ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Φυσική Α’ Λυκείου Κατεύθυνσης ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ http://users.dra.sch.gr/filplatakis

 Η έννοια της ενέργειας – Εισαγωγή (Ι) Όταν το 1867 ο Άγγλος Μαθηματικός και Φυσικός Ισαάκ Νεύτων δημοσίευσε, στο κλασικό βιβλίο του «Principia», τους νόμους της Μηχανικής, ένα τεράστιο παράθυρο άνοιγε στην επιστήμη της Φυσικής. Σύντομα όμως φάνηκε ότι οι έννοιες που χρησιμοποιούσε (θέση, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη κλπ.), βοηθούσαν τα μέγιστα στη μελέτη της μηχανικής, άλλα είχαν ένα μειονέκτημα: Ήταν διανυσματικά μεγέθη. Συνεπώς, εκτός από το μέτρο τους, θα πρέπει να υπολογίζουμε και την κατεύθυνση που έχουν. Πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να βρίσκουμε γωνίες, συνιστώσες κλπ. Με άλλα λόγια είναι «μπελαλίδικα» μεγέθη. Ήταν προφανές λοιπόν ότι η ανακάλυψη ενός μονόμετρου μεγέθους θα βοηθούσε τη μελέτη της Μηχανικής.

 Η έννοια της ενέργεια - Εισαγωγή (ΙΙ) Ήδη από την εποχή του Νεύτωνα (από τον Γερμανό Λάιμπνιτς) κυοφορούσε η ιδέα ενός μονόμετρου μεγέθους που θα καταδείκνυε την «ποσότητα της κίνησης» ενός σώματος (σε αντιπαράθεση με το διανυσματικό μέγεθος της ορμής του Νεύτωνα). Θα χρειαστεί όμως να έρθει ο 19ος αιώνας για να καθιερωθεί η έννοια της ενέργειας για ένα μέγεθος που είχε δύο πολύ βασικά χαρακτηριστικά:  Είναι μονόμετρο.  Μπορεί να αλλάζει μορφή, άλλα συνολικά η τιμή του παραμένει σταθερή Υπάρχουν διάφορα είδη ενέργειας: Θερμική, πυρηνική, χημική κ.α. Σ’ αυτό το κεφάλαιο θ’ ασχοληθούμε με ένα είδος ενέργειας: τη Μηχανική Ενέργεια που εμφανίζεται σε διάφορα φαινόμενα της καθημερινότητας μας.

 Η έννοια του έργου (§ 2.2.1) WF = Fx Για να γίνει κατανοητή η έννοια της ενέργειας στη Φυσική, θα πρέπει πρώτα να γίνει κατανοητή η έννοια του έργου. Στη καθομιλουμένη μπορεί να δίνουμε διάφορες έννοιες στη λέξη «έργο». Π.χ. το έργο που άφησε πίσω του ένα δημόσιο πρόσωπο, το έργο τέχνης ενός καλλιτέχνη, το έργο που παρήγαγε κάποιος αθλητής κλπ. Στη Φυσική όμως είμαστε ακριβείς. Για να έχουμε έργο χρειάζονται δύο προϋποθέσεις:  Να ασκείται δύναμη σ΄ ένα σώμα.  Να μετατοπίζεται το σημείο εφαρμογής της. x Έστω λοιπόν ότι στο σώμα του σχήματος ασκείται μια δύναμη F. F Αν το σώμα μετατοπίζεται κατά x… …έργο W της δύναμης F ονομάζουμε το γινόμενο της δύναμης επί τη μετατόπιση: WF = Fx *μονάδα: 1 Νm = 1J (joule)

 Μερικά απλά παραδείγματα έργου δύναμης (§ 2.2.1)  Έστω F η δύναμη που δέχεται το ρυμουλκό F x Αν μετατοπιστεί κατά x... ...το έργο της F είναι: WF = Fx  Ο αθλητής μπορεί να ζορίζεται, όμως το έργο της δύναμης που ασκεί είναι ίσο με μηδέν (WF=0)  Αν αφήσουμε το σώμα να πέσει ελεύθερα προς τα κάτω… B F …το έργο του βάρους του είναι: h WB = Bh Γιατί;

