Λύσεις Τελικής Εξέτασης

Θέμα 1ο Σχολιάσετε εάν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής ή ψευδής: Το σύνολο {Ø} δεν είναι υποσύνολο του {{Ø}}, αν και είναι στοιχείο του συνόλου {{Ø}}.

Θέμα 1ο - Λύση Ορισμός: Δεδομένων δύο συνόλων P και Q το P είναι υποσύνολο του Q εάν κάθε στοιχείο του P είναι και στοιχείο του Q. Συνεπώς το {Æ} δεν είναι υποσύνολο του συνόλου {{Æ}} .  

Θέμα 1ο – Λύση (συνέχεια) Ορισμός: Το a ονομάζεται στοιχείο του συνόλου S αν a Î S. Συνεπώς το {Æ} είναι στοιχείο του συνόλου {{Æ}}. Άρα η πρόταση είναι σωστή

Θέμα 2ο Α) Οι παρακάτω προτάσεις ισχύουν? Πρόταση: Για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο, n, με n>1 1 + 1/√2 + 1//√3 + ... + 1/√n > √n   Β) Για κάθε φυσικό αριθμό ν≥8, υπάρχουν φυσικοί αριθμοί α και β ώστε ν=3*α+5*β. Γ) Για την κάθε μία από αυτές, αποδείξετε την με μαθηματική απόδειξη ή παρουσιάσετε αντιπαράδειγμα.

Θέμα 2ο – Λύση (συνέχεια) Α)Βάση της επαγωγής: Για n=2, έχουμε Άρα ισχύει για n=2. Επαγωγικό βήμα: Υποθέτουμε ότι ισχύει για n = k-1

Θέμα 2ο – Λύση (συνέχεια) Αρκεί να δείξω ότι ισχύει για n = k, Άρα:

Θέμα 2ο – Λύση (συνέχεια) , Θέμα 2ο – Λύση (συνέχεια) Βάση της υπόθεσης: για ν=8 Επαγωγικό βήμα: έστω ότι ισχύει για Αρκεί να δείξω ότι ισχύει για κ+1. , άρα ισχύει για κ+1.

Θέμα 2ο – Λύση (συνέχεια) Γ) Άρα ισχύει

Θέμα 3ο Έστω ότι το q συμβολίζει την πρόταση «η ύλη του ΗΥ118 γίνεται κατανοητή με τις διαλέξεις», το r συμβολίζει την πρόταση «οι ασκήσεις της συνδυαστικής είναι δύσκολες», και ότι το p συμβολίζει την πρόταση «το μάθημα έχει ενδιαφέρον».  

Θέμα 3ο (συνέχεια) Γράψτε την παρακάτω πρόταση σε συμβολική μορφή: Εάν οι διαλέξεις του ΗΥ118 δεν είναι κατανοητές και οι ασκήσεις της συνδυαστικής δεν είναι δύσκολες, τότε το μάθημα δεν έχει ενδιαφέρον!  

Θέμα 3ο – Λύση

Θέμα 4ο Έστω ότι το p συμβολίζει την πρόταση «γίνεται το φεστιβάλ κινηματογράφου», το q συμβολίζει την πρόταση «θα παιχτεί το Φαννυ και Αλεξαντερ», και το r συμβολίζει την πρόταση «Θα πάω στο φεστιβάλ»

Θέμα 4ο (συνέχεια) Γράψτε τις παρακάτω προτάσεις σε συμβολική μορφή. (α) Έχει φεστιβάλ κινηματογράφου και θα παιχτεί το Φαννυ και Αλεξαντερ (β) Εάν θα παιχτεί το Φαννυ και Αλεξάντερ, τότε θα πάω στο φεστιβάλ (γ) Το ότι γίνεται φεστιβάλ κινηματογράφου, σημαίνει οτι θα παιχτεί το Φάννυ και Αλεξάντερ και αντιστρόφως.

