Μη γραμμικά οπτικά κύματα σε ομογενή και περιοδικά μέσα Εργαστήριο Πλάσματος Ηλεκτρονικής Δέσμης και Μη Γραμμικής Οπτικής ΕΜΠ Νίκος Μοσχονάς, Γιάννης Κομίνης, Παναγώτης Παπαγιάνης, Κυριάκος Χιτζανίδης

Θέματα εν συντομία Γενικά περί μη γραμμικών κυμάτων, μη γραμμικών οπτικών παλμών και solitons Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε ομογενή μέσα 2+1D Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε περιοδικά μέσα-Πλεγματικά σολιτόνια

Γενικά περί μη γραμμικών κυμάτων, μη γραμμικών οπτικών παλμών και solitons Σολιτόνια, πρώτη παρατήρηση: Το νερό στο αυλάκι, 1834 soliton Αναπαράσταση παρατήρησης Scott Russell, Heriot-Watt University 1995 Σολιτόνια: Γενικές Παραδοχές Εντοπισμένα κυματοπακέτα με μορφή αναλλοίωτη ή περιοδικά μεταβαλλόμενη Δημιουργούνται από την αμοιβαία εξισορρόπηση φαινομένων Δεν μεταβάλουν το πλάτος, την ενέργεια, ή την ταχύτητα τους μετά από μεταξύ τους συγκρούσεις, παραμένουν αναλλοίωτα σαν σωματίδια, εξ’ου και ο όρος “soliton” (1965) Είναι μη γραμμικές οντότητες Παρατηρήσεις Russell Ο κυματισμός είναι εντοπισμένος, σταθερός σε πλάτος και διατηρείται για μεγάλες αποστάσεις Η ταχύτητα εξαρτάται από το πλάτος και το βάθος του νερού Οι κυματισμοί αυτού του τύπου δεν συσσωματώνονται, αντίθετα από τα «συνήθη» κύματα Scot Russel’s wave of trnaslation : The waves are stable, and can travel over very large distances (normal waves would tend to either flatten out, or steepen and topple over) The speed depends on the size of the wave, and its width on the depth of water. Unlike normal waves they will never merge—so a small wave is overtaken by a large one, rather than the two combining. If a wave is too big for the depth of water, it splits into two, one big and one small N.J.Zabusky, M.D.Kruskal, Phys.Rev.Let. 15, 240, 1965 N.N. Akmediev, A.A. Ankiewicz, Solitons: Nonlinear pulses and beams (Chapman and Hall, 1997) E.Infeld, G.Rowlands, Nonlinear waves, solitons and chaos (Cambridge university press, 1990) R.W.Boyd, Nonlinear Optics (Academic Press, 1992)

Γενικά περί μη γραμμικών κυμάτων, μη γραμμικών οπτικών παλμών και solitons Τα φαινόμενα που εξισορροπούνται είναι η ανώμαλη διασπορά και η μη-γραμμική απόκριση του μέσου Παλμός εισόδου Απόκριση μέσου Παλμός εξόδου Σολιτόνιο σημαίνει ισορροπία, συχνά καθόλου ασταθής Κύματα και διαταραχές, ακόμα και σε ισχυρά μη-γραμμικό μέσο δεν σχηματίζουν απαιτητά σολιτόνια Μη γραμμικά φαινόμενα κατά τη διάδοση διαταραχών σε ομογενή μέσα και η ύπαρξη σολιτονίων μελετώνται εκτεταμένα σε τομείς όπως Μη-γραμμική οπτική Διάδοση διαράχων στο πλάσμα Ρευστομηχανική για τον σχηματισμό τσουνάμις και freak waves διασπορά (ή περίθλαση) αυτο-εστίαση soliton t z Αναλλογία της επίδρασης στη φάση με αποκλίνων και συγκλίνων φακό Temporal soliton, the spatial soliton is created accordingly Γιατί μη-γραμμική; Διότι η απόκριση εξαρτάται από την ισχύ του παλμού-κυματοπακέτου, έτσι οι παλμοί με μικρή ένταση θα διασπείρονται αναπόφευκτα Η ύπαρξη και χρήση των Leiser έκανε φανερή τη σημασία των μη-γραμμικών φαινομένων ακι τη δυνατότητα ύπαρξης οπτικών σολιτονίων Ανώμαλη διασπορά: λ<1.3μm υψηλές συχνότητες του παλμού πάνε γρηγορότερα από τις χαμηλές φωτεινό σκοτεινό collision

…PDEs, Μη γραμμικές (φυσικά) Γενικά περί μη γραμμικών κυμάτων, μη γραμμικών οπτικών παλμών και solitons Μοντελοποίηση μη γραμμικών κυμάτων… …PDEs, Μη γραμμικές (φυσικά) Korteweb-de Vries: Kadomstev-Petviashvili: Sine-Gordon: Όλες έχουν αναλλοίωτες σολιτονικές λύσεις Μη γραμμική Οπτική: Nonlinear Schrödinger Equation (NLSE) Διάδωση σε οπτικό κυματοδηγό Πόλωση, γραμμική και μη (φαινόμενο Kerr) Διαστάσεις: 1+1 : χωρικές διαταραχές/σολιτόνια Δυναμικό σύστημα: Άπειρων βαθμών ελευθερίας Ολοκληρώσιμο (άπειρα ολοκληρώματα της κίνησης) Στάσιμη Λύση Φωτεινού Σολιτονίου: Γαλιλαϊκός Μετασχηματισμός: (οδεύοντα κύματα) Οι εξισώσεις είναι για μία μόνο εγκάρσια διάσταση εκτώς από την KP και δεν περιλαμβάνουν απώλειες Sine-Gordon: derived from Klein Gordon (a form of Schrodinger equation) H KP χρησιμοποιήται για μελέτη επιφανειακών κυμάτων και συμπικνώματα Bose-Einstein Wave equation coming from Maxwell eqs Ε διανισματικό μέγεθος (ηλεκτρικό πεδίο), χ οι τανυστές της επιδεκτικότητας Galilean: k represents the deviation from group velocity and the frequency shift

Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε ομογενή μέσα, δύο και τριών διαστάσεων Επίπεδος κυματοδηγός 1 ή 2 εγκάρσιες διαστάσεις 3D μέσο 2 ή 3 εγκάρσιες διαστάσεις Πεπερασμένος αριθμός ολοκληρωμάτων Ανυπαρξία ευσταθών λύσεων με Kerr Για ανώμαλη διασπορά και P>Pc έχουμε collapse η μάλλον έκρηξη! NLSE 3+1 διαστάσεων

Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε ομογενή μέσα, δύο και τριών διαστάσεων …όμως, σε μέσα με κανονική διασπορά δεν έχουμε collapse (δεν έχουμε και soliton βέβαια...) Σχέσεις Διασποράς-περιοχές αστάθειας Δυνατότητα δημιουργίας και ελέγχου παλμών και ακτινών που θα παραμένουν αναλλοίωτα ή τουλάχιστον συγκεντρωμένα για κάποιες αποστάσεις Bidispersive: Τα μέσα που εμφανίζουν αντίθετα πρόσημα περίθλασης και διασποράς Αυθόρμητη γένεση κυμάτων “X” Αλληλεπίδραση και έλεγχος παλμών-ακτίνων L.W.Liou, X.D.Cao, C.J.McKinstrie, G.P.Agrawal Phys.Rev.A 46, 4202, 1992

Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε ομογενή μέσα, δύο και τριών διαστάσεων Αυθόρμητη γένεση κυμάτων τύπου “X” Κύματα Χ αναλλοίωτες λύσεις της γραμμικής κυματικής εξίσωσης με άπειρη ενέργεια συναρτησιακά είναι άθροισμα συναρτήσεων Bessel πολύ δύσκολο να αναπαραχθούν Υπάρχει δυνατότητα γένεσης τους από άλλους παλμούς (π.χ. Γκαουσιανούς, sech ή CW);;; Αριθμητική επίλυση NLSE 2+1D: Αρχικός παλμός: Gaussian (+ ασθενές CW) P=2Pc CW 0.1Α Δφ=π/2 Μη γραμμικό P=2Pc CW 0.1Α Δφ=0 Μη γραμμικό P=4Pc no CW Z=1.5cm AlGaAs λ0=1.55μm Μη γραμμικό Γραμμικό J.Salo, J.Fagerholm, A.T.Friberg, M.M.Saloma, Phys.Rev. E 62, 4261, 2000

Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε ομογενή μέσα, δύο και τριών διαστάσεων Αλληλεπίδραση και έλεγχος παλμών και ακτίνων, παρουσία ρυθμιστικού CW Χωροχρονική μετάθεση παλμών AlGaAs Το αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης εξαρτάται: Θέση, φάση, ισχύ, γωνία αρχικών παλμών Φάση και ισχύ CW Κυρίαρχα φυσικά φαινόμενα Αλληλεπίδραση παλμών Bidispersion Ενίσχυση πλευρικών φασματικών περιοχών (μη γραμμικότητα) Οι παλμοί εξόδου: Διαφορετική εγκάρσια και χρονική μετατόπιση Φασματική μετατόπιση Input, CW 0.2A Δφ=π, φ1=π/2, φ2=-π/2 Input, CW 0.2A Input, CW 0.2A Δφ=0 Input, CW 0.2A Δφ=π

Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε περιοδικά μέσα-Πλεγματικά σολιτόνια Εφαρμογές στη μη γραμμική οπτική Φράγματα σε οπτικές ίνες (Fiber gratings) Συστοιχίες Μη Γραμμικών Κυματοδηγών (α) 1D AlGaAs, (b) 2D silica glass Μη Γραμμικοί Φωτονικοί Κρύσταλοι (α) εγκάρσιο προφίλ (b) οπτική επαγωγή (συμβολή 4 επιπεδων κυμάτων) Review papers: D.N. Christodoulides et al, “Discretizing light behaviour in linear and nonlinear waveguide lattices”, Nature 424, 817 (2003) A.A. Sukhorukov et al, “Spatial Optical Solitons in Waveguide Arrays”, IEEE J. Quant. Electron. 39, 31 (2003) J.W. Fleischer et al, “Spatial photonics in nonlinear waveguide arrays” , Opt. Express 13, 1780 (2005)

Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε περιοδικά μέσα-Πλεγματικά σολιτόνια Ιδιότητες Πλεγματικών Σολιτονίων Τα μαθηματικά μοντέλα που περιγράφουν τη διάδοση Πλεγματικών Σολιτονίων σε μέσα με εγκάρσια ανομοιογένεια είναι μη-ολοκληρώσιμα. Με την αυστηρή μαθηματική έννοια δεν υπάρχουν σολιτόνια! Υπάρχουν όμως εύρωστα εντοπισμένα μη-γραμμικά κύματα. Η πληθώρα σολιτονικών κυμάτων σε μη-γραμμικά πλέγματα έχει ποιοτικά διαφορετικά χαρακτηριστικά από την περίπτωση μη-γραμμικών ομοιόμορφων μέσων. Η εγκάρσια ανομοιογένεια του μέσου συνεπάγεται απώλεια της ιδιότητας μεταφορικής συμμετρίας (translational invariance) με αποτέλεσμα: Περιορισμένη κινητικότητα σολιτονίων Σχηματισμό των σολιτονίων σε συγκεκριμένες θέσεις σε σχέση με την γεωμετρία του πλέγματος Από τεχνολογική άποψη έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον: Απαιτούν σημαντικά μικρότερη ισχύ για την εμφάνιση μη-γραμμικών ιδιοτήτων και των σχηματισμό τους Μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε εφαρμογές δρομολόγησης και μεταγωγής οπτικών σημάτων σε αμιγώς οπτικές συσκευές Εφαρμογές: - Σχεδίαση / Κατασκευή (engineering) Σύνθετων Φωτονικών Δομών με επιθυμητές ιδιότητες - Δυναμικός οπτικός έλεγχος (δυναμική εξαρτώμενη από την ισχύ, έλεγχος με οπτικά σήματα (π.χ. XPM)

Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε περιοδικά μέσα-Πλεγματικά σολιτόνια Θέση και Ευστάθεια Σολιτονίων σε Σύνθετες Φωτονικές Δομές Θεωρούμε μια φωτονική δομή όπου τόσο οι γραμμικές όσο και οι μη-γραμμικές ιδιότητες του μέσου είναι εγκάρσια ανομοιογενείς: n0(x), γραμμικός δείκτης διάθλασης n2(x), μη-γραμμικός δείκτης διάθλασης ε, διαταρακτική παράμετρος Ψάχνω για Στάσιμες Λύσεις: Δυναμικό σύστημα: Hamiltonian 1+1/2 βαθμών ελευθερίας:

Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε περιοδικά μέσα-Πλεγματικά σολιτόνια Το αδιατάρακτο σύστημα (ε=0) για β>0 έχει μια ομοκλινική τροχιά: που αντιστοιχεί στο στάσιμο σολιτόνιο της NLSE για κάθε x0. Η ομοκλινική τροχιά: σχηματίζεται από την λεία ένωση της ευσταθούς και της ασταθούς πολλαπλότητας του σαγματικού στάσιμου σημείου στο μηδέν είναι κλειστή καμπύλη που αποτελείται από άπειρα μη-εγκάρσια (nontransverse) σημεία τομής (ομοκλινικά σημεία) των δύο πολλαπλοτήτων

Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε περιοδικά μέσα-Πλεγματικά σολιτόνια Η παρουσία διαταραχών (ε≠0) έχει σαν αποτέλεσμα την ισχυρή τροποποίηση (σπάσιμο) αυτής της “ευαίσθητης” τροχιάς και την εμφάνιση σημείων εγκάρσιας τομής των δύο πολλαπλοτήτων. ε=0 ε≠0 x Εκτεταμένος φασικός χώρος Η συνάρτηση Melnikov M(x0) είναι ανάλογη της απόστασης d(x0) των δύο πολλαπλοτήτων όπως αυτή μετράται πάνω σε μία τομή Poincare. Τομές Poincare Οι μηδενισμοί της συνάρτησης Melnikov: αντιστοιχούν σε ομοκλινικά σημεία προσδιορίζουν για το διαταραγμένο σύστημα τα διακριτά μέλη της (αρχικά συνεχούς) οικογένειας λύσεων με παράμετρο x0 S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer (2003)

Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε περιοδικά μέσα-Πλεγματικά σολιτόνια Περίπτωση: n0(x)=cos(x), n2(x)=0 Για όλες τις περιπτώσεις ε=0.1 β = 0.1 β = 1 Για όλα τα β: Ευσταθές σολιτόνιο εντοπισμένο στη θέση μεγίστου του n0(x), x0=0 Ασταθές σολιτόνιο εντοπισμένο στη θέση ελαχίστου του n0(x), x0=π

Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε περιοδικά μέσα-Πλεγματικά σολιτόνια Περίπτωση: n0(x)=cos(x), n2(x)=-4.8cos(x) β = 0.1 β = 1 Ίδιος αριθμός σολιτονίων, στις ίδιες θέσεις, διαφορετικός τύπος ευστάθειας για β = 0.1, 1. Εξάρτηση της ευστάθειας από: Ισχύ / χωρικό εύρος / σταθερά διάδοσης

Εργαστήριο Πλάσματος Ηλεκτρονικής Δέσμης και Μη Γραμμικής Οπτικής ΕΜΠ nmoshon@central.ntua.gr Καθ. Κυριάκος Χιτζανίδης: kyriakos@central.ntua.gr