Διπλωματική εργασία του Τζίφα Νικολάου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ- ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Διαπανεπιστημιακό –Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ » Η αξιολόγηση της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης: Επίπεδα van Hiele και διδακτικές προσεγγίσεις με χρήση λογισμικού Διπλωματική εργασία του Τζίφα Νικολάου

Η γεωμετρική σκέψη μέσα και έξω από το σχολείο Αφορμή Η γεωμετρία και τα προβλήματα στη χρήση αναλυτικών-συνθετικών και αποδεικτικών μοντέλων από τους μαθητές Η γεωμετρική σκέψη μέσα και έξω από το σχολείο Τζίφας Νίκος

Θεωρία Van Hiele’s Πέντε επίπεδα γεωμετρικής σκέψης 1ο : αναγνώριση (recognition) 2ο : ανάλυση (analysis) 3ο : διάταξη (order) 4ο : παραγωγικός συλλογισμός (deduction) 5ο : αυστηρότητα (rigor) Ύπαρξη και άλλου επιπέδου (Clements & Battista 1990) 0 : προ-αναγνώρισης Τζίφας Νίκος

Θεωρία Van Hiele’s Σταθερή αλληλουχία (fixed sequence) Πέντε ιδιότητες της θεωρίας Σταθερή αλληλουχία (fixed sequence) Διαδοχικότητα (adjacency) Διάκριση (distinction) Διαχωρισμός (separation) Επίτευξη (attainment) Τζίφας Νίκος

Πέντε φάσεις επίτευξης Διερεύνηση (inquiry) Θεωρία Van Hiele’s Πέντε φάσεις επίτευξης Διερεύνηση (inquiry) Καθοδηγούμενος προσανατολισμός (directed orientation) Επεξήγηση (explanation) Ελεύθερος προσανατολισμός (free orientation) Ολοκλήρωση (integration) Τζίφας Νίκος

Σχεδιασμός έρευνας-μεθοδολογία Στόχος: να εξετάσει αν τα αποτελέσματα αντίστοιχης έρευνας από τον καθηγητή του Πανεπιστημίου του Σικάγο, Zalman Usiskin (1982) στην Αμερική θα παρατηρηθούν και στην Ελλάδα σύμφωνα με το κριτήριο της επαναληψημότητας του Alan Schoenfeld Ερωτηματολόγιο: μεταφράστηκε στα Ελληνικά από τον ερευνητή, με βάση το τροποποιημένο τεστ Van Hiele του Usiskin (1982) και περιελάμβανε είκοσι ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών Τζίφας Νίκος

Σχεδιασμός έρευνας-μεθοδολογία Πληθυσμός: μαθητές Γ΄ Γυμνασίου Α΄& Β΄ Λυκείου δημόσιων και ιδιωτικών σχολείων Δείγμα: 1838 μαθητές Σχολεία: 45 Γυμνάσια και Λύκεια της χώρας Χρόνος διεξαγωγής: 27/01/2005-21/04/2005 Τζίφας Νίκος

Σχεδιασμός έρευνας-μεθοδολογία Τα κριτήρια που χρησιμοποιήθηκαν ήταν το 3-5, δηλαδή 3 σωστές απαντήσεις από τις 5 ερωτήσεις κάθε επιπέδου, το ελαστικό και το 4-5, δηλαδή 4 σωστές απαντήσεις από τις 5 ερωτήσεις κάθε επιπέδου, το αυστηρό Λειτουργικοί ορισμοί της κυριάρχησης ενός επιπέδου και της κατάταξης σε ένα επίπεδο Τζίφας Νίκος

Σχεδιασμός έρευνας-μεθοδολογία 2 1 και 2 κανένα επίπεδο 1, 3 και 4 Τζίφας Νίκος

Σχεδιασμός έρευνας-μεθοδολογία Τζίφας Νίκος

Σχεδιασμός έρευνας-μεθοδολογία Για την αξιολόγηση της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών αντιστοιχίσαμε σε κάθε μαθητή με βάση τις απαντήσεις του στο τεστ van Hiele ένα σταθμισμένο άθροισμα βαθμολογίας με τον ακόλουθο τρόπο: 1,2,4 και 8 βαθμούς για την ικανοποίηση του κριτηρίου στα επίπεδα 1, 2, 3 και 4 δηλαδή στα θέματα 1–5, 6–10, 11–15 και 16–20 αντίστοιχα. Το σταθμισμένο αυτό άθροισμα χρησιμοποιήθηκε για τον έλεγχο της βελτίωσης του επιπέδου γεωμετρικής σκέψης από τάξη σε τάξη Τζίφας Νίκος