Θέμα 4ο - Λύση i) ii) iii)

Θέμα 5ο Στο μετροπολιτικό μουσείο της Νέας Υόρκης ετοιμάζεται μία τεράστια νέα gallery αφιερωμένη στην ελληνική τέχνη! Σε αυτήν περιλαμβάνονται συνολικά 100 εκθέματα του μινωικού, 135 εκθέματα του κυκλαδίτικου, 150 εκθέματα μυκηναϊκού πολιτισμού και 200 εκθέματα του 5ου αιώνα. Το κάθε έκθεμα θεωρείται διακριτό και έχει έναν αριθμό που το διαφοροποιεί από τα υπόλοιπα.

Θέμα 5ο (συνέχεια) Μπορούν να αφιερωθούν τα παρακάτω τέσσερα δωμάτια του μουσείου για την παρουσίαση των εκθεμάτων αυτών. Το κόκκινο δωμάτιο, το μώβ δωμάτιο, το μπλέ δωμάτιο και το πράσινο δωμάτιο. Στο κάθε δωμάτιο υπάρχει χωρητικότητα για όλα συνολικά τα εκθέματα της έκθεσης και μπορούν να τοποθετηθούν βιτρίνες με αριθμημένες θέσεις ώστε να τοποθετηθούν αποκλειστικά αυτά που θα καθορίσει η επιμελήτρια της έκθεσης

Θέμα 5ο (συνέχεια) Η επιμελήτρια της έκθεσης θεωρεί οτι μια διάταξη της έκθεσης ορίζεται ως η σειρά δίαταξης των αντικειμένων στο κάθε ένα συγκεκριμένο δωμάτιο της gallery, σύμφωνα με την αρίθμηση της βιτρίνας. Α) Πόσα διαφορετικές διατάξεις της έκθεσης μπορούν να γίνουν, εάν όλα τα εκθέμετα της κάθε περιόδου πρέπει αυστηρά να είναι στο ίδιο δωμάτιο και να μην βρίσκονται στο ίδιο δωμάτιο εκθέματα διαφορετικών περιόδων?

Θέμα 5ο (συνέχεια) Β) Εάν αποφασιστεί όλα τα εκθέματα να τοποθετηθούν σε ένα μόνο από τα τέσσερα δωμάτια, πόσες διαφορετικές διατάξεις μπορούν να γίνουν? Γ) Εάν χρησιμοποιηθούν δύο δωμάτια, στο ένα να τοποθετηθούν όλα τα εκθέματα του μινωικού πολιτισμού (και μόνο αυτά), και στο άλλο, όλα τα υπόλοιπα, πόσες διαφορετικές επιλογές υπάρχουν? Πώς αλλάζει το αποτέλεσμα, εάν το δωμάτιο για τον μινωικό πολιτισμό πρέπει να είναι το μπλέ δωμάτιο?

Θέμα 5ο (συνέχεια) Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις, εάν αποφασιστεί η τοποθέτηση Ν εκθεμάτων σε ένα δωμάτιο, τότε τοποθετούνται αυστηρά Ν αριθμημένες θέσεις στην βιτρίνα για τα εκθέματα.

Θέμα 5ο – Λύση Α) Τα εκθέματα του μινωικού πολιτισμού μπορούν να τοποθετηθούν σε κάποιο (οποιοδήποτε) από τα δωμάτια με 100! τρόπους. Αντίστοιχα τα κυκλαδίτικα, μυκηναϊκά και τα εκθέματα του 5ου αιώνα μπορούν να τοποθετηθούν σε κάποιο (οποιοδήποτε δωμάτιο) με 135!, 150! και 200! τρόπους.

Θέμα 5ο – Λύση (συνέχεια) Λαμβάνοντας υπόψη και τους τρόπους με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν οι κατηγορίες εκθεμάτων στα δωμάτια (4!) προκύπτει ότι το σύνολο των διαφορετικών διατάξεων είναι: 4! * 100! * 135! * 150! * 200!

Θέμα 5ο – Λύση (συνέχεια) Β) Ουσιαστικά, τώρα δεν ενδιαφέρουν οι κατηγορίες αλλά το σύνολο των εκθεμάτων. Επίσης λαμβάνοντας υπόψη την επιλογή ενός εκ των τεσσάρων δωματίων για την τοποθέτηση των εκθεμάτων, προκύπτει: 4 * (100 + 135 + 150 + 200)!

