Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγεβρα και στοιχεία πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρέας Ν. Σβέρκος 1

1. Κατασκευαστική θεωρία της γνώσης «Κονστρουκτιβισμός» Οι μαθητές πρέπει να κατασκευάσουν τη δική τους κατανόηση της κάθε μαθηματική έννοιας, που σημαίνει ότι ο πρωταρχικός ρόλος του εκπαιδευτικού δεν είναι να “παραδώσει” το μάθημα, να το «εξηγήσει» , ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο να το «μεταφέρει» στους μαθητές, αλλά κυρίως να οργανώνει καταστάσεις οι οποίες θα ενισχύουν στην δημιουργία πνευματικών κατασκευών από τους ίδιους τους μαθητές. 2. Διαδικαστική κατανόηση: Η διαδικαστική κατανόηση  περιγράφει  την ικανότητα του μαθητή να φέρει σε πέρας με επιτυχία καθημερινές εργασίας ρουτίνας .   2

3. Εννοιολογική κατανόηση: Η εννοιολογική κατανόηση επιτυγχάνεται όταν ένας μαθητής γνωρίζει επαρκώς τις διδασκόμενες έννοιες αλλά και τις αμοιβαίες μεταξύ τους σχέσεις. Χαρακτηριστικό της εννοιολογικής κατανόησης είναι οι πλούσιες και περισσότερο αλληλένδετες δομές της γνώσης, ενώ οι μεμονωμένες και αποσπασματικές γνώσεις είναι χαρακτηριστικά μιας επιφανειακής κατανόησης. Ένας μαθητής που έχει εννοιολογική κατανόηση μπορεί και απαντάει όχι μόνο στο πώς , αλλά και στο γιατί. 3

ΒΑΣΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΒΑΣΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΚΥΚΛΟΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΕ ΑΞΟΝΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : Πιθανότητες ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : Πιθανότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο : Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο : Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο : Ανισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5Ο : Πρόοδοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6Ο : Βασικές Έννοιες Συναρτήσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7Ο : Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων 5

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η συνεπαγωγή: επομένως, τότε, συνεπώς ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η συνεπαγωγή: επομένως, τότε, συνεπώς Η ισοδυναμία: τότε και μόνο τότε, αν και μόνο αν Ο σύνδεσμος « ή » Ο σύνδεσμος « και » 6

Τα Σύνολα 7

Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Ω Β Α Ν(Β-Α) Ν(Α-Β) Ν(ΑΒ) Ν(ΑΒ) Ν(Β) Ν(Α) Ν(Ω) Να συμπληρώσετε τον πίνακα: 30 11 12 19 4 7 8 8

Πιθανότητες 9

Η κλίμακα μέτρησης Πιθανοτήτων Ενδεχόμενο Α Αδύνατο 0 % Βέβαιο 100% ? Αβέβαιο 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Πιθανότητα 10

Στατιστικός Ορισμός της Πιθανότητας Ένα μήνα σε ένα επαρχιακό μαιευτήριο γεννήθηκαν 20 παιδάκια, ενώ σε ένα μαιευτήριο των Αθηνών 160 παιδάκια. Σε ποιο από τα δυο μαιευτήρια η αναλογία αγοριών- κοριτσιών αναμένεται να είναι πιο κοντά στο 50%- 50%;

Ενδεχόμενα και Σύνολα ΑΒ (ΑΒ)΄ Ω Ω ΑΒ Ω Ω ΑΒ= Α΄ Ω Ω B  A A-B Ω (A-B)(B-A) Ω Α Β Ω Α ΑΒ= Α΄ Ω Α Β Ω Α Β A-B B  A 12

Κλασικός Ορισμός Πιθανότητας: Ν(Ω) = ν < Ρ({ωi}) = 1/ν , i=1,2,…,ν 13

Να εξετάσετε αν το παιχνίδι είναι δίκαιο. Πρόβλημα Δυο παίχτες, ο Α και ο Β, ρίχνουν συγχρόνως από ένα ζάρι.Ο παίχτης Α κερδίζει αν η διαφορά των ενδείξεων είναι 0 , 1 ή 2. Ο παίχτης Β κερδίζει αν η διαφορά των ενδείξεων είναι 3 , 4 ή 5. Να εξετάσετε αν το παιχνίδι είναι δίκαιο. Φάση 1η : Εκτέλεση πειράματος Καταγραφή των αποτελεσμάτων Κατανομή συχνοτήτων 14

Φάση 2η : Εύρεση Δειγματικού Χώρου 1 2 3 4 5 6 ο 15

Φάση 3η : Υπολογισμός Πιθανοτήτων Φάση 3η : Υπολογισμός Πιθανοτήτων Πίνακας Πιθανοτήτων των Απλών Ενδεχομένων Πιθανότητες Ενδεχομένων 16

