ΗΥ430 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Περιληψη θεωριας Fourier

Ενεργεια και ισχυς σηματων Ενέργεια σηματος w(t): Ενα σημα w(t) ειναι σημα ενεργειας αν 0 < Ε <  Ισχυς σηματος: Για περιοδικα σηματα, με περιοδο Τ, η ισχυς μπορει να υπολογισθει ολοκληρωνοντας μεσα σε μια περιοδο. Ενα σημα w(t) ειναι σημα ισχυος αν 0 < Ρ <  Τα σηματα ισχυος δεν υπαρχουν στην φυση (γιατι??) Υπενθυμηση: Αν ενα ηλεκτρικο σημα εντασεως i(t) ή τασεως v(t) εφαρμοζεται σε μια αντισταση R αναπτύσσεται, την στιγμη t, ισχυς ιση προς i(t)2R ή v(t)2/R. Για R=1 Ωμ η στιγμιαια ισχυς ειναι ιση με το τετραγωνο του σηματος. Η ενεργεια που καταναλωνεται στο διαστημα [-Τ/2, Τ/2] ειναι το ολοκληρωμα της ισχυος στο διαστημα αυτο και η μεση ισχυς ο λογος της ενεργειας προς τον χρονο Τ.

DECIBELS Μοναδα συγκρισης (κυριως ενεργειων και ισχυων) Χρησιμη : Οταν τα μεγεθη μεταβαλλονται κατα αρκετες ταξεις μεγεθους Οταν μας ενδιαφερει κυριως η σχεση (ο λογος ) δυο μεγεθων Για συγκρισεις ενεργειων ή ισχυων: db = 10 log10(P1/P2) Mερικες φορες ειναι χρησιμη η συγκριση της ισχυος ενος σηματος με μια ισχυ αναφορας 1Watt (1W) ή 1 milliWatt (1mW). dbW= 10 log10(P1/ 1W) dbm= 10 log10(P1/ 1mW) Παραδειγματα: Ρ1=1mW =0dbm, Ρ1=10mW =10 dbm, Ρ1=100mW =20dbm, Ρ1=1000mW =30dbm, Ρ1=2mW =3dbm, Ρ1=4mW =6dbm, Ρ1=8mW =9dbm, Ρ1=5mW =7dbm, Ρ1=2.5mW =4dbm, Ρ1=1.25mW =1dbm

O Μετασχηματισμος Fourier - Ορισμος Ο μετασχηματισμος (μ/ς) Fourier του σηματος w(t) ειναι ο: Ο αντιστροφος μ/ς Fourier διδεται απο την σχεση: Συμβολιζουμε ενα ζευγος μ/ς Fourier ως εξης: w(t)  W(f) ή W(f)=F(w(t)) O μ/ς Fourier υπαρχει εαν το w(t) ειναι σημα ενεργειας

Αλλες μορφες του μ/ς Fourier Σε μερικα βιβλια βλεπουμε και τον ακολουθο συμβολισμο: Εδω η κυκλικη συχνοτητα ω =2 π f μετριεται σε radians/sec και προφανως εχουμε dω=2 π df. Οι δυο μορφες ειναι εντελως ισοδυναμες

Φυσικη σημασια του μ/ς Fourier O μ/ς Fourier μπορει να θεωρηθει σαν ενας εργαλειο με το οποιο βλεπουμε ενα σημα απο μια αλλη οπτικη γωνια: Κοιταξτε ποσο διαφορετικη μπορει να φανει μια καρεκλα οταν την κοιτάμε απο διαφορετικες γωνιες Η συχνοτητα μετρα τον ρυθμο της χρονικης μεταβολης ενος σηματος: «Η υψηλη συχνοτητα αντιστοιχει στις γρηγορες μεταβολες συναρτησει του χρονου» «Η χαμηλη συχνοτητα αντιστοιχει στις αργες μεταβολες»

Παραδειγμα Υπολογισμου μ/ς Fourier Τετραγωνικος Παλμος Τετραγωνικος παλμος: Αλλά Οπότε Π(t/T) 1 -Τ/2 Τ/2 t

Μ/ς Fourier Τετραγωνικου Παλμου (2) Eιδαμε οτι Π(t/T)  Τ sinc(πfT) Παρατηρησεις: Η διαρκεια του παλμου ειναι αντιστροφως αναλογη του ευρους φασματος Η ασυνεχεια στο πεδιο του χρονου οδηγει σε απεριοριστο φασμα πεδιο συχνοτητων Τ sinc(fT) Πεδιο χρονου π(t/T)

Ταυτοτητες EULER

Μερικα συνηθισμενα σηματα Τετραγωνικος Παλμος: Τριγωνικος Παλμος Η συναρτηση δειγματοληψιας Μοναδιαια βηματικη συναρτηση Η μοναδιαια κρουστικη συναρτηση Βασικες ιδιοτητες της δ(t) -T T 1

Παραδειγμα μ/ς Fourier #2 Η εκθετικη συναρτηση Φασμα μετρου |Χ(f)|=|X(-f)| Φασμα φασης