Θέμα 5ο – Λύση (συνέχεια) Γ) 1) Οι πιθανοί τρόποι διάταξης των 100 μινωικών εκθεμάτων σε μία εκ των τεσσάρων αιθουσών είναι 4 * 100!   Οι διαθέσιμες αίθουσες πλέον είναι τρεις και τα υπόλοιπα εκθέματα πρέπει να τοποθετηθούν σε μία εξ αυτών. Ακολουθώντας τον συλλογισμό του ερωτήματος Β), οι πιθανοί τρόποι διάταξης των υπόλοιπων εκθεμάτων θα είναι 3 * (135 + 150 + 200)!

Θέμα 5ο – Λύση (συνέχεια) Άρα οι συνολικοί τρόποι διάταξης όλων των εκθεμάτων: 4 * 100! * 3 * (135 + 150 + 200)!

Θέμα 5ο – Λύση (συνέχεια) Γ.2) Στην ουσία το μόνο που αλλάζει σε σχέση με το ερώτημα 1) είναι το γεγονός ότι τα μινωικά εκθέματα θα τοποθετηθούν σε ένα συγκεκριμένο δωμάτιο, κάτι το οποίο συνεπάγεται ότι οι δυνατές επιλογές δωματίων για τα μινωικά εκθέματα δεν είναι πλέον 4 αλλά 1. Έτσι προκύπτει ότι οι συνολικοί τρόποι διάταξης όλων των εκθεμάτων είναι 100! * 3 * (135 + 150 + 200)!

Θέμα 6ο Πόσα διαφορετικά ελληνικά «επίθετα» μπορούν να δημιουργηθούν που να περιλαμβάνουν ακριβώς 11 χαραχτήρες και να καταλήγουν σε «ακι» ή/και να αρχίζουν από «παπα». Δεν υπάρχουν άλλοι γραμματικοί κανόνες για τη διάταξη των γραμμάτων. Δεν υπάρχουν τόνοι. Πόσα από αυτά είναι παλίνδρομα ? Τα επίθετα αυτά δεν ειναι ανάγκη να έχουν νόημα.

Θέμα 6ο – Λύση 1) Δεσμεύοντας τις τρεις τελευταίες θέσεις για την κατάληξη –ακι προκύπτει ότι το πλήθος των λέξεων είναι 248 Δεσμεύοντας τις τέσσερις πρώτες θέσεις για το πρόθεμα παπα- προκύπτει ότι το πλήθος των λέξεων είναι 247

Θέμα 6ο – Λύση (συνέχεια) Δεσμεύοντας τις τρεις τελευταίες θέσεις για την κατάληξη –ακι και τις τέσσερις πρώτες θέσεις για το πρόθεμα παπα- προκύπτει ότι το πλήθος των λέξεων είναι 244 Άρα το πλήθος των λέξεων που περιλαμβάνουν ακριβώς 11 χαραχτήρες και καταλήγουν σε «ακι» ή/και να αρχίζουν από «παπα» είναι 248 + 247 - 244

Θέμα 6ο – Λύση (συνέχεια) 2) Μια παλίνδρομη λέξη που αρχίζει από παπα- θα πρέπει να τελειώνει σε –απαπ. Δηλαδή οι δεσμευμένες θέσεις είναι 8. Δεδομένου ότι η ζητούμενες λέξεις έχουν μήκος 11 γραμμάτων, υπολείπονται τρία γράμματα (στο μέσο της λέξης) τα οποία θα πρέπει επίσης να είναι παλίνδρομα. Για να γίνει αυτό θα πρέπει το πρώτο και τρίτο γράμμα να είναι ίδια.

Θέμα 6ο – Λύση (συνέχεια) Δηλαδή δεσμεύουμε ακόμη μία θέση, αυτή του τρίτου γράμματος στην μέση της λέξης, Έτσι οι παλίνδρομες λέξεις που αρχίζουν από παπα- θα είναι 242 Αντίστοιχα οι παλίνδρομες λέξεις που καταλήγουν σε –ακι θα είναι 243 Δηλαδή το σύνολο των ζητούμενων παλίνδρομων λέξεων θα είναι 242 + 243  

