Υπόδειγμα μεγιστοποίησης τυχαίας χρησιμότητας (random utility maximization model) Υπόδειγμα μεγιστοποίησης τυχαίας χρησιμότητας (random utility maximization model) Γενικά Ακολουθούν την οικονομική θεωρία της συμπεριφοράς καταναλωτών οπου οι προτιμήσεις αναπαρίστανται με συναρτήσεις χρησιμότητας και οι επιλογές προκύπτουν απο τον υπολογισμό της μέγιστης χρησιμότητας Οι χρησιμότητες είναι τυχαίες (αβεβαιότητα των ατόμων και του παρατηρητή) Σπουδαιότητα: Ανάλυση & εκτίμηση της ζήτησης για προϊόντα/ υπηρεσίες - εκτίμηση των απαιτούμενων εγκαταστάσεων Γενικά Ακολουθούν την οικονομική θεωρία της συμπεριφοράς καταναλωτών οπου οι προτιμήσεις αναπαρίστανται με συναρτήσεις χρησιμότητας και οι επιλογές προκύπτουν απο τον υπολογισμό της μέγιστης χρησιμότητας Οι χρησιμότητες είναι τυχαίες (αβεβαιότητα των ατόμων και του παρατηρητή) Σπουδαιότητα: Ανάλυση & εκτίμηση της ζήτησης για προϊόντα/ υπηρεσίες - εκτίμηση των απαιτούμενων εγκαταστάσεων Νικόλαος Καλουπτσίδης Τμ. Πληροφορικής & Τηλ/νιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κωνσταντίνος Κουτρούμπας Ινστ. Διαστημικών Εφαρμ. & Τηλεπισκόπησης Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών Β. Ψαράκη Τμ. Πολιτικών Μηχανικών Εθνικό Μετσόβειο Πολυτεχνείο Περιγραφή του Προβλήματος Το άτομο n ζητά να επιλέξει μεταξύ 1  i  k+1 επιλογών Γραμμικό υπόδειγμα: U ni = z ni T β n + ε ni Κάθε γραμμή του z ni T παριστάνει τους παράγοντες (attributes) που καθορίζουν τη συνάρτηση χρησιμότητας του ατόμου n για την επιλογή i. β : βαρύτητες τις οποίες προσδίδει το άτομο σε αυτούς τους παράγοντες. ε : διαταραχή (θόρυβος) - μη παρατηρήσιμα χαρακτηριστικά των παραγόντων, των επιλογών και των ατόμων. Περιγραφή του Προβλήματος Το άτομο n ζητά να επιλέξει μεταξύ 1  i  k+1 επιλογών Γραμμικό υπόδειγμα: U ni = z ni T β n + ε ni Κάθε γραμμή του z ni T παριστάνει τους παράγοντες (attributes) που καθορίζουν τη συνάρτηση χρησιμότητας του ατόμου n για την επιλογή i. β : βαρύτητες τις οποίες προσδίδει το άτομο σε αυτούς τους παράγοντες. ε : διαταραχή (θόρυβος) - μη παρατηρήσιμα χαρακτηριστικά των παραγόντων, των επιλογών και των ατόμων. Εκτίμηση παραμέτρων Μέγιστη πιθανοφάνεια L(β) = Σ n log P n (i(n); β) Κανόνας της πιο πιθανής εναλλακτικής επιλογής (Most Probable Alternative Rule - MPA} και μεγιστοποίηση σωστών ταξινομήσεων Σύμφωνα με το MPA: εκτίμηση του i(n) με την πιο πιθανή επιλογή î(n) P n (î(n); β n ) = max 1  j  k+1 P n (j; β n ) Ένα διάνυσμα β ταξινομεί σωστά το άτομο n αν î(n) = i(n) Εκτίμηση παραμέτρων Μέγιστη πιθανοφάνεια L(β) = Σ n log P n (i(n); β) Κανόνας της πιο πιθανής εναλλακτικής επιλογής (Most Probable Alternative Rule - MPA} και μεγιστοποίηση σωστών ταξινομήσεων Σύμφωνα με το MPA: εκτίμηση του i(n) με την πιο πιθανή επιλογή î(n) P n (î(n); β n ) = max 1  j  k+1 P n (j; β n ) Ένα διάνυσμα β ταξινομεί σωστά το άτομο n αν î(n) = i(n) Διαδεδομένα υποδείγματα Multinomial logit Multinomial probit Μειονεκτήματα: Σε πολλές εφαρμογές δεν ισχύει η υπόθεση των i.i.d. διαταρχών, γνωστή και ως ανεξαρτησία των μη συναφών επιλογών (independence of irrelevant alternatives) Βελτίωση της ικανότητας του υποδείγματος επέρχεται με τον περαιτέρω καθορισμό των ρόλων των διαταραχών. Προσδιορισμός των παραγόντων (attributes) Προσδιορισμός των παραμέτρων Παράγοντες διαιρούνται σε παρατηρήσιμες επεξηγηματικές μεταβλητές (observable explanatory variables) κρυφές (latent) επεξηγηματικές μεταβλητές Διαδεδομένα υποδείγματα Multinomial logit Multinomial probit Μειονεκτήματα: Σε πολλές εφαρμογές δεν ισχύει η υπόθεση των i.i.d. διαταρχών, γνωστή και ως ανεξαρτησία των μη συναφών επιλογών (independence of irrelevant alternatives) Βελτίωση της ικανότητας του υποδείγματος επέρχεται με τον περαιτέρω καθορισμό των ρόλων των διαταραχών. Προσδιορισμός των παραγόντων (attributes) Προσδιορισμός των παραμέτρων Παράγοντες διαιρούνται σε παρατηρήσιμες επεξηγηματικές μεταβλητές (observable explanatory variables) κρυφές (latent) επεξηγηματικές μεταβλητές Γενικευμένο υπόδειγμα χρησιμότητας Οι κατανομές επιλογής προκύπτουν αν μια απο αυτές διεγείρει πολλαπλών διαστάσεων γραμμικό φίλτρο. Τα χαρακτηριστικά αυτής της απόκρισης συχνότητας καθορίζονται αποκλειστικά απο την πυκνότητα της εναλλακτικής επιλογής 1. Υπολογιστικά πλεονεκτήματα έναντι μεθόδων Monte Carlo, Quasi Monte Carlo, σε συνδυασμό με τον FFT. Αν οι κατανομές επιλογής συμπίπτουν, ο κανόνας της πιο πιθανής εναλλακτικής επιλογής ανάγεται σε ντετερμινιστικό κανόνα μεγιστοποίησης. Η συνάρτηση κατανομής και συνεπώς η πιθανολογική δομή των block i.i.d. διαταραχών δεν έχει καμμιά επίδραση στην νικήτρια επιλογή. Εκτιμηση των παραμέτρων επιτυγχάνεται με την επίλυση γραμμικών ανισοτήτων. Γενικευμένο υπόδειγμα χρησιμότητας Οι κατανομές επιλογής προκύπτουν αν μια απο αυτές διεγείρει πολλαπλών διαστάσεων γραμμικό φίλτρο. Τα χαρακτηριστικά αυτής της απόκρισης συχνότητας καθορίζονται αποκλειστικά απο την πυκνότητα της εναλλακτικής επιλογής 1. Υπολογιστικά πλεονεκτήματα έναντι μεθόδων Monte Carlo, Quasi Monte Carlo, σε συνδυασμό με τον FFT. Αν οι κατανομές επιλογής συμπίπτουν, ο κανόνας της πιο πιθανής εναλλακτικής επιλογής ανάγεται σε ντετερμινιστικό κανόνα μεγιστοποίησης. Η συνάρτηση κατανομής και συνεπώς η πιθανολογική δομή των block i.i.d. διαταραχών δεν έχει καμμιά επίδραση στην νικήτρια επιλογή. Εκτιμηση των παραμέτρων επιτυγχάνεται με την επίλυση γραμμικών ανισοτήτων. Πρόσφατες Εργασίες N. Kalouptsidis and V. Psaraki, “Selection Distributions and Deterministic Reduction of Generalized Random Utility Models,” International Conf. on Travel Behaviour Research, Lucerne, N. Kalouptsidis, K. Koutroumbas, and V. Psaraki, “Maximizing Correct Classifications in Random Utility Models,” υπό κρίση. Πρόσφατες Εργασίες N. Kalouptsidis and V. Psaraki, “Selection Distributions and Deterministic Reduction of Generalized Random Utility Models,” International Conf. on Travel Behaviour Research, Lucerne, N. Kalouptsidis, K. Koutroumbas, and V. Psaraki, “Maximizing Correct Classifications in Random Utility Models,” υπό κρίση. Κανόνας επιλογής Το άτομο n διαλέγει την επιλογή i αν: U ni  U nj  j Αποτίμηση του αναλυτή: P n (i; β n ) = P[U ni > U nj, j  i] Εκτίμηση υποδείγματος RUM: Z n i(n) : μετρήσεις για N άτομα i(n) : η επιλογή του ατόμου n Κανόνας επιλογής Το άτομο n διαλέγει την επιλογή i αν: U ni  U nj  j Αποτίμηση του αναλυτή: P n (i; β n ) = P[U ni > U nj, j  i] Εκτίμηση υποδείγματος RUM: Z n i(n) : μετρήσεις για N άτομα i(n) : η επιλογή του ατόμου n