 Περιπτώσεις υπολογισμού έργου (§ 2.2.1) Είναι όμως πάντα το έργο ίσο με το γινόμενο Fx; Όχι  Κατ΄ αρχάς μπορεί η δύναμη F να να μην είναι παράλληλη προς τη μετατόπιση και να σχηματίζει γωνία (έστω φ) προς αυτή. Fx Fy x F φ Σ’ αυτή τη περίπτωση, από τις δύο συνιστώσες, μόνο η παράλληλη προς την μετατόπιση (η FX) παράγει έργο. Οπότε: WF = WFx = Fxx = F συνφx WF = Fxσυνφ  Στη περίπτωση που η δύναμη σχηματίζει αμβλεία γωνία με την μετατόπιση, συνφ < 0, οπότε και το έργο της F είναι αρνητικό: F φ>900 Fx Fy x WF = Fxσυνφ < 0 F φ=900 x  Στη δε περίπτωση που η δύναμη είναι κάθετη στην μετατόπιση, συν900=0, οπότε: WF = 0

 Παραδείγματα έργου δυνάμεων (§ 2.2.1) Ας πάρουμε για παράδειγμα την βαλίτσα του σχήματος: Β Τ Ν F 600 x 600 Έστω λοιπόν ότι το βάρος της είναι Β = 200Ν, η δύναμη με την οποία την τραβούμε: F = 200N, η αντίδραση του δαπέδου Ν = 40Ν και η τριβή T = 5Ν. Αν η γωνία που σχηματίζει η βαλίτσα με το δάπεδο είναι 600, πόσο είναι το έργο της κάθε δύναμης, αν τη μετατοπίσουμε κατά x = 10m; ΛΥΣΗ WF = Fxσυν600 = 200101/2 = 1000 J WT = Txσυν1800 = 510(1) = 50 J WB = WN = 0 (επειδή είναι κάθετες στη μετατόπιση)

 Έργο μη σταθερής δύναμης (§ 2.2.1) Στη περίπτωση που η δύναμη δεν είναι σταθερή, προφανώς δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση: WF = Fx, αφού δεν θα ξέρουμε ποια τιμή πρέπει να βάλουμε για τη δύναμη F. Αν κάνουμε όμως το διάγραμμα της δύναμης προς τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της, παρατηρούμε ότι το έργο της είναι ίσο με το εμβαδόν που περικλείεται ανάμεσα στην ευθεία του διαγράμματος και τον άξονα των x. Το ίδιο ισχύει και όταν η δύναμη δεν είναι σταθερή. Οπότε για να βρούμε το έργο της δύναμης, υπολογίζουμε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραμμή του διαγράμματος F – x και τους κάθετους άξονες (σχήμα).

 Σχέση έργου – ενέργειας (§ 2.2.2)  Σχέση έργου – ενέργειας (§ 2.2.2) Θα έχετε προσέξει ότι και το έργο και η ενέργεια έχουν μονάδα μέτρησης το joule. Τυχαίο; Δε νομίζω. t0=0 t υ F α  Έστω ότι έχουμε ένα σώμα, μάζας m, ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t0 = 0 ασκούμε μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, η οποία το επιταχύνει, με αποτέλεσμα τη χρονική στιγμή t να έχει αποκτήσει ταχύτητα υ. Από την εξίσωση της ταχύτητας έχουμε: Λύνουμε ως προς t…: …και αντικαθιστούμε στην εξίσωση του διαστήματος: Δηλαδή: Όμως: Άρα: Το έργο που προσφέρθηκε από την δύναμη F στο σώμα, μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του σώματος. και:

Κτελ – Καρχ = WF1 + WF2 + WF3 +…  Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας (Ι) (§ 2.2.2) Αν στη περίπτωση του σώματος της προηγούμενης σελίδας, θεωρήσουμε ότι αυτό έχει αρχική ταχύτητα υ0, t0=0 t υ F α υ0 οι εξισώσεις που έχουμε είναι: και οπότε η σχέση που καταλήγουμε (μετά την απαλοιφή του χρόνου) είναι: ή ή Η τελευταία σχέση μας δίνει ένα πολύ χρήσιμο θεώρημα της Μηχανικής: Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.) Κτελ – Καρχ = WF1 + WF2 + WF3 +… “Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος είναι ίση με το άθροισμα των έργων των δυνάμεων που ασκούνται πάνω του”

 Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας (ΙΙ) (§ 2.2.2)  Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας (ΙΙ) (§ 2.2.2) Το προηγούμενο θεώρημα: Κτελ – Καρχ = WF1 + WF2 + WF3 +… μας λέει ότι η αύξηση ή μείωση της κινητικής ενέργειας ενός σώματος εξαρτάται από το ισοζύγιο των έργων των δυνάμεων που ασκούνται πάνω του. Αν το έργο μιας δύναμης είναι θετικό (WF1 > 0), τότε το αποτέλεσμα είναι να αυξάνει τη κινητική ενέργεια του σώματος: (ΔΚ > 0). Αν όμως το έργο αρνητικό (WF1 < 0), τότε το αποτέλεσμα είναι να μειώνει τη κινητική ενέργεια του σώματος (ΔΚ < 0). Μπορούμε λοιπόν να θεωρήσουμε ότι τα έργα των δυνάμεων αποθηκεύονται στο σώμα υπό μορφή κινητικής ενέργειας. Σαν το νερό μέσα σε μια δεξαμενή: WF > 0 Κινητική ενέργεια WF < 0 Αν το έργο είναι θετικό γεμίζει με νερό η δεξαμενή. Αν είναι αρνητικό αδειάζει.

 Θ. M.K.E. (Παραδείγματα) (§ 2.2.2) Ας υποθέσουμε ότι ένα σώμα σέρνεται από δύναμη F, ενώ δέχεται και τριβή ολίσθησης T. x υ F α Τ υ0 Από το Θ.Μ.Κ.Ε. έχουμε: Κτελ – Καρχ = WF + WT  Αν το μέτρο της F είναι μεγαλύτερο (όπως στο σχήμα), τότε το σώμα επιταχύνεται και η ταχύτητα του θα μεγαλώσει. Άρα και το έργο της F θα είναι μεγαλύτερο (κατά μέτρο) από το έργο της τριβής (│WF│> │WT│) οπότε η κινητική ενέργεια του σώματος θα αυξηθεί (ΔΚ > 0). «Γεμίζει η δεξαμενή» x υ F α Τ υ0  Αν το μέτρο της F είναι μικρότερο, τότε το σώμα επιβραδύνεται και η ταχύτητα του θα μειωθεί. Άρα και το έργο της F θα είναι μικρότερο (κατά μέτρο) από το έργο της τριβής (│WF│< │WT│) οπότε η κινητική ενέργεια του σώματος θα μειωθεί (ΔΚ < 0). «Αδειάζει η δεξαμενή».

 Θ. M.K.E. (Αριθμητικά Παραδείγματα) (§ 2.2.2)  Σώμα, μάζας m = 2 Kg, έχει ταχύτητα υ0 = 3 m/s όταν δέχεται τη δράση σταθερής δύναμης F = 10 N. Αν η τριβή ολίσθησης είναι T = 6 Ν, πόση θα είναι η ταχύτητα του σώματος, όταν θα έχει διανύσει διάστημα s = 4 m; s υ F α Τ υ0 ΛΥΣΗ Από το Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας έχουμε: και κάνοντας πράξεις:  Ένα σώμα εκσφενδονίζεται με ταχύτητα υ0 = 10 m/s πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,1. Πόση απόσταση θα διανύσει μέχρι να σταματήσει; ΛΥΣΗ