Θέμα 7 Σ’ ένα διαγώνισμα υπάρχουν 15 ερωτήσεις που επιδέχονται απαντήσεις του τύπου ‘αληθής’ ή ‘ψευδής’. Οι φοιτητές πρέπει πρώτα να επιλέξουν ακριβώς 5 από τις 15 αυτές ερωτήσεις στις οποίες τελικά θα απαντήσει. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να απαντήσει το διαγώνισμα ένας φοιτητής;

Θέμα 7ο – Λύση Οι τρόποι επιλογής 5 ερωτήσεων από τις 15 είναι Κάθε μία εκ των 5 ερωτήσεων έχει δύο πιθανούς τρόπους απάντησης (αληθής ή ψευδής). Δηλαδή 25   Άρα συνολικοί τρόποι απάντησης στο διαγώνισμα:   25

Θέμα 8ο Ένα δυαδικό δέντρο ορίζεται ως ένας μη-κατευθυνόμενος γράφος G=(V,E) που κατασκευάζεται με το εξής τρόπο: Το σύνολο V είναι το κενό (κενό δέντρο), ή Το σύνολο V αποτελείται από τρία ακριβώς σύνολα που δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο και V=V1 U V2 U V3. Το «U» είναι το σύμβολο της ένωσης. Συγκεκριμένα, το πρώτο σύνολο V1 έχει ένα μόνο στοιχείο, την κορυφή του δέντρου,

Θέμα 8ο – (συνέχεια) το δεύτερο σύνολο V2 αντιστοιχεί στο αριστερό δυαδικό υποδέντρο, και το τρίτο σύνολο V3 αντιστοιχεί στο δεξιό δυαδικό υποδέντρο. Εάν το V3 δεν είναι κενό, τότε υπάρχει μία ακμή που να ενώνει το στοιχείο του V1 με την κορυφή του δεξιού υποδέντρου. Εάν το V2 δεν είναι κενό, τότε υπάρχει μία ακμή που να ενώνει το στοιχείο του V1 με την κορυφή του αριστερού υποδέντρου.

Θέμα 8ο – (συνέχεια) Το βάθος μιας κορυφής χ του V ορίζεται ως το μήκος του μονοπατιού από την κορυφή του δέντρου στην κορυφή αυτήν χ. Το ύψος ενός δέντρου είναι το μεγαλύτερο βάθος, δεδομένων όλων των κορυφών του V. Χρησιμοποιώντας επαγωγή αποδείξετε ότι εάν το πλήθος των κορυφών του δυαδικού δέντρου είναι n, τότε το ύψος του δέντρου είναι τουλάχιστον ίσο με τον ακέραιο που είναι πλησιέστερος στον log (n).

Θέμα 8ο – Λύση Το ελάχιστο ύψος δένδρου θα πρέπει να αναζητηθεί σε ένα ισορροπημένο (ή πλήρες) δένδρο, καθώς αυτά τα δένδρα έχουν το μικρότερο ύψος για δεδομένο πλήθος κόμβων. Έστω h το ύψος του δυαδικού δένδρου. Πρέπει να αποδείξουμε ότι h ³ floor(log2(n)) ή ισοδύναμα ότι h + 1 > log2(n). Όμως: h + 1 > log2(n) Û 2h+1 > n

Θέμα 8ο – Λύση (συνέχεια) Πρέπει να αποδείξουμε ότι 2h+1 > n. Αρκεί να αποδείξουμε ότι 2h+1 – 1 ³ n με χρήση επαγωγής ως προς h. Βάση Επαγωγής, h = 0 Ένα δυαδικό δένδρο ύψους μηδέν έχει μόνο ένα κόμβο ρίζα. Δηλαδή n = 1. Πράγματι: 20+1 – 1 ³ 1 Û 1 ³ 1

Θέμα 8ο – Λύση (συνέχεια) Επαγωγική Υπόθεση, h = k Έστω ότι η υπόθεση μας ισχύει για δένδρο ύψους k και πλήθος κόμβων n’. Δηλαδή 2k+1 – 1 ³ n’ Επαγωγικό Βήμα, h = k + 1 Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι η σχέση ισχύει και για δένδρο ύψους k + 1 με πλήθος κόμβων n’’. Δηλαδή ότι 2k+2 – 1 ³ n’’

