Όμιλος Μαθηματικά και Λογοτεχνία Μαντώ Γεωργούλη A’2 Αναστασία Κασαπίδη A’3 Ρήγας Διονυσόπουλος A’2

 Έ νας από τους θεμελιωτές των καθαρών μαθηματικών.  Ανέπτυξε τη θεωρία των τριγωνομετρικών και λογαριθμικών συναρτήσεων.  Έκανε στη σύγχρονη αναλυτική γεωμετρία και τριγωνομετρία αυτό που τα Στοιχεία του Ευκλείδη είχαν κάνει στην αρχαία γεωμετρία.  Είναι γνωστός για κλασικά θεωρήματα και ιδιότητες που αφορούν τη γεωμετρία( Ευθεία του Εuler, κύκλος των 9 σημείων)

 Σε όλη του τη ζωή ήταν απορροφημένος με προβλήματα που αφορούσαν στη θεωρία των μαθηματικών.  Το 1783 έγινε η μεγαλύτερη ανακάλυψή του: ο νόμος της τετραγωνικής αντιστρεψιμότητας ο οποίος αποτελεί βασικό μέρος της σύγχρονης θεωρίας των αριθμών.  Μέχρι και σήμερα δεν έχει ξεπεραστεί σε παραγωγικότητα και στη γεμάτη φαντασία χρήση αλγοριθμικών μεθόδων για τη λύση προβλημάτων.

 Ο κύκλος Εuler ή κύκλος των 9 σημείων διέρχεται από 9 χαρακτηριστικά σημεία κάθε τριγώνου.

 Ένα ορθοκεντρικό σύστημα είναι ένα σύνολο από 4 σημεία Α,Β,Γ,Η σε ένα επίπεδο, όπου ένα εκ των οποίων είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου που σχηματίζεται από τα υπόλοιπα 3.  Αυτά τα 4 τρίγωνα θα έχουν τον ίδιο κύκλο του Euler.  Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τεσσάρων τριγώνων έχουν ίσες ακτίνες.  Ισχύει: ΑΒ²+ΓΗ ² =ΑΓ²+ΒΗ²=ΒΓ²+ΑΗ²=4R²

Ορθοκεντρικό σύστημα: ένα σύνολο από τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Η σε ένα επίπεδο όπου ένας εκ των οποίων είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου που σχηματίζεται από τα υπόλοιπα τρία. Άρα με βάση το σχήμα:  ΑΒΓ= ορθόκεντρο το Η  ΑΒΗ= ορθόκεντρο το Γ  ΒΗΓ= ορθόκεντρο το Α  ΑΗΓ= ορθόκεντρο το Β

Στο τρίγωνο ΑΒΓ 1. μέσα των πλευρών 2. ίχνη υψών 3. μέσα κάθε ευθύγραμμων τμημάτων που συνδέουν το ορθόκεντρο με τις κορυφές του τριγώνου.  Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να διακρίνουμε πως και τα τέσσερα τρίγωνα θα έχουν τον ίδιο κύκλο του Euler αφού όλα τα στοιχεία που έχουμε συμπίπτουν με τα χαρακτηριστικά του κύκλου των εννέα σημείων. Ν1,Ν2 Ν3. Μ1, Μ2, Μ3 Η1, Η2, Η3

 Αυτό που γνωρίζουμε για τους περιγεγραμμένους κύκλους είναι πως έχουν την διπλάσια ακτίνα από εκείνη του Euler.  Τα τέσσερα τρίγωνα όμως έχουν τον ίδιο κύκλο του Euler, όπως αποδείξαμε στο προηγούμενο ερώτημα. Αφού έχουν τα τρίγωνα τον ίδιο κύκλο του Euler, τότε και οι ακτίνες των περιγεγραμμένων κύκλων τους θα έχουν και αυτές ίσες ακτίνες R μεταξύ τους. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τεσσάρων τριγώνων έχουν ίσες ακτίνες R;

