Κεφάλαιο 7 Δυναμική Ενέργεια και Διατήρηση Μηχανικής Ενέργειας

Αυτή η μετατροπή ενέργειας είναι μη-αντιστρεπτή Αυτή η μετατροπή ενέργειας είναι μη-αντιστρεπτή. Η θερμική ενέργεια δεν μπορεί να μετατραπεί 100% σε κινητική ενέργεια της μάζας.

Έργο και Δυναμική Ενέργεια: A B g vo h Έργο και Δυναμική Ενέργεια: Σώμα μάζας m εκτοξεύεται προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα vo. Το σώμα επιβραδύνεται και σταματά στιγμιαία στο σημείο Β. Κατόπιν πέφτει και φτάνει στο σημείο A με μέτρο ταχύτητας vo. Κατά την διάρκεια της διαδρομής Α → Β, η βαρυτική δύναμη Fg παράγει αρνητικό έργο W1 = -mgh. Ενέργεια μεταφέρεται από την κινητική ενέργεια του σώματος και αποθηκεύεται σε ένα είδος ενέργειας του συστήματος σώμα-γη. Κατά την διαδρομή Β → Α το έργο της Fg είναι θετικό W2 = mgh. Ενέργεια μεταφέρεται από την (αποθηκευμένη) ενέργεια του συστήματος σώμα-γη στην κινητική ενέργεια του σώματος.

Κατά την διαδρομή Β → Α το έργο της Fs είναι θετικό W2 = kx2/2. A B k m Θεωρήστε σύστημα μάζας m-ελατηρίου σταθεράς k. Η μάζα κινείται με αρχική ταχύτητα vo στο σημείο A. Υπό την επίδραση της δύναμης του ελατηρίου, η μάζα επιβραδύνεται και σταματά στιγμιαία στο σημείο B το οποίο αντιστοιχεί σε συμπίεση του ελατηρίου κατά x. Κατόπιν η μάζα αλλάζει φορά κίνησης και ξαναπερνά από το A με ταχύτητα ίση με την αρχική της vo. Κατά την διάρκεια της διαδρομής Α → Β, η δύναμη του ελατηρίου Fs παράγει αρνητικό έργο W1 = -kx2/2 . Ενέργεια μεταφέρεται από την κινητική ενέργεια της μάζας και αποθηκεύεται σε ένα είδος ενέργειας του συστήματος μάζας-ελατηρίου. Κατά την διαδρομή Β → Α το έργο της Fs είναι θετικό W2 = kx2/2. Ενέργεια μεταφέρεται από την αποθηκευμένη ενέργεια του συστήματος μάζας-ελατηρίου στην κινητική ενέργεια της μάζας.

O x . xi xf F(x) Γενικά αν μια δύναμη κινεί σώμα κατά μήκος ενός άξονα x από μια αρχική θέση xi σε μια τελική θέση xf παράγει έργο: Αν η δύναμη είναι συντηρητική, το έργο που παράγεται μπορεί να αποθηκευτεί σαν ενέργεια του συστήματος που ονομάζεται Δυναμική U. H δυναμική ενέργεια ορίζεται από την αντίστοιχη μεταβολή της ΔU που προκύπτει από την αλληλεπίδραση δύο ή περισσοτέρων σωμάτων του συστήματος ως: ΔU= -W

. Βαρυτική Δυναμική Ενέργεια: O y . yi yf mg dy m Βαρυτική Δυναμική Ενέργεια: Σώμα μάζας m κινείται κατακόρυφα από σημείο yi σε σημείο yf. Η μεταβολή της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας δίνεται από: Καθώς μόνο οι μεταβολές της δυναμικής ενέργειας έχουν φυσική σημασία, μπορούμε να ορίσουμε αυθαίρετα το σημείο αναφοράς Ui στο σημείο yi. H επιλογή που μας βολεύει συνήθως είναι Ui = 0 για yi = 0. Tότε η δυναμική ενέργεια σε ένα σημείο y ορίζεται ως:

Θεωρούμε σύστημα μάζας-ελατηρίου Θεωρούμε σύστημα μάζας-ελατηρίου. Το σώμα κινείται από σημείο xi σε σημείο xf. Τότε η μεταβολή δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου δίνεται από: O (b) xi x (c) xf (a) Και πάλι ορίζουμε το σημείο αναφοράς για την δυναμική ενέργεια αυθαίρετα. Βολεύει η επιλογή Ui=0 για xi=0 (φυσικό μήκος του ελατηρίου). Τότε η δυναμικής ενέργεια του ελατηρίου σε επιμήκυνση/συμπίεση x δίνεται από:

O x . x + Δx F A B Σώμα κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση άγνωστης συντηρητικής δύναμης F(x). Θεωρήστε ότι γνωρίζουμε σε κάθε σημείο x την δυναμική ενέργεια U(x) λόγω της δύναμης F. To σώμα υπό την επίδραση της δύναμης F μετατοπίζεται κατά Δx από το σημείο Α στο Β. Η δύναμη F παράγει έργο To έργο μεταβάλλει την δυναμική ενέργεια U(x) κατά ΔU = -W Επομένως

Η μηχανική ενέργεια συστήματος ορίζεται ως το άθροισμα της δυναμικής και κινητικής ενέργειας του συστήματος: Eμηχ= Κ +U Αν ισχύουν τα εξής: 1.To σύστημα είναι απομονωμένο δηλαδή δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις 2. Όλες οι εσωτερικές δυνάμεις είναι συντηρητικές ▪ Τότε το ολικό έργο των εσωτερικών δυνάμεων του συστήματος μεταβάλλουν την κινητική ενέργεια κατά ΔΚ, όπου ΔΚ = W ▪ To ίδιο έργο μεταβάλλει την δυναμική ενέργεια του συστήματος κατά ΔU = -W Επομένως ΔΕμηχ = ΔΚ + ΔU = 0, δηλαδή η Εμηχ. διατηρείται Στην περίπτωση συστήματος στο οποίο οι εσωτερικές δυνάμεις είναι συνδυασμός συντηρητικών και μη-συντηρητικών δυνάμεων η αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας παίρνει την μορφή ΔΕμηχ= Wμη-συντ. όπου Wμη-συντ.είναι το έργο των μη-συντηρητικών δυνάμεων του συστήματος

Έστω η Δυναμική Ενέργεια U(x) του σχήματος Έστω η Δυναμική Ενέργεια U(x) του σχήματος. Η μελέτη της συνάρτησης U(x) μπορεί να δώσει πληροφορίες για την κίνηση σώματος H πρώτη παράμετρος που μπορεί να προσδιοριστεί είναι η δύναμη F(x), η οποία ορίζεται ως η κλίση της καμπύλης U(x) σε κάθε σημείο x: Στο παράδειγμα του σχήματος στα x2 , x3 και x4 η F = 0 Η κλίση dU/dx ανάμεσα στα x3 και x4 είναι αρνητική. Επομένως F > 0 σε αυτό το διάστημα. Η κλίση dU/dx ανάμεσα στα x2 και x3 είναι θετική. Επομένως F < 0 σε αυτό το διάστημα.

Η ολική μηχανική ενέργεια στο παράδειγμα του σχήματος είναι σταθερή και ίση με Εμηχ = Κ(x) + U(x) = 5 J. H κινητική ενέργεια Κ του σώματος δεν μπορεί να είναι αρνητική. Επομένως η σχέση Κ(x) = Εμηχ - U(x) επιτρέπει να ορίσουμε τις επιτρεπόμενες περιοχές κίνησης του σώματος: K > 0 → U(x) < Eμηχ → κίνηση του σώματος επιτρέπεται K < 0 → U(x) > Eμηχ → κίνηση του σώματος απαγορεύεται Tα σημεία στα οποία Εμηχ. = U(x) ονομάζονται σημεία αναστροφής Σε αυτά τα σημεία Κ = 0 και η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται

Έστω Eμηχ = 4 J. Τα σημεία αναστροφής (Eμηχ = U ) είναι τα x1 και x5. Κίνηση επιτρέπεται για x5 ≥ x ≥ x1 . Σημεία Ισορροπίας: Θέση στην οποία η κλίση dU/dx = 0 και επομένως F = 0. ▪ Ευσταθής Ισορροπία: Το σημείο x4, η U έχει τοπικό ελάχιστο. Εάν μετατοπίσουμε ελάχιστα σώμα από το x4 η δύναμη τείνει να επαναφέρει το σώμα στην κατάσταση ισορροπίας. ▪ Ασταθής Ισορροπία: Το σημείο x3, η U έχει τοπικό μέγιστο. Εάν μετατοπίσουμε ελάχιστα σώμα από το x3 η δύναμη τείνει να απομακρύνει το σώμα από την κατάσταση ισορροπίας. ▪ Αδιάφορη Ισορροπία: H περιοχή x >x5. Σε αυτήν, εάν μετατοπίσουμε ελάχιστα ένα σώμα δεν ασκείται δύναμη σε αυτό.