Θέμα 8ο – Λύση (συνέχεια) Ένα δένδρο ύψους k+1 αποτελείται από δύο δένδρα ύψους k (και συνεπώς n’ κόμβων) και ένα κόμβο-ρίζα. Ισχύει δηλαδή ότι: n’’ = 2n’ + 1 Από επαγωγική υπόθεση έχουμε: 2k+1 – 1 ³ n’ Û 2(2k+1 – 1) ³ 2 * n’ Û 2k+2 – 2 ³ 2 * n’ Û 2k+2 – 2 + 1 ³ 2 * n’ + 1 Û 2k+2 – 1 ³ 2 * n’ + 1 = n’’ Αποδείξαμε λοιπόν ότι 2h+1 – 1 ³ n δηλ. και ότι 2h+1 > n. Άρα ισχύει και ότι h ³ floor (log2(n)).

Θέμα 9ο Θεωρήσετε ένα δίκτυο υπολογιστών, όπου δύο υπολογιστές μπορούν να έχουν μία ζεύξη (link). Ανάλογα με την τεχνολογία που χρησιμοποιείται στην κάθε ζεύξη, θα χαθούν κάποια πακέτα. Στο παρακάτω πίνακα περιγράφουμε όλες τις ζεύξεις με τους αντίστοιχους αριθμούς πακέτων που θα χαθούν.

Θέμα 9ο (συνέχεια) Ζεύξη Αριθμός πακέτων που προβλέπεται ότι θα χαθούν σε αυτή την ζεύξη 3,4 5 2,3 4 4,2 2 1,2 1 0,4 0,1 1,4 3 Η συσκευή 0 θα στείλει 1000 πακέτα στην συσκευή 3, διαλέγοντας το μονοπάτι (διαδρομή) με τις λιγότερες απώλειες σε πακέτα.

Θέμα 9ο (συνέχεια) Μπορείτε να εφαρμόσετε τον αλγόριθμο του Dijkstra για να βρεί η συσκευή 0 το επιθυμητό μονοπάτι? Δικαιολογήσετε την απάντησή σας . Εάν ναι, (α) περιγράψετε τον αλγόριθμο του Dijkstra και (β) εφαρμόσετε τον βήμα-βήμα (κάνετε τα επιμέρους διαγράμματα να δείξετε πώς εξελίσσεται ο αλγόριθμος) πάνω στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Εάν δεν μπορεί να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος του Dijkstra, δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

Θέμα 9ο – Λύση Θα χωρίσουμε την απάντησή μας σε 3 μέρη. Αρχικά γιατί μπορεί να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος, στη συνέχεια θα δώσουμε τα βήματά του και στη συνέχεια θα τον εφαρμόσουμε στο παράδειγμα που η άσκηση μας ζητάει.

Θέμα 9ο – Λύση (συνέχεια) Είναι δυνατή η εφαρμογή του αλγ. του Dijkstra? Ο αλγόριθμος εύρεσης συντομότερου μονοπατιού εφαρμόζεται στην περίπτωση που έχουμε ένα βεβαρημένο γράφημα G = ( V, E, w) με την w να είναι μία συνάρτηση από το Ε στο σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Με βάση τα δεδομένα που δίνονται από την άσκηση στο δοθέν γράφημα μπορεί να εφαρμοστεί ο αλγ. εύρεσης συντομότερου μονοπατιού (Dijkstra)

Θέμα 9ο – Λύση (συνέχεια) Περιγραφή αλγορίθμου   Η διαδικασία για τον υπολογισμό της ελάχιστης απόστασης από μια κορυφή α προς μία οποιαδήποτε άλλη κορυφή του G είναι : Αρχικά έστω P = {a} και T = V-{a}. Για κάθε κορυφή t στο Τ, έστω l(t) = w(a,t) 2. Επίλεξε την κορυφή του Τ που έχει τον μικρότερο δείκτη ως προς P. Έστω χ η κορυφή αυτή

Θέμα 9ο – Λύση (συνέχεια) 3. Αν το χ είναι η κορυφή που θέλουμε να φτάσουμε από την α σταματά η διαδικασία. Αν όχι, έστω και . Για κάθε κορυφή t του Τ ‘, υπολόγισε τον δείκτη της ως προς P’ σύμφωνα με τη σχέση 4. Επανέλαβε τα βήματα 2,3 χρησιμοποιώντας ως P το P’ και ως Τ το T ’

