Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 2: Μονοπάτια Και Κύκλοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (1) Περίπατος (walk): ακολουθία από κορυφές και ακμές Ίχνος (trail): περίπατος που μια ακμή δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά Μονοπάτι (path): ίχνος που μια κορυφή δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά Αρχή-τέρμα περιπάτου, ίχνους, μονοπατιού Τερματικές και εσωτερικές κορυφές ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (2) Αρχή=τέρμα: κλειστό ίχνος (κύκλωμα), κλειστό μονοπάτι (κύκλος) Αρχή<>τέρμα: ανοικτό ίχνος, μονοπάτι Τί είναι τα δένδρα? Μονοπάτια ξένα ως προς τις ακμές (edge-disjoint) Συνδεδεμένες κορυφές ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αποστάσεις (1) Μήκος περιπάτου, ίχνους, μονοπατιού: αριθμός ακμών Απόσταση dist(u,v): μήκος συντομότερου μονοπατιού από τη u στη v Μη αρνητικότητα: dist(u,v)>0 (dist(u,v)=0, αν u=v) Συμμετρική: dist(u,v)=dist(v,u) Ανισοϊσότητα τριγώνου: dist(u,v)+dist(u,v)>=dist(u,v) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αποστάσεις (2) Πρόβλημα: πού θα τοποθετηθεί το πολυδύναμο αστυνομικό τμήμα; Εκκεντρικότητα (eccentricity): η απόσταση από την κορυφή v προς την πλέον απομακρυσμένη κορυφή του γράφου (Ε(v)=max(dist(v,u)), για κάθε u) Κέντρο (center): ο υπογράφος με την ελάχιστη εκκεντρικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αποστάσεις (3) Θεώρημα: κάθε γράφος είναι κέντρο ενός συνδεδεμένου γράφου Ακτίνα: η εκκεντρικότητα των κορυφών του κέντρου (rad(G)=min(E(v))) Διάμετρος: η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο κορυφών (diam(G)=max(E(v))) Ποια η διάμετρος των Kn, Wn, Cn, Km,n? Οι έννοιες εφαρμόζονται και σε ζυγισμένο γράφο Θεώρημα: rad(G)<=diam(G)<=2rad(G) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αποστάσεις (4) Πρόβλημα: από κεντρικό ταχυδρομείο, τα γράμματα πηγαίνουν σε περιφερειακό και από εκεί στα σπίτια. Πρέπει να ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα των αποστάσεων από το κεντρικό στα περιφερειακά Απόσταση κορυφής dist(u,v): άθροισμα αποστάσεων από κορυφή v από όλες τις υπόλοιπες κορυφές Μέσο γράφου: υπογράφος επηρεαζόμενος από κορυφές με ελάχιστη απόσταση Το κέντρο και το μέσο του γράφου δεν ταυτίζονται αναγκαστικά ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Αποστάσεις (5) Γράφοι για το πρόβλημα του ταχυδρομείου Γράφος για επίδειξη διαφοράς κέντρου και μέσου ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Eulerian γράφοι (1) Leonard Euler, Ελβετός, πατέρας Θεωρίας Γράφων, 1736 πρόβλημα γεφυρών Koenigsburg Πρόβλημα: είναι δυνατόν σε κάθε γράφο να βρεθεί κύκλωμα (=κλειστό ίχνος) που να περνά από όλες τις ακμές? Eulerian γράφος: περιέχει γραμμή Euler Semi-Eulerian γράφος: περιέχει ανοικτό ίχνος Euler Ψυχαγωγικά προβλήματα, μονοκονδυλιές ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Eulerian γράφοι (2) Θεώρημα: Ένας απλός γράφος είναι Eulerian αν έχει 0 κορυφές περιττού βαθμού Ένας απλός γράφος είναι Eulerian αν έχει 2 κορυφές περιττού βαθμού (το αναγκαίο φαίνεται εύκολα, το ικανό αποδεικνύεται με επαγωγή) Πρόβλημα: πώς διαπιστώνεται αλγοριθμικά ότι ένας γράφος είναι Eulerian? (με dfs και εφαρμογή θεωρήματος Ο(Ε)) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμοι εύρεσης Eulerian κύκλων (1) Αυθαίρετα εξιχνιάσιμος από την κορυφή v λέγεται ένας γράφος, αν είναι βέβαιο ότι μπορούμε να σχηματίσουμε γραμμή Euler ξεκινώντας από την κορυφή v Αλγόριθμοι: Fleury (<1921): με σταδιακή επέκταση του ίχνους Τ αποφεύγοντας τις υπογέφυρες στον υπογράφο G-T, εκτός αν δεν υπάρχει άλλη επιλογή Hierholtzer (1873): με συγκόλληση επιμέρους κυκλωμάτων Tucker (1976): με διάσπαση κορυφών ώστε να σχηματιστούν ξένοι επιμέρους κύκλοι, και συγκόλληση κύκλων ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμοι εύρεσης Eulerian κύκλων (2) Γράφος για Hierholtzer Αρχικά: 1261 23652 3543 Ενώνουμε διαδοχικά: 12365261 Τελικά: 12354365261 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμοι εύρεσης Eulerian κύκλων (3) Γράφος για Tucker ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμοι εύρεσης Eulerian κύκλων (4) Αρχικά: 1251 5465 2342 Τελικά: 123425465 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Πρόβλημα Κινέζου Ταχυδρόμου (1) Τέθηκε από κινέζο μαθηματικό (1962) Πρόβλημα: ένας ταχυδρόμος ξεκινάει από το γραφείο του, επισκέπτεται όλους τους δρόμους και επιστρέφει στο γραφείο του. Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή? Θεωρούμε απλό γράφο (όχι ζυγισμένο) και αναζητούμε Eulerian γραμμή. Αν ο γράφος δεν είναι Eulerian, τότε πρέπει κάποιες γραμμές να διασχισθούν περισσότερο από μία φορές. Πόσες? Το μήκος της βέλτιστης λύσης είναι |Ε|<=1<=2|Ε| ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Πρόβλημα Κινέζου Ταχυδρόμου (2) Μια λύση είναι θεωρώντας τις κορυφές περιττού βαθμού και ενώνοντάς τες (όλες προς όλες) με πλασματικές ακμές βάρους ίσου με το μήκος του συντομότερου μονοπατιού. Έτσι εφαρμόζεται ένας προηγούμενος αλγόριθμος, ενώ στο τέλος αντικαθίσταται η πλασματική ακμή με το πραγματικό μονοπάτι Μια δεύτερη λύση στηρίζεται στις αντιστοιχίσεις ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Hamiltonian γράφοι (1) Sir William Rowan Hamilton, Ιρλανδός, 1856 «Γύρος του κόσμου», 12εδρο Πρόβλημα: είναι δυνατόνσε κάθε γράφο να βρεθεί κύκλος (=κλειστό μονοπάτι) που να περνά από όλες τις κορυφές? Hamiltonian γράφος, κύκλος, μονοπάτι Ψυχαγωγικά προβλήματα Κίνηση ιπποτών (knight tour) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Hamiltonian γράφοι (2) Hamiltonian εξιχνιάσιμος (έχει Hamiltonian μονοπάτι) Hamiltonian ομογενώς εξιχνιάσιμος (εξιχνιάσιμος από κάθε κορυφή) Συνδεδεμένος κατά Hamiltonian (δύο οποιεσδήποτε κορυφές συνδέονται με Hamiltonian μονοπάτι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Hamiltonian γράφοι (3) Πρόβλημα: ποιά είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε να είναι ένας γράφος Hamiltonian? (NP-complete) Θεώρημα: κάθε πλήρης γράφος είναι Hamiltonian Θεώρημα: κάθε πλήρης γράφος έχει (n-1)/2 Hamiltonian κύκλους ξένους ως προς ακμές Θεώρημα: κάθε απλός γράφος με n>=3 και d(G)>=n/2 είναι Hamiltonian ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Hamiltonian γράφοι (4) Θεώρημα: κάθε απλός γράφος με n>=3 και d(x)+d(y)>=n για κάθε ζεύγος μη γειτονικών κορυφών x,y είναι Hamiltonian Θεώρημα: κάθε απλός γράφος με n>=3 και d(x)+d(y)>=n για κάθε ζεύγος μη γειτονικών κορυφών x,y είναι Hamiltonian, αν ο γράφος G+(x,y) είναι Hamiltonian Κλείσιμο γράφου είναι ένας γράφος με επιπλέον ακμές για τα ζεύγη μη γειτονικών ακμών x και y, όπου ισχύει d(x)+d(y)>=n Θεώρημα: κάθε απλός γράφος είναι Hamiltonian, αν και μόνον αν το κλείσιμο είναι Hamiltonian ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμος εύρεσης Hamiltonian κύκλου (1) Πίνακας reachability (πολλαπλασιασμός πινάκων και concatenation των εισόδων) Προκύπτει πίνακας μετά από n-1 πολλαπλασιασμούς Ελέγχεται αν οι είσοδοι αυτού είναι Hamiltonian μονοπάτια/κύκλοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αλγόριθμος εύρεσης Hamiltonian κύκλου (2) B C D E A AB BC CD CE DE EA EB ED ABCED ABCDE BCDEA BC CDEAB DEABC EABDC ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Περιοδεύων Πωλητής Ευκλείδειος γράφος: όταν ισχύει η ανισοϊσότητα του τριγώνου Πρόβλημα: με ποιά σειρά πρέπει να επισκεφθεί τις πόλεις ο πωλητής και να επιστρέψει στη δική του με το ελάχιστο κόστος? Αν ο γράφος δεν είναι Ευκλείδειος, τότε συμφέρει ο πωλητής να περνά από την ίδια πόλη περισσότερο από μία φορά Σε Ευκλείδειο γράφο, brute-force