4) Ασκήσεις με σχέσεις ορθογωνικότητας (4) Να αποδειχθεί η σχέση ορθογωνικότητας Λύση

X(t)=e-0.1tsin(2/3t) Συνεχή σήματα Κώδικας MATLAB t=0:0.1:30; x=exp(-0.1*t).*sin(2/3*t); axis([0 30 –1 1]); plot(t,x) grid ylabel(‘x(t)’) xlabel(‘Time (sec)’) X(t)=e-0.1tsin(2/3t)

Διακριτά σήματα Κώδικας MATLAB x=[0, 0, 1, 2, 1, 0, -1, 0, 0] n=-2:6; Διακριτά σήματα Κώδικας MATLAB n=-2:6; x=[0 0 1 2 1 0 –1 0 0]; stem(n,x); xlabel(‘n’) ylabel(‘x[n]’) x=[0, 0, 1, 2, 1, 0, -1, 0, 0]

N=3 Αναπαράσταση σήματος με σειρά Fourier -Φαινόμενο Gibbs Σταθερός όρος και πρώτη, τρίτη αρμονική Το μέγεθος του κυματισμού αβεβαιότητας 9% του σήματος N=3

N=9 Αναπαράσταση σήματος με σειρά Fourier -Φαινόμενο Gibbs Σταθερός όρος και πρώτη, τρίτη, πέμπτη, έβδομη και ένατη αρμονική Το μέγεθος του κυματισμού-αβεβαιότητας 9% του σήματος (παραμένει) N=9

N=21 Αναπαράσταση σήματος με σειρά Fourier -Φαινόμενο Gibbs Σταθερός όρος και 1η, 3η, 5η, 7η, 9η, 11η,………., 21η αρμονική Το μέγεθος του κυματισμού αβεβαιότητας 9% του σήματος (παραμένει) N=21

N=45 Αναπαράσταση σήματος με σειρά Fourier -Φαινόμενο Gibbs Σταθερός όρος και 1η, 3η, 5η, 7η, 9η, 11η, 13η, 15η, 17η,………., 45η αρμονική Το μέγεθος του κυματισμού αβεβαιότητας 9% του σήματος (παραμένει) και θα παραμένει ακόμη και αν k άπειρο N=45

Η αναπαράσταση Fourier μιας συνάρτησης – σήματος Αναπαράσταση σήματος με σειρά Fourier -Φαινόμενο Gibbs Η αναπαράσταση Fourier μιας συνάρτησης – σήματος δεν είναι πάντοτε ίση με την αληθή τιμή του σήματος στα σημεία εκείνα που η συνάρτηση παρουσιάζει ασυνέχειες Εάν ασυνεχής στο τότε η αναπαράσταση Fourier δεν είναι ακριβής κατά στα σημεία