Θέμα 9ο – Λύση (συνέχεια) Εφαρμογή του Αλγορίθμου Μας δίνονται τα παρακάτω βάρη. Σύνδεση Μεταξύ συσκευών Packet Loss 3  4 5 2  3 4 4  2 2 1  2 1 0  4 0  1 1  4 3

Θέμα 9ο – Λύση (συνέχεια) 4 3 2 1 5

Θέμα 9ο – Λύση (συνέχεια) 4 3 2 1 2 (0)

Θέμα 9ο – Λύση (συνέχεια) 4 3 2 1 2 (0) 3 (0, 1)

Θέμα 9ο – Λύση (συνέχεια) 4 3 2 1 2 (0) 3 (0, 1) 7 (0, 1, 2)

Θέμα 10ο Έστω ένα δίκτυο υπολογιστών, στο οποίο οι ζεύξεις του παραμένουν σταθερές. Δείξετε χρησιμοποιώντας θεωρία γράφων ότι το άθροισμα του αριθμού των υπολογιστών με τους οποίους συνδέεται ο κάθε υπολογιστής με μία ζεύξη είναι ίσος με το διπλάσιο του αριθμού των συνολικών ζεύξεων σε αυτό το δίκτυο.

Θέμα 10ο – Λύση Το πρώτο που πρέπει να κάνουμε είναι να καθορίσουμε την αντιστοιχία μεταξύ υπολογιστών με κορυφές και των ζεύξεων με τις ακμές ενός γραφήματος. Το επόμενο είναι να διαπιστώσουμε ότι ο αριθμός των υπολογιστών που συνδέεται ο κάθε υπολογιστής ( κορυφή ) αντιπροσωπεύεται από τον αριθμό των ζεύξεων ( ακμών ) που προσπίπτουν σε αυτών.

Θέμα 10ο – Λύση (συνέχεια) Καταλαβαίνουμε λοιπόν ότι αυτός ο αριθμός των ζεύξεων δεν είναι τίποτα άλλο από τον βαθμό της κορυφής διότι ο βαθμός μίας κορυφής είναι ο αριθμός των ακμών που προσπίπτουν σε αυτή. Αναδιατυπώνοντας το ερώτημα με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις, το ζητούμενο της άσκησης μας λέει το εξής: «το άθροισμα των βαθμών των κορυφών είναι λοιπόν διπλάσιο του αριθμού των ακμών»

Θέμα 10ο – Λύση (συνέχεια) Για να δείξουμε ότι ισχύει η παραπάνω πρόταση αυτό που πρέπει να σκεφτούμε είναι το εξής. Σε ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα κάθε ακμή συνεισφέρει κατά 1 στον βαθμό των δύο κορυφών στις οποίες προσπίπτει, πράγμα που μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η προς εξέταση πρόταση όντως ισχύει

Θέμα 11ο Έστω ένα ασύρματο δίκτυο στο οποίο οι συσκευές μπορούν να έχουν πρόσβαση σε Ν διαφορετικά κανάλια. Το κάθε κανάλι είναι σε διαφορετική συχνότητα και είναι ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα. Υπάρχουν 2M συσκευές, Ν>2Μ. Υποθέσετε οτι κάθε συσκευή αποφασίζει να επιλέξει ένα κανάλι στο οποίο θα στέλνει τα μηνύματα.

Θέμα 11ο (συνέχεια) Η κάθε συσκευή είναι διακριτή (έχει έναν αριθμό που την ξεχωρίζει από τις υπόλοιπες). Ας ονομάσομε πρόγραμμα την αντιστοιχία της κάθε διαφορετικής συσκευής σε μία συγκεκριμένη συχνότητα. Το πρόγραμμα δηλαδή δηλώνει σε ποιά συχνότητα/κανάλι ακούει η κάθε συσκευή.