Σχεδιασμός έρευνας-μεθοδολογία Ερευνητικά Ερωτήματα Πως κατανέμονται οι μαθητές των συγκεκριμένων τάξεων σε επίπεδα γεωμετρικής σκέψης Αν οι περισσότεροι μαθητές στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση στην Ελλάδα κατανέμονται στα επίπεδα 1 και 2 της θεωρίας. Αν υπάρχουν διαφορές λόγω φύλου στα επίπεδα των μαθητών. Αν υπάρχει βελτίωση των επιπέδων των μαθητών στις μεταβάσεις από τάξη σε τάξη. Αν υπάρχει διαφορά μεταξύ δημοσίων και ιδιωτικών σχολείων στην κατάταξη σε επίπεδα γεωμετρικής σκέψης των μαθητών. Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα Κατανομή συχνοτήτων για τα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης με το ελαστικό και το αυστηρό κριτήριο επίπεδα Τζίφας Νίκος

ΣΧ.ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ % Αποτελέσματα Αθροιστική κατανομή συχνοτήτων για τα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης με το ελαστικό και το αυστηρό κριτήριο ΠΟΣΟΣΤΟ% ΜΕ ΤΟ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΣΧ.ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ % ΠΟΣΟΣΤΟ% ΜΕ ΤΟ ΑΥΣΤΗΡΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 0 4,1 14,9 ΕΠΙΠΕΔΟ 1 26,1 30,2 43,2 58,1 ΕΠΙΠΕΔΟ 2 22,5 52,7 17,4 75,5 ΕΠΙΠΕΔΟ 3 22,4 75,1 11,1 86,6 ΕΠΙΠΕΔΟ 4 9,2 84,3 1,6 88,2 ΚΑΝΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 15,7 100 11,8 48,6% 60,6% Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα Κατανομή συχνοτήτων για τα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης ανά τάξη με το ελαστικό κριτήριο ΤΑΞΗ επίπεδα ΚΑΝΕΝΑ Ο 1 2 3 4 ΣΥΝΟΛΟ Γ ΓΥΜΝ πλήθος 70 27 175 84 52 11 419 % τάξη 16,7% 6,4% 41,8% 20,0% 12,4% 2,6% 100% % ελαστικού 24,3% 35,5% 36,5% 20,3% 12,7% 6,5% 22,8% % του όλου 3,8% 1,5% 9,5% 4,6% 2,8% 0,6% Α ΛΥΚ 114 35 184 181 192 58 764 14,9% 24,1% 23,7% 25,1% 7,6% 39,6% 46,1% 38,3% 43,8% 46,7% 34,1% 41,6% 6,2% 1,9% 10,0% 9,8% 10,4% 3,2% Β ΛΥΚ Πλήθος 104 14 121 148 167 101 655 15,9% 2,1% 18,5% 22,6% 25,5% 15,4% 36,1% 18,4% 25,2% 35,8% 40,6% 59,4% 35,6% 5,7% 0,8% 6,6% 8,1% 9,1% 5,5% 288 76 480 413 411 170 1838 15,7% 4,1% 26,1% 22,5% 22,4% 9,2% 61,8% 47,8% 41,1% 48,6% Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα Κατανομή συχνοτήτων για τα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης ανά τάξη με το αυστηρό κριτήριο ΤΑΞΗ επίπεδα ΚΑΝΕΝΑ Ο 1 2 3 4 ΣΥΝΟΛΟ Γ ΓΥΜΝ πλήθος 42 84 232 52 9 419 % τάξη 10,0% 20,0% 55,4% 12,4% 2,1% 0% 100% % αυστηρού 19,4% 30,8% 29,2% 16,3% 4,4% 22,8% % του όλου 2,3% 4,6% 12,6% 2,8% 0,5% Α ΛΥΚ 82 114 341 139 86 764 10,7% 14,9% 44,6% 18,2% 11,3% 0,3% 37,8% 41,8% 42,9% 43,4% 42,2% 6,7% 41,6% 4,5% 6,2% 18,6% 7,6% 4,7% 0,1% Β ΛΥΚ Πλήθος 93 75 221 129 109 28 655 14,2% 11,5% 33,7% 19,7% 16,6% 4,3% 27,5% 27,8% 40,3% 53,4% 93,3% 35,6% 5,1% 4,1% 12,0% 7,0% 5,9% 1,5% 217 273 794 320 204 30 1838 11,8% 43,2% 17,4% 11,1% 1,6% 77,8% 62,8% 53,4% 60,8% Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα Ανάλυση του κάθε επιπέδου από το ένα κριτήριο στα επίπεδα του άλλου κριτηρίου: έλεγχος σταθερότητας κριτηρίου 4.2% 4.0% 19.8% 8.5% 7.5% 1.6% 45.6% Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα Σχέση ανάμεσα στην κατανομή της γεωμετρικής σκέψης για τα επίπεδα van Hiele και το φύλο των μαθητών Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα Ύπαρξη