 Δυναμική ενέργεια (§ 2.2.3)  Δυναμική ενέργεια (§ 2.2.3) Όπως είναι γνωστό, η μηχανική ενέργεια έχει δύο μορφές. Η μία είναι η κινητική ενέργεια (που αναφέρθηκε προηγουμένως). Η άλλη είναι η δυναμική ενέργεια. Κατ’ αρχάς η λέξη «δυναμική» («potential» στα αγγλικά) έχει την έννοια του δυνητικού, του ενδεχομένου, αυτού δηλαδή που μπορεί να γίνει. Γενικά λέμε ότι ένα σώμα έχει δυναμική ενέργεια λόγω της θέσης του ή λόγω της κατάστασης του. Στα δύο παραδείγματα του διπλανού σχήματος, ο βράχος και το ελατήριο έχουν δυναμική ενέργεια γιατί δέχονται διαρκώς τη δράση κάποιας δύναμης (του βάρους και της δύναμης του ελατηρίου), οπότε αν ενδεχομένως τους δοθεί η ευκαιρία, μπορεί να αποκτήσουν κινητική ενέργεια.

 Κάποιες επισημάνσεις για το έργο του βάρους WB (§ 2.2.3) Για να γίνει κατανοητή η έννοια της δυναμικής ενέργειας πρέπει να επισημανθούν κάποιες ιδιότητες του έργου του βάρους ενός σώματος. Α B Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το έργο του βάρους της σφαίρας, κατά τη μετακίνηση της από το σημείο Α στο σημείο Γ (WB(AΓ)). φ  Αν η σφαίρα κινηθεί κατακόρυφα, το έργο του θα είναι WB(A) = BΔh (όπου Δh: η υψομετρική διαφορά των Α, Γ). Δh Πόσο όμως θα είναι το έργο του Β αν η σφαίρα ακολουθήσει άλλη διαδρομή; Γ Δ Το έργο θα είναι ίδιο και σε οποιαδήποτε άλλη διαδρομή.  Π.χ. αν κινηθεί πρώτα στο Δ και μετά στο Γ: WB(AΔΓ) = WB(AΔ) + WB(ΔΓ) = Β(ΑΔ)συνφ + 0 = Β(ΑΓ) = ΒΔh.  To ίδιο ισχύει αν ακολουθήσει τεθλασμένη… ή καμπύλη διαδρομή Γενικά: Το έργο του βάρους ενός σώματος ανάμεσα σε δύο σημεία, δίνεται από τη σχέση: WB = BΔh και είναι ανεξάρτητο από τη διαδρoμή που ακολουθεί το σώμα.

 Πόση είναι η τιμής της δυναμικής ενέργειας (§ 2.2.3)  Πόση είναι η τιμής της δυναμικής ενέργειας (§ 2.2.3) Σε αντίθεση με την κινητική ενέργεια, της οποίας η τιμή είναι πάντα θετική και εύκολα υπολογίσιμη (Κ = ½ mυ2), για να υπολογίσουμε τη δυναμική ενέργεια ενός σώματος χρειάζεται να κάνουμε δύο (2) βήματα.  Να ορίσουμε αυθαίρετα σε ποια θέση θεωρούμε ότι η δυναμική ενέργεια του σώματος είναι μηδέν (θέση αναφοράς).  Να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης που δέχεται το σώμα, αν μετακινηθεί από τη θέση του, μέχρι τη θέση αναφοράς (που ορίσαμε προηγουμένως). * Αφού η θέση αναφοράς ορίζεται αυθαίρετα, είναι προφανές ότι και η τιμή της δυναμικής ενέργειας είναι υποκειμενική και αυθαίρετη. ** Θέση αναφοράς διαλέγουμε αυτή που μας «βολεύει» καλύτερα. Για καθαρά πρακτικούς λόγους δηλαδή. *** Όπως είπαμε προηγουμένως το έργο της δύναμης είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή που θα ακολουθήσουμε.