Θέμα 11ο (συνέχεια) (α) Ποιος είναι ο συνολικός αριθμός διαφορετικών προγραμμάτων που μπορούν να γίνουν? (β) Οι 2Μ συσκευές χωρίζονται σε Μ διαφορετικά ζεύγη συσκευών (το κάθε ζεύγος δεν έχει κανένα κοινό στοιχείο με τα υπόλοιπα ζεύγη) που σκοπεύουν να επικοινωνούν μεταξύ τους και γι αυτό θα πρέπει να ακούν στο ίδιο κανάλι. Πόσα διαφορετικά προγράμματα μπορούν να γίνουν στα οποία να υπάρχουν το πολύ ένα τέτοια ζεύγη σε ένα κανάλι? Δεν μας ενδιαφέρει η σειρά των συσκευών σε ένα ζεύγος.

Θέμα 11ο – Λύση Μία συσκευή επιλέγει μία μόνο συχνότητα ενώ μία συχνότητα μπορεί να ‘φιλοξενεί’ πολλές συσκευές. Α) Η πρώτη συσκευή μπορεί να επιλέξει μία εκ των Ν συχνοτήτων Η δεύτερη συσκευή μπορεί να επιλέξει επίσης μία εκ των Ν συχνοτήτων . Η 2Μ-ιοστή συσκευή μπορεί να επιλέξει επίσης μία εκ των Ν συχνοτήτων

Θέμα 11ο – Λύση (συνέχεια) Άρα συνολικός αριθμός διαφορετικών προγραμμάτων που μπορούν να γίνουν είναι: Ν2Μ Β) Το πρώτο ζεύγος συσκευών μπορεί να επιλέξει ένα εκ των Ν καναλιών Το δεύτερο ζεύγος συσκευών μπορεί να επιλέξει ένα εκ των Ν-1 υπολειπόμενων καναλιών

Θέμα 11ο – Λύση (συνέχεια) Το τρίτο ζεύγος συσκευών μπορεί να επιλέξει ένα εκ των Ν-2 υπολειπόμενων καναλιών . Το Μ-ιοστό ζεύγος συσκευών μπορεί να επιλέξει ένα εκ των Ν-Μ υπολειπόμενων καναλιών Άρα συνολικός αριθμός διαφορετικών προγραμμάτων που μπορούν να γίνουν είναι: Ν * (Ν-1) * (Ν-2) * … * (Ν-Μ)

Θέμα 12ο Δείξετε ότι σε κάθε συνεκτικό μη-κατευθυνόμενο γράφο G=(V,E), |Ε| ≥ |V| - 1.

Θέμα 12ο – Λύση ορισμός : Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα ονομάζεται συνεκτικό αν υπάρχει ένα μονοπάτι μεταξύ κάθε δύο κορυφών. Η άσκηση μας ζητά να δείξουμε ότι |Ε| ≥ |V| - 1. θα δείξουμε ότι χρειαζόμαστε με την βοήθεια της επαγωγής ως προς τον αριθμό των κορυφών.

Θέμα 12ο – Λύση (συνέχεια) Από τον ορισμό της συνεκτικότητας εύκολα κανείς καταλαβαίνει ότι για την απλή περίπτωση, η οποία θα αποτελέσει και την βάση της επαγωγής μας, ότι για έναν συνεκτικό γράφο με ή ισχύει ότι και μάλιστα ισχύει λόγω της ισότητας . Ας προχωρήσουμε με το επαγωγική υπόθεση . Έστω λοιπόν ότι έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα G το οποίο έχει κορυφές.

Θέμα 12ο – Λύση (συνέχεια) Από την ιδιότητα της συνεκτικότητας βλέπουμε ότι αναγκαστικά για να παραμείνει συνεκτικό το γράφημα θα έχει τουλάχιστον ακμές. Εμείς υποθέτουμε ότι το γράφημά μας εχει ακμές με . Αρα σαν επαγωγική υπόθεση, υποθέτουμε ότι ισχύει το ακόλουθο:

Θέμα 12ο – Λύση (συνέχεια) Προχωράμε στο επαγωγικό βήμα. Δηλαδή έχουμε αριθμό κορυφών κατά αναλογία με προηγουμένως θα έχουμε ακμές και θελουμε να δείξουμε ότι: Βλέπουμε λοιπόν ότι καταλήγουμε στην επαγωγική υπόθεση, πράγμα που σημαίνει ότι δείξαμε ότι χρειαζόταν.