Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 2: Μονοπάτια και Κύκλοι

Εισαγωγή (1) Περίπατος (walk): ακολουθία από κόμβους και ακμές. Ίχνος (trail): περίπατος που μια ακμή δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά. Μονοπάτι (path): ίχνος που ένας κόμβος δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά. Αρχή-τέρμα περιπάτου, ίχνους, μονοπατιού. Τερματικοί και εσωτερικοί κόμβοι.

Εισαγωγή (2)

Αποστάσεις (1) 2 2 3

Αποστάσεις (2)

Αποστάσεις (3) rad(G)=2 diam(G)=4

Αποστάσεις (4)

Αποστάσεις (5) x y z z : κόμβος του κέντρου

Αποστάσεις (6)

Κέντρο και μέσο ενός G dist(y) : 1 1 2 3

Κέντρο και μέσο ενός G Γραφήματα για το πρόβλημα του ταχυδρομείου Γράφημα για επίδειξη διαφοράς κέντρου και μέσου

Γραφήματα Euler (1) Leonard Euler, Ελβετός, πατέρας Θεωρίας Γραφημάτων, 1736 πρόβλημα γεφυρών Koenigsburg Πρόβλημα: είναι δυνατόν σε κάθε γράφημα να βρεθεί κύκλωμα (= κλειστό ίχνος) που να περνά από όλες τις ακμές? Eulerian γράφημα: περιέχει γραμμή Euler Semi-Eulerian γράφημα: περιέχει ανοικτό ίχνος Euler Ψυχαγωγικά προβλήματα, μονοκονδυλιές περιέχει κλειστό ίχνος (κύκλωμα) περιέχει ανοικτό ίχνος (μονοπάτι)

Γραφήματα Euler (2)

Αλγόριθμοι εύρεσης κύκλων Euler (1) Ti G-E(Ti)

Αλγόριθμοι εύρεσης κύκλων Euler (2)

Αλγόριθμοι εύρεσης κύκλων Euler (3) Γράφημα για Αλγόριθμο Tucker

Αλγόριθμοι εύρεσης κύκλων Euler (4) Αρχικά: (α) 1  2  5  1 (β) 5  4  6  5 (γ) 2  3  4  2 Τελικά: 1  2  3  4  2  5  4  6  5

Πρόβλημα Κινέζου Ταχυδρόμου (1) Τέθηκε από κινέζο μαθηματικό (1962) Πρόβλημα: ένας ταχυδρόμος ξεκινάει από το γραφείο του, πρέπει να περάσει απ’ όλους τους δρόμους και επιστρέφει στο γραφείο του, το συντομότερο !!!! Θεωρούμε απλό γράφημα (όχι έμβαρο) και αναζητούμε Eulerian διαδρομή. Αν το γράφημα δεν είναι Eulerian, τότε πρέπει κάποιες ακμές να διασχισθούν περισσότερο από μία φορές. Πόσες? Το μήκος l της βέλτιστης λύσης είναι |Ε| ≤ l ≤ 2|Ε|

Πρόβλημα Κινέζου Ταχυδρόμου (2)

Hamiltonian Γραφήματα (1)

Hamiltonian Γραφήματα (2)

Hamiltonian Γραφήματα (3)

Hamiltonian Γραφήματα (4)

Hamiltonian Γραφήματα (5)

Αλγόριθμος εύρεσης κύκλου Hamilton (1) Πίνακας reachability (πολλαπλασιασμός πινάκων και concatenation των εισόδων) Προκύπτει πίνακας μετά από n-1 πολλαπλασιασμούς Ελέγχεται αν οι είσοδοι αυτού είναι Hamiltonian μονοπάτια/κύκλοι

Αλγόριθμος εύρεσης κύκλου Hamilton (2) B C D E B C D E A AB BC CD CE DE EA EB ED M M1 Διαδοχικοί πολλαπλασιασμοί πινάκων Μi = Mi-1 * M, 1 < i < n

Αλγόριθμος εύρεσης κύκλου Hamilton (3) B C D E B C D E A AB BC CD CE DE EA EB ED M M1 Για κάθε στοιχείο του Μi ισχύει: Μi(r, s) = Σt=1,n Mi-1 (r, t) * M(t, s), 1 < i < n Το σύμβολο * δηλώνει παράθεση των αντίστοιχων στοιχείων των Μi-1 και M, αν κανένα από τα δύο στοιχεία δεν είναι 0, και το σύμβολο του Μ δεν συμπεριλαμβάνεται στην αντίστοιχη συμβολοσειρά του Μi-1.