σχέσης μεταξύ σταθμισμένου αθροίσματος βαθμολογίας κάθε μαθητή του δείγματος και της τάξης που φοιτά με ανάλυση διασποράς (ANOVA) Ελαστικό Αυστηρό Άθροισμα τετραγώνων df Μέσος τετραγώνων F Sign. Μεταξύ Τάξεων Εντός ομάδας Συνολικά 1610,278 32524,251 34134,529 2 1835 1837 805,139 17,724 45,426 ,000 1041,518 14433,959 15475,476 520,759 7,866 66,204 Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα Ύπαρξη σχέσης μεταξύ σταθμισμένου αθροίσματος βαθμολογίας κάθε μαθητή του δείγματος και της τάξης που φοιτά με το ελαστικό κριτήριο ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΌ ΤΑΞΗ ΣΕ ΤΑΞΗ ΔΙΑΦΟΡΑΜΕΣΟΥ ΣΦΑΛΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤ Δ.Ε. 95% κάτω όριο πάνω όριο Scheffe Γ ΓΥΜΝ Α ΛΥΚ -1,327* 0,256 0,000 -1,95 -0,70 Β ΛΥΚ -2,497* 0,263 -3,14 -1,85 1,327* 0,70 1,95 -1,170* 0,224 -1,72 0,62 2,497* 1,85 3,14 1,170* 1,72 Bonferroni -1,94 -0,71 -3,13 -1,87 0,71 1,94 -1,71 -0,63 1,87 3,13 0,63 1,71 * Επίπεδο σημαντικότητας 0,05 Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα Ύπαρξη σχέσης μεταξύ σταθμισμένου αθροίσματος βαθμολογίας κάθε μαθητή του δείγματος και της τάξης που φοιτά με το αυστηρό κριτήριο ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΠΌ ΤΑΞΗ ΣΕ ΤΑΞΗ ΔΙΑΦΟΡΑΜΕΣΟΥ ΣΦΑΛΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤ Δ.Ε. 95% κάτω όριο πάνω όριο Scheffe Γ ΓΥΜΝ Α ΛΥΚ -0,939* 0,170 0,000 -1,36 -0,52 Β ΛΥΚ -1,986* 0,175 -2,42 -1,56 0,939* 0,52 1,36 -1,048* 0,149 -1,41 -0,68 1,986* 1,56 2,42 1,048* 0,68 1,41 Bonferroni -1,35 -0,53 -2,41 -1,57 0,53 1,35 -0,69 1,57 2,41 0,69 * Επίπεδο σημαντικότητας 0,05 Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα Ύπαρξη σχέσης μεταξύ δημόσιου ή ιδιωτικού σχολείου και του επιπέδου κατάταξης των μαθητών του δείγματος Μεταξύ των μεταβλητών σχολείο δημόσιο ή ιδιωτικό και επίπεδο κατάταξης γεωμετρικής σκέψης των μαθητών με οποιοδήποτε κριτήριο ελαστικό ή αυστηρό βρέθηκε για τα σχολεία της έρευνας ότι υπάρχει εξάρτηση η οποία προέκυψε από έλεγχο χ2 (χ2=25,528, p<0.05, χ2=20,915 και p=0,001<0,05) Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα για τις ερωτήσεις των επιπέδων Υπάρχει ένα ποσοστό των μαθητών (11,6%) που θεωρεί, ότι ένα ορθογώνιο είναι και τετράγωνο. Στην έρευνα του Usiskin (1982) το ποσοστό αυτό των μαθητών δηλαδή αυτών που θεωρούν ότι ένα ορθογώνιο είναι και τετράγωνο είναι 10% (Usiskin (1982 σελ.58). Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα για τις ερωτήσεις των επιπέδων Το ένα τρίτο των μαθητών δεν γνωρίζει ότι τα ισοσκελή τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες. Ο Usiskin (1982) στην ερευνά του ισχυρίζεται και αυτός το ίδιο (σελ.58). Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα για τις ερωτήσεις των επιπέδων Στις ερωτήσεις λογικής το ποσοστό των μαθητών που δεν απάντησε σωστά είναι πάνω από 50%, δηλαδή περισσότεροι από τους μισούς. Ο Usiskin (1982) αναφέρει και αυτός ότι στην ερευνά του περισσότεροι από τους μισούς μαθητές δεν απάντησαν σωστά σε αυτές τις ερωτήσεις (λογικής), (σελ.58). Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα για τις ερωτήσεις των επιπέδων Ένα μεγάλο ποσοστό των μαθητών (21,2%) θεωρεί ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο δεν μπορεί να θεωρείται και ισοσκελές. Τζίφας Νίκος