Έργο που παράγει εξωτερική δύναμη σε σύστημα Έστω σύστημα που αποτελείται από μπάλα του μπέιζμπολ και την γη.΄Εστω ότι ασκείται δύναμη στην μπάλα από έναν παίκτη που την χτυπά με το μπαστούνι του. Αυτή η δύναμη είναι μια εξωτερική δύναμη στο σύστημά μας. Σε αυτή την περίπτωση η μηχανική ενέργεια του συστήματος Emec δεν είναι σταθερή. Αντίθετα μεταβάλλεται κατά ποσό ίσο με το έργο W που παράγει η εξωτερική δύναμη:

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ: 1. Εκτιμήστε αν το πρόβλημα λύνεται ευκολότερα με ενέργειες ή δυνάμεις ή συνδυασμό τους. Η ενεργειακή αντιμετώπιση συνήθως συμφέρει όταν το πρόβλημα περιλαμβάνει μεταβλητές δυνάμεις ή καμπύλες τροχιές. Αν το πρόβλημα εμπεριέχει χρόνους συνήθως είναι απλούστερη η λύση του με δυνάμεις καθώς οι ενέργειες δεν εμπεριέχουν απευθείας τον χρόνο. 2.Ορίστε τα σώματα που αποτελούν το σύστημά σας. 3. Αναγνωρίστε τις δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ σωμάτων στο σύστημά σας (εσωτερικές) και τις δυνάμεις που ασκούνται εκτός (εξωτερικές) 4. Αναγνωρίστε τις συντηρητικές και μη-συντηρητικές δυνάμεις του συστήματός σας 5. Ορίστε το σημείο αναφοράς της δυναμικής ενέργειας (U=0) και σχεδιάστε τους άξονες συντεταγμένων ως προς αυτό 6. Εφαρμόστε κατάλληλα την ΑΔΜΕ

Παράδειγμα Άνθρωπος τροχοδρομεί σε skateboard κατά μήκος της διαδρομής του σχήματος, το οποίο αποτελεί ένα τεταρτημόριο κύκλου ακτίνας R. H ολική μάζα ανθρώπου και skateboard είναι m. Ο άνθρωπος ξεκινά από την ηρεμία στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς και κινείται χωρίς τριβή στη διαδρομή. (α) Ποιο το μέτρο της ταχύτητάς του ανθρώπου+skateboard στο χαμηλότερο σημείο της τροχιάς τους (β) Ποια η αντίδραση του εδάφους στον άνθρωπο+skateboard στο χαμηλότερο σημείο της τροχιάς τους Μας συμφέρει να λύσουμε το πρόβλημα με ενέργειες λόγω της καμπυλότητας της τροχιάς Σύστημα: Άνθρωπος+skateboard+γη (a) Κ1 = 0, U1 = mgR, Κ2 = ½ m v2, U2 = 0 (b) 2os Νόμος Νεύτωνα Άσκηση Στο προηγούμενο παράδειγμα θεωρήστε ότι υπάρχει τριβή ανάμεσα στο skateboard και το πάτωμα. Αν R = 3 m και v2 = 6 m/s προσδιορίστε το έργο που παρήγαγε η τριβή

Παράδειγμα Στο σχήμα μάζα κινείται σε οριζόντια αεροτροχιά και είναι συνδεδεμένη με ελατήριο σταθεράς k=5N/m. Τραβάτε την μάζα κατά 0.1 m (σημείο 1) και την αφήνετε από την ηρεμία. Ποια η ταχύτητα της μάζας όταν η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι x=0.08m; Άσκηση Θεωρήστε ότι η μάζα του σχήματος ηρεμεί σε σημείο στο οποίο το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε σταθερή δύναμη F, προς την +x διεύθυνση, μέτρου 0,61 Ν. (α) Ποια η ταχύτητα της μάζας στη θέση x = 0.1 m; (β) Αν η δύναμη F πάψει να ασκείται τότε πόση επιπλέον απόσταση καλύπτει η μάζα πριν σταματήσει στιγμιαία;

Παράδειγμα U1=0 WF= F·Δy= -51,000J Σχοινί που τραβά ανελκυστήρα μάζας 2000 kg, κόβεται και ο ανελκυστήρας πέφτει σε ελατήριο που απορροφά μέρος της πτώσης. Το ελατήριο συμπιέζεται κατά 3 m, ενώ αμέσως πριν χτυπήσει το ελατήριο ο ανελκυστήρας είχε αποκτήσει ταχύτητα 25 m/s. Ένας σφιγκτήρας ασφαλείας ασκεί επίσης σταθερή δύναμη 17000 Ν για να μετριάσει την πτώση. Ποια η σταθερά του ελατηρίου; U1=0 WF= F·Δy= -51,000J Άσκηση: Τι θα συμβεί στον ανελκυστήρα αφού συμπιέσει το ελατήριο; Είναι σχεδιασμένο σωστά ώστε 6 άνθρωποι με μάζα 500 kg που επιβαίνουν στον ανελκυστήρα να είναι ασφαλείς;

Παράδειγμα 6