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Οι Πράξεις και οι ιδιότητες τους Πραγματικοί Αριθμοί και Πράξεις Δυνάμεις Ταυτότητες Μέθοδοι Απόδειξης Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Έννοια της Διάταξης Ιδιότητες των Ανισοτήτων Διαστήματα Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού Ορισμός Απόλυτης Τιμής Ιδιότητες Απόλυτων Τιμών Απόσταση δυο Αριθμών Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Τετραγωνική ρίζα ν- οστή ρίζα Ιδιότητες ριζών Δυνάμεις με ρητό εκθέτη 17

Διδακτικές Παρατηρήσεις: Οι Ταυτότητες A = x2 - 6xy + 9y2 A = x2 - 6xy + 9y2 =(x- 3y)2 Που βρίσκονται τα σημεία Μ(x , y ) με Μέθοδοι Απόδειξης Ευθεία Απόδειξη Ισοδυναμίες Αντιπαράδειγμα Αν α > 0, τότε α2 > α Τι γίνεται για α = ½ ; 18

Μέθοδος Απαγωγής σε Άτοπο Ο αριθμός είναι άρρητος Υπάρχουν άπειροι πρώτοι φυσικοί αριθμοί P, P! +1 Ο Ρόλος της Απόδειξης στο Λύκειο 19

Ποιοι είναι περισσότεροι οι ρητοί ή οι άρρητοι; Στον άξονα των πραγματικών αριθμών σημειώνουμε τυχαία ένα σημείο. Ποια είναι η πιθανότητα στο σημείο αυτό να αντιστοιχεί ρητός αριθμός; x x’ O 1 M 20

Διάταξη – Απόλυτες Τιμές O α β x x΄ α = β +θ, θ>0 α β Ο θ x΄ x 21

Ορισμός Διάταξη – Απόλυτες Τιμές Βασική ιδέα: Η αλγεβρική έκφραση της απόστασης δυο σημείων σε έναν άξονα Ορισμός 22

Διάταξη Διαστήματα -1 1 2 α β γ δ ε ζ η θ Διάταξη και ρίζες Διάταξη και πράξεις Διάταξη και απόλυτη τιμή Διάταξη και δυνάμεις Διάταξη και μονοτονία συναρτήσεων Διάταξη και ρίζες Διαστήματα -1 1 2 α β γ δ ε ζ η θ 23

Απόσταση δυο Αριθμών α και β : d(α, β)=│β – α │ Απόσταση δυο Αριθμών α και β : d(α, β)=│β – α │ Πρόβλημα: Ποιοι είναι οι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει : , δηλαδή d(x, 2) <5 ; 5 μονάδες δεξιά 5 μονάδες αριστερά ( ) Άρα -3 < x < 7 24

Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 25

Δυνάμεις με Ρητό Εκθέτη 26

ΒΓ < ΑΒ + ΑΓ 27

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εξισώσεις 1ου βαθμού Η εξίσωση αx+β = 0 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού Ρητές Εξισώσεις Εξισώσεις με Απόλυτες Τιμές Εξισώσεις 2ου βαθμού Η εξίσωση αx2+βx+γ, α  0 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2ου βαθμού Εξισώσεις με απόλυτες τιμές Ρητές Εξισώσεις Διτετράγωνες Εξισώσεις 28

Διερεύνηση της εξίσωσης 1ου βαθμού Διερεύνηση της εξίσωσης 1ου βαθμού Η εξίσωση 1ου βαθμού 29

30

Εξισώσεις με Απόλυτες Τιμές Λύνονται απλές εξισώσεις με βάση τον ορισμό της απόλυτης τιμής ή την έννοια της απόστασης, όπως: 31

Επίλυση Προβλήματος 32

Εξισώσεις 2ου βαθμού 4. Προβλήματα 33

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Ανισώσεις 2ου βαθμού Ανισώσεις 1ου βαθμού Μορφές Τριωνύμου Η ανίσωση αx2+βx+γ > 0 Διαστήματα Ανισώσεις 1ου βαθμού Η Ανίσωση αx + β > 0 Συναληθεύουσες Ανισώσεις Ανισώσεις με απόλυτες τιμές 34

Διδακτικές Παρατηρήσεις: Ανισώσεις με Απόλυτες Τιμές Να λυθεί η ανίσωση │x - 2│< 3 O 1 2 3 4 -2 -1 5 6 O 1 2 3 4 -2 -1 5 6 O 1 2 3 4 -2 -1 5 6 35

Να κατασκευαστεί μια ανίσωση με απόλυτες τιμές της οποίας οι λύσεις είναι το σύνολο A= {xЄR/ - 2 < x < 4 } Κέντρο διαστήματος (-2+4)/2= 1 Άρα 36