O(nn), δυσχείριστο, αλλά και με δυναμικό προγραμματισμό, διακλάδωση και περιορισμό είναι NP-complete O(n22n) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Για Το Προβλήματος Περιοδεύοντος Πωλητή (1) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Για Το Προβλήματος Περιοδεύοντος Πωλητή (1) Επίλυση με ευριστικές υποβέλτιστες λύσεις Μέτρο σύγκρισης είναι η ποσότητα 1<L/Lopt=a ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Για Το Προβλήματος Περιοδεύοντος Πωλητή (2) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Για Το Προβλήματος Περιοδεύοντος Πωλητή (2) Mέθοδος πλησιέστερου γείτονα (άπληστη) (4,5,3,6,1,2), βάρος 192, α=(|lnn|+1)/2 Mέθοδος μικρότερης εισαγωγής (άπληστη) (3) (3) (3,6,3) (3,6,3) (3,6,5,3) (3,5,6,3) (3,6,5,4,3) (3,5,4,6,3) (3,6,1,5,4,3) (3,1,5,4,6,3) (3,6,2,1,5,4,3) βάρος 192 (3,1,2,5,4,6,3) βάρος 212 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Για Το Προβλήματος Περιοδεύοντος Πωλητή (3) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Για Το Προβλήματος Περιοδεύοντος Πωλητή (3) Μέθοδος με ελάχιστα ζευγνύοντα δένδρα (3,1,2,4,5,6,3) βάρος 212 Μέθοδος με διαδοχικές ανταλλαγές κορυφών (3,4,5,6,1,2,3) βάρος 237 (3,6,5,4,1,2,3) βάρος 210 (3,6,5,4,2,1,3) βάρος 193 (3,6,1,2,4,5,3) βάρος 192 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Για Το Προβλήματος Περιοδεύοντος Πωλητή (4) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Για Το Προβλήματος Περιοδεύοντος Πωλητή (4) Μέθοδος πρακτικής εύρεσης κάτω ορίου σε πρόβλημα tsp: Θεωρούμε ελάχιστο ζευγνύον δένδρο σε γράφο G-v Λαμβάνουμε δύο ακμές προσπίπτουσες στο v με ελάχιστο βάρος και εισάγουμε mst (minimum spanning tree) Aν v=5, τότε w(T)=122, 122+21+35=178=κάτω όριο ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Άπειροι Γράφοι (1) Οι κορυφές είναι σημεία του επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες, ενώ οι ακμές ενώνουν κορυφές σε απόσταση 1 Σε άπειρο γράφο δεν υπάρχει Eulerian κύκλωμα ή Hamiltonian κύκλος, αλλά υπάρχουν τα αντίστοιχα μονοπάτια Μονοδρομικό (one-way) Eulerian/Hamiltonian μονοπάτι είναι το μονοπάτι που ξεκινά από μία κορυφή και επεκτείνεται επ’άπειρο (space filling curve) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Άπειροι Γράφοι (2) Peano/z-order Hilbert ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Μαγικά Τετράγωνα (1) Γραμμές, στήλες και διαγώνιοι έχουν ίσο άθροισμα Μεγάλη προϊστορία/ιστορία-Dührer 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 23 1 2 20 19 22 16 9 14 4 5 11 13 15 21 8 12 17 10 18 7 25 24 6 3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Μαγικά Τετράγωνα (2) Αλγόριθμοι κατασκευής μαγικών τετραγώνων (περιττής τάξης): Μέθοδος Bachet (με ρόμβο) Πηγαίνοντας επάνω-δεξιά Με το τέχνασμα των τριων τυχαίων αριθμών (π.χ. 3,2,5) Αντικαθιστώντας τους περιττούς αριθμούς 1-17 στις θέσεις 1-9 Προσθέτοντας σε κάθε θέση τον ίδιο αριθμό Μαγικός λέγεται ο γράφος όπου το άθροισμα των επιγραφών των ακμών που προσπίπτουν σε όλες τις κορυφές είναι ίσο ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Μαγικά Τετράγωνα (3) Θεώρημα: αν ένας διμερής γράφος μπορεί να αποσυντεθεί σε 2 Hamiltonian κύκλους, τότε ο γράφος είναι μαγικός Αντιμαγικός λέγεται ο γράφος όπου τα αθροίσματα των επιγραφών των ακμών που προσπίπτουν σε όλες τις κορυφες είναι άνισα Πλήθος μαγικών αντικειμένων (ομόκεντρα τετράγωνα, τετράγωνα με ντόμινο, πολύγωνα κλπ) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εφαρμογές Κίνηση αλόγων (knight tour) σε σκακιέρα ή κάθε είδους πλαίσιο Hamiltonian μονοπάτια και κύκλοι DeMoivre (κίνηση περιμετρικά) Εuler (μαγικό τετράγωνο), κλπ Τοποθέτηση προσώπων σε τραπέζι Θεώρημα για διαφορετικούς Hamiltonian κύκλους: (n-1)/2 Στιγμιαία παραφροσύνη ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων