Ημερομηνία: 13/12/2006 Τμήμα: Πληροφορικής του Ιονίου Πανεπιστημίου Ακαδημ. Έτος: Α΄ MATHEMATICA

2η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ MATHEMATICA ΑΠΟ ΤΙΣ ΚΑΡΟΖΟΥ ΑΡΓΥΡΩ ΚΟΥΓΚΑ ΓΕΩΡΓΙΑ ΣΟΥΛΟΥΚΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ

Να θυμηθούμε: Οι 5 βασικές αριθμητικές λειτουργίες στο MATHEMATICA ορίζονται ως εξής: ΠΡΑΞΗ ΣΥΜΒΟΛΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Πρόσθεση + 5+3 Αφαίρεση - 5-3 Πολλαπλασιασμός * ή διάκενο 5*3 Διαίρεση / 5/3 Ύψωση σε δύναμη ^ 5^3

ΣΥΜΒΟΛΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICA π Pi ∞ Infinity x/y Sqrt[x] x→y x- >y x≤y x<=y x≥y x>=y ∫f(x)dx Integrate[f[x]] ημχ Sin[x]

ημx Sin[x] συνx Cos[x] εφx Tan[x] Εκθετική Exp[x] Λογάριθμος Log[x] Υπερβολικές Συναρτήσεις Sinh[x], Cosh[x], Tan[x] Απόλυτη Τιμή Abs[x] Πρόσημο του x Sign[x] e E i I

Ακόμη, για να βρούμε το αποτέλεσμα που επιθυμούμε πληκτρολογούμε την κάθε εντολή και μετά κρατώντας το πλήκτρο SHIFT πατάμε το πλήκτρο ENTER.

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Do Do[έκφραση,{i,imin,imax,istep}] a[0]=1;Do[a[n+1]=f[n,a[n]],{n,0,N}] Παράδειγμα a[0]=1;Do[a[n=1]=(n+1)=(n+1)a[n],{n,0,10}];Table[a[n],{n,0,10}] Out[1]={a[0],11 a[10],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7],a[8],a[9],a[10]}

Άσκηση: xn+1=xn - Με g(x)=x-cosx Λύση στο MATHEMATICA: x[0]=1.0;Do[x[n+1]=x[n]-(x[n]-Cos[x[n]])/(1+Sin[x[n]]),{n,0,10}];Table[x[n],{n,0,10}] Out[2]={1.,0.750364,0.739113,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085}

Λύση εξίσωσης x=f(x) x=x0;Do[x=f[x],{N}];x Παράδειγμα: x=0.1;Do[x=Cos[x],{20}];x Out[3]=0.73894

Λογισμός Πινάκων Det[A], Inverse[A], Eigensystem[A], MatrixPower[A,n], MatrixExp[A] ΕΝΤΟΛΗ ΤΙ ΚΑΝΕΙ Det[A] Υπολογίζει την ορίζουσα του πίνακα Α Inverse[A] Υπολογίζει την αντίστροφη του πίνακα Α Eigensystem[A] Υπολογίζει την ιδιοτιμία και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α MatrixPower[A,n] Υπολογίζει τη νιοστή δύναμη του πίνακα Α MatrixExp[A] Υπολογίζει το εκθετικό του πίνακα Α

Παράδειγμα σύνταξης ενός πίνακα Α n×n: A={{a11,…,a1n},{a21,…,a2n},…{an1,..ann}}

Πίνακες: λίστα από λίστες

Υπολογισμός της ορίζουσας του πίνακα Α: Det[A] Out[5]=8 Υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα Α: Inverse[A] Out[6]=

Πιο συγκεκριμένα ο αντίστροφος του πίνακα Α είναι: Α-1=

Υπολογισμός των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α: Eigensystem[A] Out[7]={{4,2},{{1,1},{-1,1}}} Προβολή των ιδιοτιμών ΜΟΝΟ: Eigensystem[A][[1]] Out[8]={4,2}

Προβολή των ιδιοδιανυσμάτων ΜΟΝΟ: Eigensystem[A][[2]] Out[9]={{1,1},{-1,1}} Υπολογισμός της νιοστής δύναμης του πίνακα Α: MatrixPower[A,n] ,όπου n ο βαθμός της δύναμης Για ν=4 θα έχουμε: MatrixPower[A,4]

Out[10]={{136,120},{120,136}} Πιο συγκεκριμένα η 4η δύναμη του πίνακα Α είναι ο πίνακας: Α4=

Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα Α(eA): MatrixExp[A] Out[11]=

Πιο συγκεκριμένα ο εκθετικός του πίνακα Α είναι ο πίνακας: eA=

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ (dot) Παραδείγματα: {{2,1},{-3,5}}.{{-4,6},{1,3}} Out[12]={{-7,15},{17,-3}} {{9,4},{-67,23}}.{{12,-46},{5,7}} Out[13]={{128,-386},{-689,3243}}

Οι εντολές: MatrixForm, MatrixTable Out[14]=

Η σύνταξη της TableForm Out[15]=

ΤΕΛΟΣ 2ης ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ MATHEMATICA

3η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ MATHEMATICA ΑΠΟ ΤΙΣ ΚΑΡΟΖΟΥ ΑΡΓΥΡΩ ΚΟΥΓΚΑ ΓΕΩΡΓΙΑ ΣΟΥΛΟΥΚΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ

ΠΛΗΘΥΣΜΙΑΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΕΙΔΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΙΑΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΕΙΔΩΝ Α. Θεωρητική Εισαγωγή (1) a→a-bN (b>0) =(a-bN)N=-bN2+aN

ΥΠΑΡΞΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Τότε:

ΑΡΧΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ: Ν=Ν(0) Κάθε αρχικός Πληθυσμός Ν=Ν(0)<Ν∞ τείνει να αυξάνεται Αν Ν=Ν(0)> Ν∞ τείνει να μειώνεται θέτουμε τότε: x(t):Ποσοστό οριακού πληθυσμού τη στιγμή t a:=r

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ x0: αρχικός πληθυσμός x∞=1 x=0 κρίσιμο σημείο x=-1 ασταθές σημείο x=1 ευσταθές σημείο , για κάθε αρχικό σημείο x0

Γραφική Παράσταση της Διαφορικής Εξίσωσης με Αρχικές Συνθήκες Παράδειγμα y΄+ =cos(x2) Να γίνει η γραφική παράσταση των λύσεων για τις οποίες αυθαίρετη σταθερά παίρνει τις τιμές -2,-1,0,1 και 2 (ολοκληρωτικές καμπύλες της Δ.Ε.)

s1=DSolve[{y΄[x]+ ==Cos[x2]},y[x],x] Out[16]={{y[x]→ }} p1=y[x]/ s1=DSolve[{y΄[x]+ ==Cos[x2]},y[x],x] Out[16]={{y[x]→ }} p1=y[x]/.s1[[1]] Out[17]=

Plot[Evaluate[Table[p1/C[1]→i,{i,-2,2}], {x,0,5}]] Out[18]=

Β. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΟ MATHEMATICA «ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ» r, x(0)=a, χρόνος παρατήρησης f[r_,a_a,T_]:=NDSolve[{x΄[t]==r*x[t]*(1-x[t]), x[0]==a},x,{t,0,T}] Πειράματα: S1=f[0.1,0.5,30]; S2=f[0.1,2,30]; Plot[{x[t]/.S1,x[t]/.S2,1},{t,0,30},PlotRange→{0,2}] Προσοχή: Το σύμβολο → θα το βρείτε στη βοηθητική παλέτα

Αποτέλεσμα: Σύγκλιση δύο λύσεων στην κοινή οριακή τιμή x=1 Out[16]=

ΤΕΛΟΣ 3ης ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ MATHEMATICA