Ανάλυση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου: ΚΕΣ 01 – Αυτόματος Έλεγχος Ανάλυση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου: Γεωμετρικός Τόπος Ριζών

Βιβλιογραφία Ενότητας  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [2004]: Κεφάλαιο 7 Παρασκευόπουλος [2005]: Εφαρμογές, Κεφάλαιο 7 DiStefano [1995]: Chapters 13 Tewari [2005]: Chapter 2: Section 2.9

 Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Εισαγωγή Ένα από τα βασικά ζητήματα της σχεδίασης Σ.Α.Ε είναι η τοποθέτηση των πόλων του συστήματος σε νέες επιθυμητές θέσεις. Η γενική διάταξη που χρησιμοποιείται για το σκοπό αυτό φαίνεται στο επόμενο σχήμα Η συνάρτηση F(s), η οποία συνήθως ονομάζεται ελεγκτής ανατροφοδότησης, χρησιμοποιείται για την εισαγωγή νέων πόλων και μηδενικών στο σύστημα Η σταθερά ενίσχυσης Κ (η οποία συνήθως ονομάζεται αντισταθμιστής) χρησιμοποιείται για την μετατόπιση των υφιστάμενων πόλων του συστήματος σε νέες θέσεις καθώς και για τη ρύθμιση του σφάλματος στη μόνιμη κατάσταση. Σε αρκετές περιπτώσεις η εισαγωγή μοναδιαίας ανάδρασης (F(s)=1) και ο αντισταθμιστής K είναι αρκετή για τη δημιουργία της επιθυμητής συμπεριφοράς του συστήματος. Η μελέτη της μεταβολής της θέσεως των πόλων του κλειστού συστήματος καθώς μεταβάλλεται το Κ είναι το αντικείμενο του Γεωμετρικού Τόπου Ριζών

 Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Παράδειγμα Το αριστερό διάγραμμα μας δίνει τη θέση των πόλων του κλειστού συστήματος του σχήματος ως μεταβολή της τιμής του Κ. Με μπλε χρώμα είναι η κίνηση του ενός πόλου και με πράσινο η κίνηση του δεύτερου πόλου

Ορισμός Γεωμετρικού Τόπου Ριζών  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Ορισμός Γεωμετρικού Τόπου Ριζών Έστω το κλειστό σύστημα του σχήματος: Ως γνωστό το κλειστό σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς: και η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: ή η οποία μπορεί να γραφεί και ως Έστω ότι η συνάρτηση μεταφοράς βρόχου ΚG(s)F(s) είναι ρητή συνάρτηση και έχει τη μορφή:

Ορισμός Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (ΙΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Ορισμός Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (ΙΙ) Η χαρακτηριστική εξίσωση τότε παίρνει τη μορφή: Ο Γεωμετρικός Τόπος Ριζών (Γ.Τ.Ρ) του κλειστού συστήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων s που ικανοποιούν τη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος (δηλαδή τις δύο παραπάνω εξισώσεις) για Κ(0,∞)

Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών Θεώρημα 1: Τα σημεία του Γ.Τ.Ρ για Κ=0 είναι οι πόλοι της G(s)F(s). Τα σημεία αυτά ονομάζονται σημεία εκκίνησης του Γ.Τ.Ρ

Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (II)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (II) Θεώρημα 2: Τα σημεία του Γ.Τ.Ρ για Κ->∞ είναι τα μηδενικά της G(s)F(s). Τα σημεία αυτά ονομάζονται σημεία λήξης του Γ.Τ.Ρ. Όταν ο αριθμός m των μηδενικών της G(s)F(s) είναι μικρότερος από τον αριθμό των πόλων n υπάρχουν n-m σημεία λήξης που αντιστοιχούν στο άπειρο (∞)

Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (IIΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (IIΙ) Θεώρημα 3: Ο αριθμός των διακεκριμένων κλάδων (τόπων) είναι ίσος με max(n,m) όπου m και n είναι ο αριθμός των μηδενικών και πόλων της G(s)F(s).

Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (IV)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (IV) Θεώρημα 4: Ο Γ.Τ.Ρ για είναι συμμετρικός ως προς τον άξονα των πραγματικών αριθμών (Re(s)) Άσκηση: Να βρεθεί με τη βοήθεια του διαγράμματος του Γ.Τ.Ρ η ελάχιστη τιμή του K για την οποία το κλειστό σύστημα του σχήματος είναι ευσταθές.

Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (V)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (V) Θεώρημα 5: Για μεγάλες τιμές του s o Γ.Τ.Ρ για πλησιάζει ασυμπτωτικά τις ευθείες γραμμές που έχουν γωνίες: όπου n είναι ο αριθμός των πόλων και m ο αριθμός των μηδενικών της G(s)F(s)

Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (VΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (VΙ) Θεώρημα 6: Οι |n-m| ασύμπτωτες του Γ.Τ.Ρ τέμνονται στον άξονα των πραγματικών αριθμών και συγκεκριμένα στο σημείο:

Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (VΙΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (VΙΙ) Θεώρημα 7: Ένα τμήμα του άξονα των πραγματικών αριθμών μπορεί να ανήκει στο Γ.Τ.Ρ αν ο αριθμός των πόλων ή μηδενικών της G(s)F(s) που βρίσκονται στα δεξιά του τμήματος είναι περιττός

Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (VΙΙΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (VΙΙΙ) Θεώρημα 8: Οι ρίζες τις εξίσωσης οι οποίες είναι και ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: για κάποια τιμή του Κ, αποτελούν σημεία θλάσης του Γ.Τ.Ρ

Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (ΙX)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Θεωρήματα Γεωμετρικού Τόπου Ριζών (ΙX) Θεώρημα 9: Η γωνία που σχηματίζει ο Γ.Τ.Ρ στους πόλους της G(s)F(s) (γωνία εκκίνησης) δίνεται από τη σχέση: όπου θ(pq) η γωνία που σχηματίζει ο Γ.Τ.Ρ στο πόλο pq και pi, zi είναι οι πόλοι και τα μηδενικά της G(s)F(s) αντίστοιχα. Η γωνία που σχηματίζει ο Γ.Τ.Ρ στα μηδενικά της G(s)F(s) (γωνία άφιξης) δίνεται από τη σχέση: όπου θ(zq) η γωνία που σχηματίζει ο Γ.Τ.Ρ στο μηδενικό zq

Γωνίες άφιξης και γωνίες εκκίνησης  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Γωνίες άφιξης και γωνίες εκκίνησης

 Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Παράδειγμα Για το κλειστό σύστημα του σχήματος να υπολογίσετε τις γωνίες εκκίνησης και άφιξης του Γ.Τ.Ρ Επαληθεύστε τις απαντήσεις με τη βοήθεια του διαγράμματος του Γ.Τ.Ρ που δίνεται στο διπλανό σχήμα (γωνίες εκκίνησης = π, 0, π, γωνίες άφιξης = 109ο, -109ο)

 Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Παράδειγμα (ΙΙ) Για το κλειστό σύστημα του σχήματος να υπολογίσετε τις γωνίες εκκίνησης και άφιξης του Γ.Τ.Ρ Επαληθεύστε τις απαντήσεις με τη βοήθεια του διαγράμματος του Γ.Τ.Ρ που δίνεται στο διπλανό σχήμα (γωνίες εκκίνησης = π, -30, 30, γωνίες άφιξης = 45, -45)

 Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Παράδειγμα (ΙΙΙ) Για το κλειστό σύστημα του σχήματος να υπολογίσετε τις γωνίες εκκίνησης και άφιξης του Γ.Τ.Ρ (γωνίες εκκίνησης = π, 30, -30, γωνίες άφιξης = -45, 45) Με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ να υπολογίσετε μια κατάλληλη τιμή για το K ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές (Λύση: Κ>3).

