ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΕ ΤΥΧΟΥΣΑ ΔΙΕΓΕΡΣΗ – ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ DUHAMEL Πέρα από την αρμονική διέγερση υπάρχουν και άλλες περιπτώσεις διεγέρσεων οι οποίες έχουν σχετικά απλή μορφή και οι ταλαντώσεις που προκαλούν μπορούν να περιγραφούν με συγκεκριμένες μαθηματικές εκφράσεις. Υπάρχουν όμως πολλές περιπτώσεις κατά τις οποίες η διέγερση εμφανίζει εξαιρετικά πολύπλοκη μορφή ανεμο-φορτία, κυματο-φορτία σεισμικά φορτία η οποία δεν μπορεί να περιγραφεί με αναλυτική μαθηματική σχέση.

Η περιγραφή τους μπορεί να γίνει μόνο σε ψηφιακή μορφή κάνοντας χρήση καταγραφών προηγούμενων συμβάντων. Για την αντιμετώπιση αυτών των προβλημάτων, είναι αναγκαίο να διατυπωθεί μια μεθοδολογία επίλυσης της δυναμικής απόκρισης φορέων, η οποία να έχει ΓΕΝΙΚΗ εφαρμογή (ανεξάρτητα από τη μορφή διέγερσης). Αυτή η μεθοδολογία στηρίζεται στην απόκριση μονοβάθμιου ταλαντωτή σε μοναδιαίο ορθογωνικό πλήγμα, η οποία προσδιορίζεται από το ολοκλήρωμα του Duhamel.

Καταναγκασμένη ταλάντωση μοναδιαίου πλήγματος Έστω ότι ο φορέας του σχήματος υπόκειται την χρονική στιγμή t = τ, στη δράση πλήγματος απειροστής διάρκειας ε και μοναδιαίου εμβαδού. m Ι u(t)) c f(t) f t 1/ε τ ε Λόγω της ακαριαίας δράσης του πλήγματος δεν προλαβαίνουν να ενεργοποιηθούν οι δυνάμεις επαναφοράς και απόσβεσης κατά την δράση του πλήγματος. Αυτό σημαίνει ότι η απόκριση περιλαμβάνει μία φάση ελεύθερης ταλάντωσης με αρχικές συνθήκες u(τ) = 0, u’(τ) = 1/m, (αρχή της διατήρησης της ορμής).

u(t) = h(t-τ) = e--ξω(t-τ) sin[ωd(t-τ)] 1/m τ Προφανώς κάθε πλήγμα με χρόνο εμφάνισης τ, διαμορφώνει την απόκριση σε μεταγενέστερο χρόνο (t  τ). Λόγω της απόσβεσης, η επίδραση του πλήγματος εξασθενεί όσο απομακρυνόμαστε από την δράση του.

Καταναγκασμένη ταλάντωση σε διέγερση τυχούσας μορφής Σε περιπτώσεις μη μοναδιαίου πλήγματος, η απόκριση του συστήματος είναι αυτή που προκύπτει από την εφαρμογή της προηγούμενης σχέσης, πολλαπλασιασμένης επί το εμβαδόν του υπόψη πλήγματος. Συνεπώς, η δράση μοναδιαίου πλήγματος μπορεί να αποτελέσει την βάση μελέτης πιο σύνθετων μορφών διέγερσης εάν θεωρηθούν ότι συντίθενται από διαδοχικά (μη-μοναδιαία) πλήγματα. Το άθροισμα της επίδρασης όλων των πληγμάτων, συνθέτει την συνολική απόκριση του συστήματος στην τυχούσα φόρτιση.

Στο όριο, για απειροστή διάρκεια δράσης κάθε πλήγματος, το άθροισμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα και η απόκριση προκύπτει ως: u(t) = = f(τ) e-ξωο(t-τ) sin[ωd(t-τ)]dτ Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως ολοκλήρωμα του Duhamel και παρέχει την δυνατότητα υπολογισμού της απόκρισης μονοβάθμιου ταλαντωτή σε τυχούσα διέγερση (προσδιορισμένης είτε αναλυτικά είτε ψηφιακά).

ΦΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ Σε πολλές εφαρμογές της δυναμικής των κατασκευών – ιδιαίτερα σε περιπτώσεις περιβαλλοντικών διεγέρσεων – η διέγερση είναι πολύπλοκη, ραγδαία μεταβαλλόμενη και διαθέσιμη μόνο σε ψηφιακή μορφή. Κατά συνέπεια, δεν είναι δυνατός ο προσδιορισμός της απόκρισης των φορέων με την εφαρμογή αναλυτικών λύσεων και καλείται να καταφύγει σε αριθμητικές μεθόδους υπολογισμού Επιπλέον, για να αντιμετωπισθεί η τυχαιότητα και το απρόβλεπτο του συμβάντος, ο μελετητής μηχανικός καλείται να εξασφαλίσει έναν αριθμό ‘αντιπροσωπευτικών’ ψηφιακών καταγραφών της υπό μελέτη διέγερσης και να προχωρήσει σε επαναληπτική εφαρμογή της μεθοδολογίας.

Είναι προφανές ότι για εφαρμογές ρουτίνας, η όλη διαδικασία αποτελεί ένα σύνθετο εγχείρημα με υψηλό υπολογιστικό κόστος, ιδιαίτερα στη φάση προκαταρκτικών μελετών όπου απαιτείται συχνή επανάληψη της ανάλυσης για διάφορα σενάρια διέγερσης ή/και φορέα. Έστω, για παράδειγμα, ότι μας ενδιαφέρει η εκτίμηση της σεισμικής συμπεριφοράς κατασκευής η οποία πρόκειται να κατασκευαστεί στην περιοχή των Σεπολίων της Αθήνας. Προς τον σκοπό αυτό επιλέγουμε, ως αντιπροσωπευτική, την χρήση της καταγραφής της εδαφικής επιτάχυνσης στην περιοχή αυτή κατά τον σεισμό της 7ης Σεπτεμβρίου 1999. Ενδεικτικά, μία οριζόντια της καταγραφής παρουσιάζεται στο σχήμα που ακολουθεί.

Οριζόντια συνιστώσα εδαφικής επιτάχυνσης του σεισμού της 7/9/1999 (ΙΤΣΑΚ, καταγραφικός σταθμός Σεπολίων).

m u’’(t) + c u’(t) + k u(t) = - m ag(t) = fg(t) Με την προϋπόθεση ότι ο φορέας μπορεί να θεωρηθεί ως μονοβάθμιος ταλαντωτής, η εξίσωση δυναμικής ισορροπίας δίνεται από την εξίσωση (2.15), ως m u’’(t) + c u’(t) + k u(t) = - m ag(t) = fg(t) Εφαρμόζοντας το ολοκλήρωμα του Duhamel για το σεισμικό φορτίο fg προκύπτει: y(t) = = ag(τ) e-ξωο(t-τ) sin[ωd(t-τ)]dτ Με δεδομένη την εδαφική επιτάχυνση ag(t), η λύση εξαρτάται από το ποσοστό κρίσιμης απόσβεσης ξ και την ιδιοσυχνότητα ωο (ή την ιδιοπερίοδο Το = 2π/ωο) του ταλαντωτή.

Έτσι, για έναν μονοβάθμιο ταλαντωτή με ξ = 5% και ιδιοπερίοδο Το = 0 Έτσι, για έναν μονοβάθμιο ταλαντωτή με ξ = 5% και ιδιοπερίοδο Το = 0.5 s (ωο = 12.57 rad/s) η απόκριση υπολογίσθηκε αριθμητικά και παρουσιάζεται στο Σχήμα. Λαμβάνοντας υπόψη ότι τα επιταχυνσιογράμματα υπόκεινται σε πυκνή ψηφιοποίηση (συνήθως ανά 0.01 s), τα αρχεία αποτελεσμάτων που προκύπτουν περιέχουν δεκάδες χιλιάδες σημεία.

Η διαχείριση και επεξεργασία τους διευκολύνεται από το γεγονός ότι από άποψη απαιτήσεων σχεδιασμού το ενδιαφέρον του μελετητή εστιάζεται στις μέγιστες τιμές (τιμές αιχμής), οι οποίες κυρίως προσδιορίζουν τις ροπές και τέμνουσες σχεδιασμού. Κατά συνέπεια, από κάθε επίλυση θα μπορούσαν να αποθηκευτούν μόνον οι τιμές αιχμής. και όχι στο σύνολο των τιμών της χρονοϊστορίας απόκρισης του φορέα. Πρέπει να σημειωθεί ότι κατά τη διάρκεια των υπολογισμών, πέραν της μετατόπισης u(t), μπορούν εύκολα να αποθηκευτούν και πρόσθετες παραμέτροι απόκρισης (όπως ταχύτητα u’(t) και επιτάχυνση u’’(t)).