Αποτελέσματα για τις ερωτήσεις των επιπέδων Μόνο το 32,8% των μαθητών μπορούν να διατάξουν απλές προτάσεις. Στην έρευνά του ο Usiskin διαπιστώνει και αυτός ότι μόνο το 28% των μαθητών μπορούν να διατάξουν απλές προτάσεις (σελ.59). Τζίφας Νίκος

Συμπεράσματα Πάνω από τα δύο τρίτα των μαθητών του δείγματος απάντησαν στις ερωτήσεις των τεστ με τρόπους που καθιστούν εφικτή την αντιστοίχιση κάποιου επιπέδου van Hiele σ΄ αυτούς. (U-65%) Τζίφας Νίκος

Συμπεράσματα Από τους μαθητές του δείγματος στους οποίους αντιστοιχίζονται τροποποιημένα επίπεδα van Hiele και με τα δύο κριτήρια, μόνο το 45,6%, έχουν το ίδιο επίπεδο σύμφωνα και με τα δύο κριτήρια. (U-52%) Τζίφας Νίκος

Συμπεράσματα Το 48,6% των μαθητών του δείγματος με το ελαστικό κριτήριο και το 60,6% με το αυστηρό κριτήριο βρίσκεται στα επίπεδα 1 και 2. (U >50%) Τζίφας Νίκος

Συμπεράσματα Δεν διαπιστώθηκαν διαφορές λόγω φύλου στα επίπεδα van Hiele των μαθητών μέσω των δύο κριτηρίων, αυστηρού-ελαστικού Τζίφας Νίκος

Συμπεράσματα Οι μαθητές των ιδιωτικών σχολείων του δείγματος φαίνεται να βρίσκονται σε υψηλότερα επίπεδα γεωμετρικής σκέψης της θεωρίας Van Hiele’s σε σχέση με τους μαθητές των δημόσιων σχολείων του δείγματος Τζίφας Νίκος

Συμπεράσματα Υπάρχει βελτίωση των επιπέδων van Hiele των μαθητών του δείγματος στις μεταβάσεις από τη μία τάξη στην άλλη λόγω της υπάρχουσας διδασκαλίας της γεωμετρίας στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση στην Ελλάδα παρότι αυτή δεν είναι σύμφωνη με την θεωρία van Hiele’s. Η βελτίωση αυτή δεν φαίνεται να είναι όμως η αναμενόμενη, δηλαδή οι περισσότεροι μαθητές δε φτάνουν στο κατάλληλο επίπεδο, το 4ο της θεωρίας, που απαιτείται για να κατανοήσουν τη διδασκόμενη στο Λύκειο Ευκλείδεια Γεωμετρία Τζίφας Νίκος

Προτάσεις Μία πρόωρη επέμβαση με την χρήση της τεχνολογίας μπορεί να παρέχει στους μαθητές τα επαγωγικά εργαλεία που χρειάζονται για να βελτιώσουν το επίπεδο γεωμετρικής σκέψης πριν αντιμετωπίσουν τις παραγωγικές αποδείξεις. Τζίφας Νίκος

Προτάσεις Με την ύπαρξη και τη χρήση λογισμικών δυναμικής γεωμετρίας η προσέγγιση και ο προσανατολισμός της διδασκαλίας της Γεωμετρίας μπορεί γίνει αντικείμενο μελλοντικής συζήτησης Τζίφας Νίκος

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΟΥ ΣΤΑΔΙΟΥ ΤΗΣ ΕΠΙΤΕΥΞΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΔΥΟ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ ΕΚΜΑΘΗΣΗΣ ΕΠΙΠΕΔΟ 1 ΕΠΙΠΕΔΟ 2 ΕΠΙΠΕΔΟ 3 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΚΜΑΘΗΣΗΣ 1 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΚΜΑΘΗΣΗΣ 2 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΟΜΕΝΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΕΛΕΥΘΕΡΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Τζίφας Νίκος

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΟΥ ΣΤΑΔΙΟΥ ΤΗΣ ΕΠΙΤΕΥΞΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΔΥΟ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Περίοδος 1η Οι μαθητές μετακινούνται από το επίπεδο 1 προς το επίπεδο 2 της γεωμετρικής σκέψης. Οι στόχοι της διδασκαλίας κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου αποτελούνται από τις ιδιότητες των μεμονωμένων σχημάτων. Παραδείγματος χάριν, οι μαθητές αρχίζουν να αναγνωρίζουν ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο περιέχει τρεις ίσες πλευρές και έχει τρία ύψη που είναι άξονες συμμετρίας για κάθε πλευρά. Πρώτη φάση: Διερεύνηση Δραστηριότητα : σχήμα 17 Τα υλικά σχετικά με το επίπεδο 1 της μελέτης παρουσιάζονται στους μαθητές, δεδομένου ότι η προαπαιτούμενη γνώση στην περίοδο 1 είναι ότι οι μαθητές που λειτουργούν σε αυτό το επίπεδο μπορούν να μάθουν το γεωμετρικό λεξιλόγιο, μπορούν να προσδιορίσουν τις διευκρινισμένες μορφές, και λαμβάνοντας υπόψη έναν σχήμα, μπορούν να το αναπαραγάγουν. Τζίφας Νίκος

Πρώτη φάση: Διερεύνηση Παραδείγματος χάριν, λαμβάνοντας υπόψη τις εικόνες στο σχήμα, ένας μαθητής θα ήταν σε θέση να κατανοήσει ότι υπάρχουν ισοσκελή τρίγωνα στο (a), ισόπλευρα τρίγωνα στο (b), και ορθογώνια τρίγωνα στο (c) Σχήμα : Δώστε σε κάθε ομάδα ένα όνομα Τζίφας Νίκος

Δεύτερη φάση: Κατευθυνόμενος προσανατολισμός Δραστηριότητες : Οι μαθητές αρχίζουν να ερευνούν μέσω των προσεκτικά κατασκευασμένων σχημάτων. Η ερώτηση που τους τίθεται στο διπλανό σχήμα είναι : Βρείτε τη γραμμή συμμετρίας σε κάθε σχήμα. Τζίφας Νίκος

Δεύτερη φάση: Κατευθυνόμενος προσανατολισμός Οι μαθητές προσπαθούν να συνδέσουν έναν άξονα συμμετρίας με τις διάφορες μορφές των τριγώνων Σχήμα : Ισοσκελή, ισόπλευρα, ορθογώνια τρίγωνα Τζίφας Νίκος

Τρίτη φάση: Ερμηνεία Οι μαθητές και ο καθηγητής συμμετέχουν στη συζήτηση για τις ιδιότητες των τριγώνων Τζίφας Νίκος

Τέταρτη φάση: Ελεύθερος προσανατολισμός Σχήμα : Λαμβάνοντας υπόψη δύο κορυφές ενός τριγώνου, βρείτε την τρίτη. Δραστηριότητα : σχήμα Στους μαθητές δίνονται δύο κορυφές ενός τριγώνου ως περισσότερο ανοικτή δραστηριότητα που μπορεί να προσεγγιστεί από διάφορους διαφορετικούς τύπους λύσεων. Βρείτε την τρίτη κορυφή για να έχετε ένα α) ισοσκελές τρίγωνο β) ισόπλευρο τρίγωνο και γ) ορθογώνιο τρίγωνο. Τζίφας Νίκος