Προσδιορισμός ριζών με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Προσδιορισμός ριζών με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ Η κατασκευή του Γ.Τ.Ρ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση των ριζών ενός πολυωνύμου ανώτερης τάξης p(s): Βρίσκουμε μια μορφή 1+KG(s)F(s) για την οποία το χαρακτηριστικό πολυώνυμο να του κλειστού συστήματος να είναι ίσο με το p(s) για κάποια τιμή του Κ. Υπολογίζουμε από το Γ.Τ.Ρ τις θέσεις των πόλων του κλειστού συστήματος για τη συγκεκριμένη τιμή του Κ. Παράδειγμα: Να βρεθούν οι ρίζες του πολυωνύμου με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ Λύση: Το κλειστό σύστημα με έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο το p(s) για Κ=2. Σχηματίζουμε το Γ.Τ.Ρ για το παραπάνω κλειστό σύστημα και βρίσκουμε τις θέσεις των πόλων για Κ=2 (βλέπε σχήμα επόμενης διαφάνειας)

Προσδιορισμός ριζών με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ (ΙΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Προσδιορισμός ριζών με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ (ΙΙ) Από το διάγραμμα του Γ.Τ.Ρ του σχήματος προκύπτει ότι οι ρίζες του είναι (προσεγγιστικά) οι p1 = -3.29, p2=-0.363+0.691, p3=-0.363-0.691,

Επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστημα  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστημα Η απλούστερη μορφή ενός κλειστού συστήματος περιλαμβάνει μοναδιαία ανατροφοδότηση και τον αντισταθμιστή K όπως φαίνεται στο σχήμα: Πολλές φορές η παραπάνω μορφή δεν είναι αρκετή για να προσδώσει στο κλειστό σύστημα την επιθυμητή συμπεριφορά και χρησιμοποιείται η συνάρτηση ανατροφοδότησης F(s) για την εισαγωγή επιπλέον πόλων ή μηδενικών στο σύστημα. Στη συνέχεια εξετάζουμε την επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστημα.

Επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστημα (ΙΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστημα (ΙΙ) Στα παρακάτω σχήματα φαίνονται οι Γ.Τ.Ρ των αντίστοιχων κλειστών συστημάτων:

Επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστημα (ΙΙΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστημα (ΙΙΙ) Από τα προηγούμενα και επόμενα σχήματα προκύπτει ότι η εισαγωγή πόλων στο κλειστό σύστημα απλά μετακινεί το Γ.Τ.Ρ προς τα δεξιά και καθιστά το σύστημα λιγότερο ευσταθές.

Επίδραση εισαγωγής μηδενικών  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Επίδραση εισαγωγής μηδενικών Σε γενικές γραμμές η εισαγωγή μηδενικών στο κλειστό σύστημα μετακινεί το Γ.Τ.Ρ προς τα αριστερά καθιστώντας το σύστημα περισσότερο ευσταθές όπως φαίνεται από τα επόμενα παραδείγματα.

Επίδραση εισαγωγής μηδενικών (ΙΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Επίδραση εισαγωγής μηδενικών (ΙΙ)

Επίδραση εισαγωγής μηδενικών (ΙΙΙ)  Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Επίδραση εισαγωγής μηδενικών (ΙΙΙ) Από το διάγραμμα του Γ.Τ.Ρ του σχήματος παρατηρούμε ότι με την εισαγωγή δύο συζυγών μηδενικών στο κλειστό σύστημα επιτυγχάνουμε ευστάθεια (για Κ>4)

 Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Παράδειγμα Ι Να κατασκευάσετε το Γ.Τ.Ρ για το κλειστό σύστημα του σχήματος και να προσδιορίσετε το διάστημα διακύμανσης του K ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές.

 Εισαγωγή  Ορισμός Γ.Τ.Ρ  Θεωρήματα Γ.Τ.Ρ  Προσδιορισμός Ριζών  Επίδραση Εισαγωγής Πόλων  Επίδραση Εισαγωγής Μηδενικών  Παραδείγματα Παράδειγμα ΙI Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήματος να κατασκευάσετε το Γ.Τ.Ρ και να προσδιορίσετε το διάστημα διακύμανσης του K ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές (Απ. 0.5<Κ<2)