Παραδειγμα μ/ς Fourier #3 Ημιτονοειδης Συναρτηση Μερικες φορες ειναι ευκολωτερο να βρουμε ενα ζευγος μ/ς υπολογιζοντας τον αντιστροφο μ/ς. Ετσι αρχιζοντας απο την σχεση: βρισκουμε: δηλαδη

Μεθοδοι ευρεσης ζευγων μ/ς Fourier Εφαρμογη του ορισμου Δημιουργια πινακα με ζευγη μ/ς Fourier Δημιουργια πινακα απλων κανονων για την μετατροπη των ζευγων του μ/ς

Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς Γραμμικοτητα a1x1(t)+a2x2(t)  a1X1(f)+a2X2(t) παραδειγμα: 5Π(t/10)+3Π(t/20)  50 sinc(10f) +30sinc(20f) Χρονικη καθυστερηση: x(t-Td)  X(f)exp(-j2πfTd) παραδειγμα: sin(2πfct) = cos(2πfct – π/2) = cos[2πfc(t – 1/4fc)]  =(1/2)δ(f-fc)exp(-jπf/2fc) + (1/2) δ(f+fc)exp(-jπf/2fc)= =(1/2)δ(f-fc)jsin(-π/2) + (1/2)δ(f+fc)jsin(π/2) = =(-j/2)δ(f-fc) +(j/2)δ(f+fc)={δ(f-fc) - δ(f+fc)}/2j Aλλαγη κλιμακας: x(at)  (1/ |a|)X(f/a) Μεγαλο a => “στενωτερο” χρονικα σημα => “φαρδυτερο” φασμα Mικρο a => “φαρδυτερο” χρονικα σημα => “στενωτερο” φασμα

Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (2) Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (2) Ολοκληρωση: αν x(t)  X(f) και y(t) = - tx(τ)dτ τοτε Y(f) = X(f)/(2jπf) + (1/2) X(0)δ(f) Παραδειγμα: Αν y(t)= -  tΠ(τ)dτ τοτε Υ(f) = sinc(f)/(2jπf) + (1/2)sinc(0)δ(f)= =sinc(f)/(2jπf) +(1/2)δ(f) Παραγωγιση: d[x(t)]/dt  j2πfX(f) και t x(t)  (j/2π) d[X(f)]/df Δυϊσμος (duality): Αν x(t)  X(f) τοτε Χ(-t)  x(f) και X(t)  x(-f) Παραδειγμα: Π(t)sinc(f) => sinc(t)=sin(πt)/(πt)  Π(-f) = Π(f)

Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (3) Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (3) Διαμορφωση: x(t)cos(2πfct)  (1/2)X(f+fc) + (1/2)X(f-fc) παραδειγμα Θεωρημα του Parseval: E = |x(t)|2dt =  |X(f)|2df H ενεργεια μπορει να υπολογισθει ειτε στο πεδιο του χρονου ειτε στο πεδιο συχνοτητων H |X(f)|2 καθοριζει τον τροπο κατανομης της ενεργειας στο φασμα Παραδειγμα: Αν x(t)=sinc(t) τοτε E =  sinc2(t)dt =  [Π(f)]2df = 1 -W W -fc-W –fc -fc+W fc-W fc fc+W X(f) A A/2

Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (4) Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (4) Συνελιξη: Ορισμος x1(t)*x2(t) = - x1(τ) x2(t-τ) dτ Ιδιοτητα: x1(t)*x2(t)  X1(f) X2(f) Μια πολυπλοκη πραξη στο πεδιο του χρονου αντιστοιχει σε απλο πολλαπλασιασμο στο πεδιο συχνοτητων. Ετσι απλοποιουνται τοσο αναλυτικοι οσο και αριθμητικοι υπολογισμοι Εφαρμογη στα γραμμικα συστηματα: y(t) = x(t)*h(t)  Y(f) = X(f) H(f) h(t)  H(f) = συναρτηση μεταφορας http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Η αυτοσυσχετιση στο πεδιο του χρονου του x(t) οριζεται σαν Rx(τ) = -   x(t) x(t-τ) dt = x(τ)*x(-τ)  Χ(f) X*(f) = |X(f)|2 Η ενεργεια ΕΧ του σηματος x(t) ισουται με ΕΧ = RX(0) http://cnyack.homestead.com/files/aconv/convio.htm y(t) = -   x(τ) h(t-τ) dτ = = -    h(τ) x(t-τ) dτ Κρουστικη αποκριση h(t) x(t)

Περιληψη μ/ς Fourier Μαθηματικη πραξη με αυστηρα οριζομενους κανονες Φυσικη σημασια: Δειχνει το φασματικο περιεχομενο ενος σηματος Διευκολυνει τον υπολογισμο πολλων ποσοτητων και παραμετρων Θεωρημα Parseval (Υπολογισμος ενεργειας) Θεωρημα συνελιξης (διελευση μεσα απο γραμμικα συστηματα)