Πέμπτη φάση: Ολοκλήρωση Ο καθηγητής βοηθά το μαθητή να κάνει μια ανασκόπηση της μελέτης και να ενσωματώσει το περιεχόμενο που ερευνάται. Οι μαθητές συνοψίζουν όλες τις ιδιότητες που είναι σε θέση να διακρίνουν σε ένα τρίγωνο. Τζίφας Νίκος

ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΚΜΑΘΗΣΗΣ Περίοδος 2η Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου οι μαθητές κινούνται από το επίπεδο 2 προς το επίπεδο 3 της γεωμετρικής σκέψης. Οι στόχοι της διδασκαλίας είναι τα δίκτυα των σχέσεων και η διάταξη των ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων. Χρησιμοποιώντας τον άτυπο παραγωγικό συλλογισμό, οι μαθητές μπορούν να αποδείξουν τις σχέσεις. Τζίφας Νίκος

Πρώτη φάση: Διερεύνηση Δραστηριότητα : σχήμα Οι μαθητές χρησιμοποιούν τον άξονα συμμετρίας ενός ισοσκελούς (ή ισόπλευρου) τριγώνου για να κατασκευάσουν έναν τέτοιο σχήμα, όταν δίνεται η βάση ενός τριγώνου. Α Β Σχήμα : Ολοκλήρωση ενός τριγώνου Τζίφας Νίκος

Δεύτερη φάση: Κατευθυνόμενος προσανατολισμός Δραστηριότητες : α ) η τάξη εγκλεισμού μεταξύ των τριγώνων. Μπορούν τα ισοσκελή τρίγωνα να ονομαστούν ισόπλευρα τρίγωνα; Ή μπορούν τα ισόπλευρα τρίγωνα να ονομαστούν ισοσκελή τρίγωνα; Τι γίνεται με τα ορθογώνια τρίγωνα σε σχέση με τα άλλα τρίγωνα; β) Δώστε ορισμούς για όλα τα τρίγωνα συμπεριλαμβανομένων των ισοσκελών, ισόπλευρων, και σκαληνών τριγώνων Τζίφας Νίκος

Δεύτερη φάση: Κατευθυνόμενος προσανατολισμός Οι μαθητές καταλαβαίνουν ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι το μισό ενός τετράπλευρου. Τζίφας Νίκος

Τρίτη φάση: Ερμηνεία Οι μαθητές και ο καθηγητής συμμετέχουν στη συζήτηση για τις σχέσεις μεταξύ των τριών τριγώνων. Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα μπορούν να θεωρηθούν ότι είναι ισοσκελή τρίγωνα, αλλά τα ισοσκελή τρίγωνα δεν μπορούν να θεωρηθούν ότι είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο μπορεί να είναι ισοσκελές σε περίπτωση που δύο πλευρές είναι ίσες. Επίσης, οι μαθητές εξηγούν ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι πάντα 1/2*βάση*ύψος. Σχήμα : Είδη τριγώνων Τζίφας Νίκος

Τέταρτη φάση: Ελεύθερος προσανατολισμός Σχήμα : Σταθερό εμβαδόν των τριγώνων Τζίφας Νίκος

Πέμπτη φάση: Ολοκλήρωση Σαν ολοκλήρωση της διδασκαλίας για την περίοδο 2, ο καθηγητής βοηθά τους μαθητές να κάνουν μια ανασκόπηση της μελέτης και να ενσωματώσουν το περιεχόμενο που ερευνάται. Οι μαθητές συνοψίζουν όλες τις σχέσεις που λειτουργούν : είναι σε θέση να διακρίνουν τα τρίγωνα από τους ορισμούς, τις επιπτώσεις αυτών, τους εγκλεισμούς κατηγορίας, να διατυπώσουν το εμβαδόν ενός τριγώνου και το λόγο για τον οποίο τα εμβαδά των τριγώνων που έχουν το ίδιο ύψος και την ίδια βάση είναι ίσα. Τζίφας Νίκος

Ν. Τζίφας niktzifas@sch.gr Σας ευχαριστώ Ν. Τζίφας niktzifas@sch.gr Τζίφας Νίκος