 Η δυναμική ενέργεια λόγω βάρους (§ 2.2.3)  Η δυναμική ενέργεια λόγω βάρους (§ 2.2.3) Ας εφαρμόσουμε τα προηγούμενα σε ένα παράδειγμα: Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε τη δυναμική ενέργεια της σφαίρας στη θέση Α λόγω του βάρους της (βαρυτική δυναμική ενέργεια). Α B h  Θεωρούμε (για λόγους ευκολίας), ότι η δυναμική ενέργεια της σφαίρας γίνεται μηδέν στο έδαφος (θέση Κ).  Η δυναμική ενέργεια στο σημείο Α θα είναι ίση με το έργο του βάρους του σώματος κατά τη μετακίνηση του από το Α στο Κ. Κ UK=0 Άρα: UA = WB(AK) UA = Bh * Μας βολεύει να πάρουμε σαν θέση αναφοράς (να θεωρήσουμε δηλ. ότι η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν) στη κατώτατη θέση, ώστε η δυναμική ενέργεια να έχει θετική τιμή σε οποιαδήποτε άλλη θέση.

 Η δυναμική ενέργεια – Παραδείγματα (§ 2.2.3)  Η δυναμική ενέργεια – Παραδείγματα (§ 2.2.3)  Το κιβώτιο του σχήματος έχει μάζα m = 50 Kg και βρίσκεται σε ύψος 3 m. Αν g = 10 m/s2, πόση είναι η δυναμική του ενέργεια; ΛΥΣΗ Αν θεωρήσουμε ότι η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν στο έδαφος, τότε έχουμε: U = Bh  U = mgh  U = 50103  U = 1500 J  Στο διπλανό σχήμα δηλώνεται ότι αν η δυναμική ενέργεια στο έδαφος είναι μηδέν, τότε στο λόφο είναι θετική και στο πυθμένα του πηγαδιού αρνητική. Γιατί;

 Δυναμική ενέργεια – Έργο βάρους (§ 2.2.3)  Δυναμική ενέργεια – Έργο βάρους (§ 2.2.3) Μια από τις χρησιμότητες της δυναμικής ενέργειας (η άλλη θα αναφερθεί όταν μιλήσουμε για την μηχανική ενέργεια), είναι ότι μας βοηθά να υπολογίσουμε εύκολα το έργο του βάρους ενός σώματος. Α Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το έργο του βάρους του σώματος κατά τη μετακίνηση του από το Α στο Γ. B WB(AΟ) WB(AΓ) WB(ΓΟ) =  Αν θεωρήσουμε ότι η δυναμική ενέργεια του σώματος είναι μηδέν στο έδαφος (σημείο Ο), θα έχουμε: Γ Ο WB(AΓ) = WB(AΟ) WB(ΓO)  WB(AΓ) = UA  UΓ Συνεπώς: Το έργο του βάρους ενός σώματος, κατά τη μετακίνηση του μέσα στο πεδίο βαρύτητας της Γης, είναι ίσο με το αντίθετο της μεταβολής της δυναμικής του ενέργειας: WB(AΓ) =  ΔU = UA  UΓ *και επιβεβαιώνεται ότι το έργο του βάρους εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση και όχι από την τροχιά της κίνησης.

 Παράδειγμα υπολογισμού έργου βάρους (§ 2.2.3)  Παράδειγμα υπολογισμού έργου βάρους (§ 2.2.3) Άς πάρουμε το παράδειγμα του σχήματος. Πόσο είναι το έργο βάρους του αυτοκινήτου κατά τη μετακίνηση του από το Α στα σημεία Β, C, D και Ε; 30 m 15 m 10 m 20 m έδαφος Δίνεται ότι η μάζα του αυτοκινήτου είναι m=1000 Kg και g=10 m/s2. ΛΥΣΗ Αν θεωρήσουμε ότι η δυναμική ενέργεια του σώματος είναι μηδέν στο έδαφος, οι τιμές της δυναμικής ενέργειας είναι: UA = mghA = 10001030 = 300.000 J UB = 0 UC = mghC = 10001015 = 150.000 J UD = mghD = 100.000 J και UΕ = mghΕ = 200.000 J Οπότε: WB(AB) = UA UB = 300.000 – 0 = 300.000 J Ομοίως: WB(AC) = UA  UC = 150.000 J WB(AD) = UA  UD = 200.000 J WB(AE) = UA  UE = 100.000 J

Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας.  Η Μηχανική ενέργεια (§ 2.2.4) Ως γνωστόν, Μηχανική ενέργεια Ε ενός σώματος ονομάζουμε το άθροισμα της κινητικής και δυναμικής που έχει: Ε = Κ + U. Έστω λοιπόν ένα σώμα το οποίο εκτελεί ελεύθερη πτώση και περνά από τα σημεία Α και Γ με ταχύτητες υΑ και υΓ αντίστοιχα. Γ B Α υΑ υΓ  Από το Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας έχουμε: KΓ – ΚΑ = WB(AΓ) (I)  Ξέρουμε όμως ότι το έργο του βάρους του σώματος είναι: WB(AΓ) =  ΔU = UA  UΓ (ΙΙ)  Από τις (Ι) και (ΙΙ) έχουμε: KΓ – ΚΑ = UA  UΓ ή KΓ + UΓ = UA + ΚΑ ή ΕΓ = ΕA Συνεπώς: Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας. Όταν ένα σώμα κινείται μόνο υπό την επίδραση του βάρους του, τότε η μηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή. *Η παραπάνω αρχή ισχύει για τις συντηρητικές δυνάμεις όπως η βαρυτική, η ηλεκτρική, η δύναμη του ελατηρίου κ.α.

 Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας – Παράδειγμα (§ 2.2.4)  Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας – Παράδειγμα (§ 2.2.4) Ας πάρουμε για παράδειγμα ένα κανόνι που εκτελεί κατακόρυφη βολή. Κ U Γ Γ Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η κινητική ενέργεια και δυναμική ενέργεια είναι το νερό που υπάρχει στα δύο ποτήρια του σχήματος. υΒ Κ U Β Β υΑ Στη θέση Α το βλήμα έχει μέγιστη ταχύτητα και μηδενικό ύψος. Άρα θα είναι γεμάτο το μπλε ποτήρι και άδειο το κόκκινο. Α Κ U Α Στη θέση Β θα έχει χάσει σε ταχύτητα και θα έχει κερδίσει σε ύψος. Άρα θα έχει αδειάσει το μισό μπλε ποτήρι και θα έχει γεμίσει το μισό κόκκινο. Τέλος, στο Γ θα είναι στιγμιαία ακίνητο και θα έχει μέγιστο ύψος. Συνεπώς θα έχει αδειάσει το μπλε και θα έχει γεμίσει το κόκκινο. Το συνολικό υγρό (η Μηχανική ενέργεια) και στα δύο ποτήρια θα παραμένει σταθερό, καθ’ όλη τη διάρκεια της ανόδου.

 Α.Δ.Μ.Ε. – Αριθμητικά παραδείγματα (§ 2.2.4)  Α.Δ.Μ.Ε. – Αριθμητικά παραδείγματα (§ 2.2.4) Έστω ότι πετάμε από μια ταράτσα, ύψους h = 45 m, μια πέτρα με ταχύτητα υΑ = 40 m/s. Με πόση ταχύτητα θα φτάσει στο έδαφος; Η γωνία βολής παίζει κανένα ρόλο; Δίνεται g = 10 m/s2 και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Α Γ υΓ υΑ Β h ΛΥΣΗ  Εφόσον η μοναδική δύναμη που ασκείται στη πέτρα είναι το βάρος του, θα ισχύει η Α.Δ.Μ.Ε.: UA + KA = UΓ + KΓ Οπότε: Άρα: …και η γωνία βολής δεν παίζει κανένα ρόλο. Αφήνουμε το βαγόνι από ύψος 20 m. Αν g = 10 m/s2, με πόση ταχύτητα φτάνει στο έδαφος; Μας ενδιαφέρει η μορφή της διαδρομής; ΛΥΣΗ Φυσικά και δεν μας ενδιαφέρει η μορφή της διαδρομής: Α.Δ.Μ.Ε.:

 Η ισχύς – Ένα νέο μέγεθος (§ 2.2.6)  Η ισχύς – Ένα νέο μέγεθος (§ 2.2.6) Αν δοκιμάσουμε να συγκρίνουμε την ικανότητα δύο μηχανών με το μέγεθος της ενέργειας, δεν μπορούμε να βγάλουμε ασφαλή συμπεράσματα. Π.χ. αν ζητήσουμε από ένα μικρό και από ένα μεγάλο τρακτέρ να παράγουν το ίδιο έργο (να σύρουν σε ίδια απόσταση τον ίδιο κορμό δέντρου), πιθανώς να τα καταφέρουν και τα δύο. Όμως… το μεγάλο τρακτέρ θα το παράγει πιο γρήγορα. Χρειαζόμαστε λοιπόν ένα μέγεθος που να μας δείχνει τον ρυθμό με τον οποίο παράγεται ένα έργο, προσφέρεται ή καταναλώνεται ενέργεια κλπ. Αυτό το μέγεθος είναι η ισχύς.

 Η ισχύς – Ορισμός (§ 2.2.6) Ισχύ (Ρ) μιας μηχανής ή μιας δύναμης ονομάζουμε το μονόμετρο μέγεθος που μας δείχνει πόσο έργο – ενέργεια παράγεται η καταναλώνεται στη μονάδα του χρόνου. όπου W: το έργο που παράγεται – καταναλώνεται t: ο χρόνος που απαιτείται Μονάδα μέτρησης: 1 J/s = 1 W (watt) (S.I.) * το παραπάνω μέγεθος λέγεται και μέση ισχύς Παράδειγμα: Ένας επαγγελματίας ποδηλάτης παράγει ισχύ 500 W. Σε πόσο χρόνο θα ανέβει το λόφο του Κορύλοβου (έξω από τη Δράμα) που έχει υψόμετρο 300 m; Δίνεται ότι η συνολική μάζα του (μαζί με το ποδήλατο) είναι 80 Kg και g = 10 m/s2. ΛΥΣΗ Ανεβαίνοντας στον Κορύλοβο αποκτά δυναμική ενέργεια U = mgh. Άρα το έργο που παράγει είναι W = U = mgh = 8010300 = 240000J Οπότε: ή

 Η στιγμιαία ισχύς δύναμης (§ 2.2.6)  Η στιγμιαία ισχύς δύναμης (§ 2.2.6) F Δx Δt Έστω F η δύναμη που ασκείται σε σώμα και το μετακινεί κατά ελάχιστη μετατόπιση Δx μέσα σε μικρό χρονικό διάστημα Δt. Η στιγμιαία ισχύς που παράγει η F είναι: ή ή Παράδειγμα: Σώμα μάζας m = 2 Kg ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα υ = 5 m/s σε οριζόντιο επίπεδο δεχόμενο σταθερή οριζόντια δύναμη F. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του σώματος με το δάπεδο είναι μ=0,1… α) πόση είναι η δύναμη F; β) πόση είναι η ισχύς που παράγει η F; γ) με τι ρυθμό παράγεται θερμική ενέργεια από τη τριβή; ΛΥΣΗ α) Αφού η ταχύτητα είναι σταθερή: F = T = μmg = 0,1210 = 2 N β) Η ισχύς που παράγει η F: PF = Fυ = 25 = 10 W γ) Η ισχύς που καταναλώνει η τριβή: PΤ = Τυ =  25 =  10 W Άρα ο ρυθμός με τον οποίο παράγεται θερμότητα από την T: Pθ = +10 W