Tάσος Μπούντης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών Μη Γραμμικές Αλληλεπιδράσεις στον Ηλεκτρομαγνητισμό: Θέμα Εργασίας Tάσος Μπούντης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών Θερινό Σχολείο Φυσικής: 28 Ιουνίου – 1η Ιουλίου, 2010, Εστία Επιστημών Πάτρας

Στο ως άνω κύκλωμα βλέπουμε: α) 4 γραμμικά στοιχεία: 2 πυκνωτές, έναν αντιστάτη και ένα πηνίο β) Ένα μη γραμμικό στοιχείο, τη «δίοδη λυχνία» του Chua που αναπαριστάται από το άνω δεξιά κύκλωμα και περιγράφεται από την κατά περιοχές συνεχή συνάρτηση που βλέπουμε πιο κάτω:

Άσκηση 1η: (a) Δείξτε ότι οι νόμοι του Kirchoff οδηγούν στις εξισώσεις: όπου υi το δυναμικό στον πυκνωτή Ci i=1,2, iL το ρεύμα στο πηνίο L . (b) Αλλάζοντας μεταβλητές από , και , σε x, y,z, παίρνουμε τις ακόλουθες αδιάστατες εξισώσεις Chua με 2 αδιάστατες παραμέτρους α και β :

Θέτοντας για τις παραμέτρους α = 15 Θέτοντας για τις παραμέτρους α = 15.6, m0 = -8/7 , m1 = -5/7, και μεταβάλλοντας την παράμετρο β από β = 25 to β = 51, παρατηρούμε στο 3-διάστατο χώρο φάσεων του συστήματος, x, y, z μια οδό στο χάος μέσω ακολουθίας διπλασιασμού περιόδων:

…η οποία οδηγεί στο υπέροχα πολύπλοκο σχήμα ενός παράξενου ελκυστή με τη μορφή «διπλού παπύρου»: …η γεωμετρική ανάλυση του οποίου δίνεται από το σχήμα δεξιά! Ερώτηση 1η : Γιατί η ύπαρξη 3 διαστάσεων είναι η ελάχιστη που επιτρέπει την εμφάνιση αυτών των σχημάτων;

H συνάρτηση που συνδέεται με το μη γραμμικό στοιχείο: θα μπορούσε να αντικατασταθεί και με άλλη παρόμοια μορφή: Πράγματι, θέτοντας i = φ(υ) = γυ3 – αυ , όπως το κάτωθι:

Το μη γραμμικό κύκλωμα που επινόησε και μελέτησε ο van der Pol στα 1920 κατασκευάζεται σήμερα εύκολα ως “tunnel diode” και έχει την κάτωθι σχέση δυναμικού – ρεύματος: Άσκηση 2η: (α) Δείξτε ότι οι κλασικές εξισώσεις του Ηλεκτρισμού για το ως άνω κύκλωμα γράφονται ως εξής: (β) Συνδυάζοντας τις εξισώσεις αυτές δείξτε ότι γράφονται ως μία συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης που λέγεται εξίσωση van der Pol:

γ) Κάνοντας τους μετασχηματισμούς: δείξτε ότι η εξίσωση του van der Pol παίρνει τη μορφή: Η εξίσωση αυτή δεν εμφανίζει χάος (γιατί;) παρουσιάζει όμως το πολύ ενδιαφέρον φαινόμενο των απλών ελκυστών που λέγονται οριακοί κύκλοι: Οδηγεί για κάθε ε>0 όλες τις τροχιές στο επίπεδο x, y=dx/dt’, σε ταλαντώσεις με συχνότητα που εξαρτάται μόνο από το ε>0.

Άσκηση 3η : Φαίνεται εύκολα από την ως άνω μορφή της εξίσωσης van der Pol ότι, για μικρά 0<ε<<1, η κίνηση απομακρύνεται από το (0,0) με σπειροειδή ταλάντωση με συχνότητα περίπου 1. Αν υποψιαζόμαστε ότι τείνει σε κάποιο οριακό κύκλο με ακτίνα Α, πως θα μπορούσαμε να το δείξουμε, εκτιμώντας παράλληλα και την προσεγγιστική τιμή του Α;