Αλγόριθμος Tonelli-Shanks Παρουσίαση Εργασίας Κωνσταντίνα Μέλλου
Δημιουργία Αλγορίθμου 1891: Αρχική ιδέα από τον Alberto Tonelli 1973: Ο Dan Shanks αναπτύσσει τον αλγόριθμο με βάση τη διαδικα-σία του Α.Tonelli
Τετραγωνική ρίζα modulo p x : τετραγωνική ρίζα του α modulo p α : τετραγωνικό υπόλοιπο
Σύμβολο Legendre Ισοδύναμος ορισμός
Περιγραφή Αλγορίθμου Είσοδοι: p και α Έλεγχος αν p πρώτος (τεστ Miller-Rabin) Έλεγχος αν α τετραγωνικό υπόλοιπο (με υπολογισμό του συμβόλου Legendre)
Γράφουμε τον p ως: Βρίσκουμε αριθμό z μη τετραγωνικό υπόλοιπο με παραγωγή τυχαίων αριθ-μών μέχρι να ισχύει Αρχικοποίηση μεταβλητών
Βρίσκουμε το ελάχιστο m με τέτοιο ώστε: Αν m=0 οι λύσεις είναι οι x και p-x Αλλιώς ενημερώνουμε τις μεταβλητές x g b r m και επαναλαμβάνουμε τα 3 τελευταία βήματα
Βασικά Σημεία της Απόδειξης Εφόσον θέτουμε , έχουμε Αυτή η σχέση ισχύει σε κάθε βήμα, αφού και για τις νέες τιμές των x και β ισχύει: b x
Επομένως αρκεί να ισχύει ή ισοδύναμα με m=0 Η μεταβλητή r αρχικά έχει την τιμή e και σε κάθε επανάληψη θέτουμε όπου r το m. Από θεώρημα υπάρχει m με τέτοιος ώστε να ισχύει Επομένως το m μειώνεται σε κάθε επανάληψη μέχρι να μηδενιστεί
Τότε οι λύσεις είναι οι x και p-x αφού
Ταχύτητα του Αλγορίθμου Δίνεται από τη σχέση: m : αριθμός ψηφίων στη δυαδική αναπαράσταση του p k : αριθμός 1 στη δυαδική αναπαράσταση του p e : εκθέτης στη σχέση
Θεωρία Ελλειπτικών Καμπυλών) Εφαρμογές Αλγορίθμου Μαθηματικά Κρυπτογραφία (Κρυπτοσύστημα Rabin, Θεωρία Ελλειπτικών Καμπυλών)