Το ίδιο ισχύει και για τα υπόλοιπα δηλ. ΑΒ 2 +ΓΗ 2 =4R 2 και ΑΓ 2 +ΒΗ 2 =4R 2 Από Νόμο Ημιτόνων στο ΑΒΓ ΒΓ 2 = (2RημΑ) 2 Από Νόμο Ημιτόνων στο ΑΗΓ ΑΗ 2 = (2RημΓ 1 ) 2 Άρα: ΒΓ 2 +ΑΗ 2 = = 4R 2 ημ 2 Α +4R 2 ημ 2 Γ 1 = = 4R 2 (ημ 2 Α+ ημ 2 Γ 1 ) = = 4R 2 (ημ 2 Α+ ημ 2 (90 0 -Α) = = 4R 2 (ημ 2 Α+ συν 2 (Α) = =4R 2 Ισχύει το ΑΒ 2 +ΓΗ 2 =ΑΓ 2 +ΒΗ 2 =ΒΓ 2 +ΑΗ 2 =4 R 2 ;

O Karl Wilhelm von Feuerbach (30 Μαϊου 1800 – 12 Mαρτίου 1834) ήταν ένας Γερμανός γεωμέτρης και γιος του Paul Johann Anselm Ritter von Feuerbach και αδερφός του φιλοσόφου Ludwig Feuerbach. Αφού πήρε το πτυχίο του στην ηλικία των 22 έγινε καθηγητής μαθηματικών στο Γυμνάσιο του Erlangen. To 1822 έγραψε ένα μικρό βιβλίο με θέμα τα μαθηματικά που είναι κυρίως γνωστό για το θεώρημα όσον αφορά τον κύκλο των 9 σημείων γνωστό ως το θεώρημα του Feuerbach.

 Ο κύκλος του Euler τριγώνου ΑΒΓ εφάπτεται στον εγγεγραμμένο και τους παρεγγεγραμμένους κύκλους τριγώνου.

1. Αν είναι γνωστές οι ακτίνες ρ, R εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου τριγώνου ΑΒΓ τότε απόσταση εγκέντρου-περικέντρου ισούται με: ΟΙ 2 =R²-2Rρ 2. Αν Μ,Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ, ΒΔ 1 ος τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, ισχύει ότι: ΑΒ²+ΒΓ²+ΓΔ²+ΔΑ²=ΑΓ²+ΒΔ²+4ΜΝ², ειδικά αν ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με πλευρές α, β και διαγώνιους μ, ν: α²+β²= μ²+ν²/2

 Karl Wilhelm Feuerbach,  Jacob Steiner,  Julius Plücker,  Jean-Victor Poncelet,  Charles-Julien Brianchon.

 Πολλοί μαθηματικοί εκείνης της εποχής ασχολήθηκαν με τη δημιουργία ενός ακριβούς συστήματος συντεταγμένων προκειμένου να χρησιμοποιηθεί σε πλήθος τομέων όπως η ναυσιπλοΐα και η κατανομή γης.  Γι’ αυτό το σκοπό έγινε χρήση τριγωνομετρίας.  Συμπτωματικά ανακαλύφθηκαν 360 χαρακτηριστικά σημεία του τριγώνου.

 Οι ανακαλύψεις και οι προσπάθειές τους απέτυχαν παταγωδώς αφού,  Ελάχιστα από τα 360 αυτά χαρακτηριστικά σημεία χρησίμευσαν στον αρχικό τους σκοπό,  Και έτσι τα περισσότερα ξεχάστηκαν…

α 3 +β 3 +γ 3 ≥ 3αβγ α βγ Αν χωρίσουμε ευθύγραμμο τμήμα σε τμήματα μήκους α, β, γ Το άθροισμα των όγκων των τριών κύβων που δημιουργούνται με ακμές α, β, γ αντίστοιχα είναι μεγαλύτερο ή ίσο από Το άθροισμα τριών ίσων παραλληλεπιπέδων με διαστάσεις α, β, γ.