«Περίεργες» Εξισώσεις 1 7 A B x M MA + MB = AB 37

Πρόσημο τριωνύμου- Ανισώσεις Δευτέρου βαθμού ΟΧΙ ΣΤΑ ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΜΕ ΤΑ + ΚΑΙ - 38

Πρόσημο τριωνύμου- Ανισώσεις Δευτέρου βαθμού 39

40

Βασική ιδέα: η ανακάλυψη προτύπων (patterns) ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Βασική ιδέα: η ανακάλυψη προτύπων (patterns) 1 3 6 10 22 32 42 41

ΠΡΟΟΔΟΙ Δραστηριότητα: Αριθμητική Πρόοδος Σε μια αίθουσα δεξιώσεων χρησιμοποιούν τετράγωνα τραπέζια τεσσάρων ατόμων. 1. Αν δυο τραπέζια ενωθούν πόσα άτομα μπορούν να καθίσουν ;(Σχήμα) 2. Αν τρία τραπέζια ενωθούν σε μια σειρά πόσα άτομα μπορούν να καθίσουν ;(Σχήμα) 3. Αν τέσσερα τραπέζια ενωθούν σε μια σειρά πόσα άτομα μπορούν να καθίσουν ; 4. Αν δέκα τραπέζια ενωθούν σε μια σειρά πόσα άτομα μπορούν να καθίσουν; 6. Αν ν τραπέζια ενωθούν σε μια σειρά πόσα άτομα μπορούν να καθίσουν; 8. Πόσα τραπέζια σε τέτοια διάταξη θα χρειαστούν για να καθίσουν 66 άτομα; 42

Ποια ιδέα κρύβεται πίσω από τον τύπο του αθροίσματος; Άθροισμα ν Διαδοχικών Όρων Αριθμητικής Προόδου Ποια ιδέα κρύβεται πίσω από τον τύπο του αθροίσματος; S10 = 10*(10+1)/2=55 44

Γεωμετρική Πρόοδος Δραστηριότητα: Γεωμετρική Πρόοδος Δραστηριότητα: Ένα φύλλο χαρτιού τύπου Α4 με διαστάσεις περίπου 20cm * 30cm έχει πάχος 0,1 mm . Διπλώσουμε το χαρτί στη μέση διαδοχικά έξι φορές. Δοκιμάστε να σκίσετε το χαρτί μετά την 6η δίπλωση. Πόσο πάχος έχει; Ποια η επιφάνεια του χαρτιού μετά την 6η δίπλωση; Αν κάναμε το ίδιο με ένα φύλλο 1η δίπλωση 2η δίπλωση 3η δίπλωση 45

Αριθμητικός Μέσος - Γεωμετρικός Μέσος Αριθμητικός Μέσος - Γεωμετρικός Μέσος α β 47

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η Έννοια της Συνάρτησης Εισαγωγή Συντομογραφία Συνάρτησης Γραφική Παράσταση Συνάρτησης Καρτεσιανές Συντεταγμένες Η Συνάρτηση f(x)= αx+ β Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Γραφική παράσταση της f(x)= αx+β Η Συνάρτηση f(x)=│x│ 48

Διδακτικές Παρατηρήσεις: Η Έννοια της Συνάρτησης 49

Η Συνάρτηση f(x)=αx+β Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε του παρακάτω σχήματος 1 2 3 Ο x y ε 50 50

Ο ρόλος των α και β στην εξίσωση y = αx + β O y= λx + β y= αx + λ x y O 51

f(x+1) –f(x)= α(x+1) +β –αx –β = α 52

Γραφική Παράσταση Αριθμητικής Προόδου α1= - 3, ω = 2 , αν =-3 + (ν-1)*2 = 2ν -5 y=2x-5 53

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Βασική ιδέα: Οι γραφικές παραστάσεις με εξισώσεις y= αx2 + βx+ γ και y= αx2 είναι ακριβώς ίδιες , σχεδιασμένες όμως σε διαφορετικές θέσεις y = x2 y = x2+1 y = x2 y = (x - 1)2 y = (x + 1)2 54

Η Συνάρτηση f(x)=αx2+βx+γ Με ποιες μετατοπίσεις , κατακόρυφη και οριζόντια, η θα συμπέσει με την ; 55

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)= (x-p)2 + q. Να βρεθούν τα p και q. Απάντηση: p=2, q=1 56

Γιατί είναι χρήσιμη η διδασκαλία των μαθηματικών στο σχολείο; Αναλύω, απλοποιώ, αξιολογώ, αποδεικνύω, αποφασίζω, γενικεύω, διατυπώνω, δικαιολογώ, εξερευνώ, εξηγώ, ερμηνεύω, ισχυρίζομαι, κατατάσσω, μετασχηματίζω, οργανώνω, παρουσιάζω, πειραματίζομαι, σκέπτομαι, συγκρίνω, συνδυάζω, συνθέτω, συνοψίζω, σχεδιάζω, τακτοποιώ, υποθέτω 57