Αλγόριθμος εύρεσης κύκλου Hamilton (4) AB BC CD CE DE EA EB ED B C D E A * M1 M Μ2 = M1 * M, Για το (1, 3) του Μ2  Μ2(1, 3) = Σt=1,5 M1 (1, t) * M(t, 3) __________________________________________________________________________________________________ Γραμμή 1 του Μ1 Στήλη 3 του Μ ------------------------- Στοιχείο (1,3) του Μ2 0 ΑΒ 0 0 0 0 C 0 0 0 ------------------------------------------ 0 ΑΒC 0 0 0

Αλγόριθμος εύρεσης κύκλου Hamilton (5) AB BC CD CE DE EA EB ED B C D E A * M1 M ABC BCD BCE CEA CEB CED CDE DEA DEB EAB EBC M2

Αλγόριθμος εύρεσης κύκλου Hamilton (6) AB BC CD CE DE EA EB ED B C D E A * M1 M ABCED ABCDE BCDEA BC CDEAB DEABC EABDC M4

Περιοδεύων Πωλητής

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (1) Επίλυση με ευριστικές υποβέλτιστες λύσεις Μέτρο σύγκρισης είναι η ποσότητα 1 ≤ L / Lopt = a

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (2)

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (2)

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (3) Μέθοδος με ελάχιστα ζευγνύοντα δένδρα (3,1,2,4,5,6,3) βάρος 212 Μέθοδος με διαδοχικές ανταλλαγές κορυφών (3,4,5,6,1,2,3) βάρος 237 (3,6,5,4,1,2,3) βάρος 210 (3,6,5,4,2,1,3) βάρος 193 (3,6,1,2,4,5,3) βάρος 192

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για το Προβλήματος του Περιοδεύοντος Πωλητή (4) Μέθοδος πρακτικής εύρεσης κάτω ορίου σε πρόβλημα tsp: Θεωρούμε ελάχιστο ζευγνύον δένδρο στο γράφημα G-v Λαμβάνουμε δύο ακμές προσπίπτουσες στο v με ελάχιστο βάρος και εισάγουμε mst (minimum spanning tree) Aν v = 5, τότε w(T) = 122, 122+21+35 = 178 κάτω όριο

Άπειρα Γραφήματα (1) Οι κόμβοι είναι σημεία του επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες, ενώ οι ακμές ενώνουν κορυφές σε απόσταση 1 Σε άπειρο γράφημα δεν υπάρχει Eulerian κύκλωμα ή Hamiltonian κύκλος, αλλά υπάρχουν τα αντίστοιχα μονοπάτια Μονοδρομικό (one-way) Eulerian/Hamiltonian μονοπάτι είναι το μονοπάτι που ξεκινά από μία κορυφή και επεκτείνεται επ’άπειρο (space filling curve)

Άπειρα Γραφήματα (2) Peano/z-order Hilbert

Μαγικά Τετράγωνα (1) Γραμμές, στήλες και διαγώνιοι έχουν ίσο άθροισμα Μεγάλη προϊστορία/ιστορία-Dührer 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 23 1 2 20 19 22 16 9 14 4 5 11 13 15 21 8 12 17 10 18 7 25 24 6 3

Μαγικά Τετράγωνα (2) Αλγόριθμοι κατασκευής μαγικών τετραγώνων (περιττής τάξης): Μέθοδος Bachet (με ρόμβο) Με το τέχνασμα των τριών τυχαίων αριθμών (π.χ. 3,2,5) Αντικαθιστώντας τους περιττούς αριθμούς 3-17 στις θέσεις 1-9 Προσθέτοντας σε κάθε θέση τον ίδιο αριθμό Μαγικό λέγεται το γράφημα όπου το άθροισμα των επιγραφών των ακμών που προσπίπτουν σε όλους τους κόμβους είναι ίσο περιττής τάξης

Μέθοδος Bachet

Μέθοδος Bachet

Μαγικά Τετράγωνα (3) Θεώρημα: αν ένας διμερές γράφημα μπορεί να αποσυντεθεί σε 2 Hamiltonian κύκλους, τότε το γράφημα είναι μαγικό Αντιμαγικό λέγεται το γράφημα όπου τα αθροίσματα των επιγραφών των ακμών που προσπίπτουν σε όλους τους κόμβους είναι άνισα Πλήθος μαγικών αντικειμένων (ομόκεντρα τετράγωνα, τετράγωνα με ντόμινο, πολύγωνα κλπ)

Εφαρμογές Κίνηση αλόγων (knight tour) σε σκακιέρα ή κάθε είδους πλαίσιο Hamiltonian μονοπάτια και κύκλοι DeMoivre (κίνηση περιμετρικά) Εuler (μαγικό τετράγωνο), κλπ Τοποθέτηση προσώπων σε τραπέζι Θεώρημα: για διαφορετικούς Hamiltonian κύκλους: (n-1)/2 Στιγμιαία παραφροσύνη