ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 2ο Λύκειο Αγίας Βαρβάρας ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Έστω ένα υλικό σημείο μάζας m , που στρέφεται περί άξονα κάθετο στην τροχιά του. R Αν F , η επιτρόχιος δύναμη που δέχεται , και α η επιτρόχιος επιτάχυνσή του τότε : Όπου τ η ροπή της F, Ι η ροπή αδράνειας και α η γωνιακή επιτάχυνση.

Η διεύθυνση και φορά της ροπής είναι : Η διεύθυνση και φορά της γωνιακής επιτάχυνσης είναι : R Συνεπώς ισχύει ότι :

Αν τώρα έχουμε ένα στερεό σώμα , θεωρούμε ότι αυτό αποτελείται από υλικά σημεία m1 , m2 , …., mi . Όλα αυτά έχουν ίδια γωνιακή ταχύτητα και ίδια γωνιακή επιτάχυνση αγ . Για το m1 : r1 m1 r2 m2 ri mi Για το m2 : ….. Για το mi : Αθροίζοντας έχω :

Προσέξατε την αναλογία : και Η δύναμη προκαλεί επιτάχυνση. Η ροπή προκαλεί γωνιακή επιτάχυνση.

Αν σε κάποιο πρόβλημα ένα σώμα εκτελεί στροφική κίνηση περί ακλόνητο άξονα , τότε σημειώνουμε τις δυνάμεις που δέχεται και εφαρμόζουμε γι’ αυτές τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης. Αν οι δυνάμεις είναι ομοεπίπεδες ( συνήθως είναι ) , η παραπάνω σχέση γίνεται : Όπου Στ , το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς τον εν λόγω άξονα. Το Ι είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα και όχι κατ’ ανάγκην ως προς το κέντρο μάζας.

Εφαρμογή 1 h m M Το σώμα μάζας m = 1 kg , κρέμεται σε σκοινί τυλιγμένο σε τροχαλία μάζας Μ = 2 kg και ακτίνας R = 0,2 m Α.Βρείτε την επιτάχυνση του σώματος και την γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας . Β. Την γωνιακή ταχύτητα και το πλήθος των περιστροφών της τροχαλίας την στιγμή που το σώμα έχει μετατοπιστεί κατά 2,5 m

Α.Σημειώνουμε τις δυνάμεις στο σώμα και την τροχαλία, ( Δεν σημειώνουμε το βάρος της τροχαλίας και την δύναμη του άξονα διότι δεν έχουν ροπή. ) m M R Τ Τ ( 1 ) mg

mg – T = m.α ( 2 ) Για το κρεμασμένο σώμα ισχύει : m M R Τ mg

h Β. Όταν το σώμα έχει πέσει h = 2,5 m ισχύει : M Ο αριθμός των περιστροφών ισούται : Το Δφ μπορούσε να υπολογιστεί και ως :

Αν ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση τότε : 1. Σημειώνουμε τις δυνάμεις σε κάθε σώμα του προβλήματος. 2. Παίρνουμε δύο κάθετους άξονες , xx΄ και yy΄ , έτσι ώστε η μεταφορική κίνηση να πραγματοποιείται στον ένα από αυτούς ( πχ στον xx΄ ) 3. Αναλύουμε τις δυνάμεις στους άξονες . 4. Απαιτούμε : και Την τελευταία την εφαρμόζουμε συνήθως στο κέντρο μάζας. Τις περισσότερες φορές ισχύει : 5. Λύνουμε το σύστημα.

Εφαρμογή 2 Ο , αρχικά ακίνητος ,τροχός του σχήματος , μάζας 2 kg και ακτίνας 1m , δέχεται στο κέντρο του σταθερή οριζόντια δύναμη 3 Ν. Βρείτε την ταχύτητα που θ’ αποκτήσει και την μετατόπισή του σε 5 s. Βρείτε επίσης την τριβή από το οριζόντιο δάπεδο και συγκρίνατέ την με την τιμή μ.Ν . (μ = 0,5 )

Σημειώνουμε και τις άλλες δυνάμεις. ( 1 )

Στο σημείο επαφής Ο , απαιτούμε : ( 2 ) + Ο

Έχουμε λοιπόν : ( 1 ) ( 2 ) Ο

Ο

Η τριβή τώρα : ( 2 ) Όμως μ.Ν = 0,5.20 Ν = 10 Ν Η τριβή λοιπόν που υπολογίσαμε είναι στατική Ο

Μια διαφορετική προσέγγιση Μπορούμε να θεωρήσουμε για μια στιγμή το σημείο Ο ακίνητο. Ο

Μια διαφορετική προσέγγιση Τότε κάθε σημείο του τροχού στρέφεται περί το Ο με γωνιακή επιτάχυνση όση υπολογίσαμε πριν. Ο

Μια διαφορετική προσέγγιση Λύνουμε το πρόβλημα σαν πρόβλημα στροφικής κίνησης πολύ απλούστερα Ο

Μια διαφορετική προσέγγιση Σ ’ αυτήν την περίπτωση ροπή αδράνειας βάζουμε την ροπή αδράνειας ως προς το Ο. Ο

Ο Τελειώσαμε.

Πατήστε επάνω μου. Ο

Εφαρμογή 3 Ένα ομογενές σώμα αφήνεται , χωρίς αρχική ταχύτητα, σε κεκλιμένο επίπεδο στο οποίο κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του ; Ν φ m.g.ημφ m.g.συνφ m.g Τ

Συμπέρασμα Όσο μεγαλύτερο το πηλίκο : τόσο μικρότερη η επιτάχυνση και επομένως μεγαλύτερη η διάρκεια της κίνησης.

Ποια επιτάχυνση θα είχαν οι σφαίρες αν ημφ = 0,14 ;