Σχετικες εννοιες Πυκνοτητα Φασματικης Ενεργειας και Ισχυος Πυκνοτητα φασματικης Ενεργειας EΧ(f) = |X(f)|2 = F[R(τ)] Πυκνοτητα φασματικης Ισχυος: Εστω οτι το x(t) ειναι σημα ισχυος. Τοτε δεν εχει μ/ς Fourier. Οριζουμε το truncated σημα xT(t) = x(t) Π(t/T) O μ/ς Fourier του xT(t) υπαρχει ((γιατι??) XT(f)  xT(t) H πυκνοτητα φασματικης ισχυος SX(f) οριζεται ως εξης: = οριο του λογου (ενεργεια/χρονος)

Αυτοσυσχετιση και πυκνοτητα φασματικης ισχυος σηματων ισχυος Για τo σημα ισχυος x(t) οριζουμε την μεση χρονικα συναρτηση αυτοσυσχετισης RX(τ) Η πυκνοτητα φασματικης ισχυος (Power Spectral Density – PSD) SX(f) αποδεικνυεται οτι ειναι ο μ/ς Fourier της RX(τ), δηλαδη: RX(τ)  SX(f) Η ισχυς του σηματος ΡΧ ειναι Εδω ορισαμε τις πυκνοτητες φασματικης ενεργειας και ισχυος για μη-τυχαια σηματα. Οι ιδιοι ορισμοι ισχυουν και για τα τυχαια σηματα.

Σχετικες Εννοιες (2) Σειρες Fourier O μ/ς Fourier ειναι χρησιμος για ολα τα φυσικα υλοποιησιμα σηματα (=πεπερασμενης ενεργειας) (και επιπλεον για μερικα μη υλοποιησιμα σηματα οπως το ημιτονοειδες σημα και η συναρτηση δελτα). δ(t)  1, 1 δ(f), cos(2πf0t)  (1/2)δ(f-f0) + (1/2)δ(f+f0) Οι σειρες Fourier ειναι ενα παρομοιο εργαλειο μετασχηματισμου που ειναι χρησιμο για περιοδικα σηματα. Τα περιοδικα σηματα ειναι σηματα ισχυος και εξ ορισμου μη υλοποιησιμα Τα περιοδικα σηματα μπορουμε να τα παραστησουμε με μ/ς Fourier αν δεχθουμε την χρησιμοποιηση συναρτησεων δελτα.

Σχετικες Εννοιες (3) Σειρες Fourier - Ορισμος Αν το x(t) ειναι περιοδικο σημα με περιοδο Τ0 , αν ο αριθμος των μεγιστων και ελαχιστων καθως και των σημειων ασυνεχειας σε καθε περιοδο ειναι πεπερασμενος και αν ειναι ολοκληρωσιμο κατ’ απολυτο τιμη στο [0, Τ0], τοτε μπορει να γραφεί σαν αναπτυγμα σε σειρα Fourier: οπου Οι συντελεστες xn επιλεγονται ετσι ώστε Ορθογωνικότητα Οι συντελεστες xn ονομαζονται συντελεστες Fourier και η f0= (1/T0) ειναι η θεμελειωδης συχνοτητα του x(t).

Παραδειγμα υπολογισμου σειρας Fourier Εστω x(t) μια περιοδικη ακολουθια παλμων Π(t/τ) με περιοδο Τ0. Η x(t) γραφεται: Οι συντελεστες Fourier υπολογιζονται ως εξης: Οποτε

Σχετικες Εννοιες (4) Μετ/σμος Fourier Περιοδικων Σηματων Το x(t) ειναι περιοδικο σημα με περιοδο Τ0. Το αναπτυγμα σε σειρα Fourier ειναι Παιρνοντας τον μ/ς Fourier αμφοτερων των μελων βρισκουμε: Οι συντελεστες Fourier xn βρισκονται ως εξης: Οριζουμε το σημα xTo(t) = x(t) Π(t/T0) που ισουται με μια περιοδο του x(t), και εχει μ/ς Fourier ΧTo(f). Τοτε

Απο το συνεχες στο γραμμικο φασμα λογω περιοδικης επαναληψης x(t)X(f) x(t)+x(t-T)X(f)+X(f)exp(-j2πfT)=X(f)[1+exp(-j2πfT)]= = X(f) exp(-jπfT) [exp(jπfT)+exp(-jπfT)]= = 2 X(f) exp(-jπfT) cosπfT x(t)+x(t-T)+x(t-2T)=X(f)[1+exp(-j2πfT)+ exp(-j2πf2T)]= =X(f) exp(-j2πfT)[exp(j2πfT)+1+exp(-j2πfT)]= = X(f) exp(-j2πfT)[1+2cos(2πft)] = X(f) exp(-j2πfT)[4cos2 (πft)-1] x(t)+x(t-T)+x(t-2T)+x(t-3T) =X(f)[1+exp(-j2πfT)+ exp(-j2πf2T)+exp(-j2πf3T)]= =X(f) exp(-j3πfT)[exp(j3πfT)+ ex(jπfT) +exp(-jπfT)+1+exp(-j3πfT)]= =X(f) exp(-j3πfT)[2cos(3πfT/2)+2cos(πfT)]