Αριθμητική Ανάλυση Μεταπτυχιακού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΔΙΟΧΩΡΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ ( Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα ) Αριθμητική Ανάλυση Μεταπτυχιακού Ακαδημαϊκό Έτος 2008-2009 7η ΕΒΔΟΜΑΔΑ - Τετάρτη 3 , Δεκεμβρίου 2008

ΙΔΙΟΧΩΡΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα ΙΔΙΟΧΩΡΟΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Η σπουδαιότητα των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων είναι πέρα κάθε περιγραφής. Ιδιαίτερα όταν πρόκειται περί εφαρμοσμένου επιστημονικού θέματος. Π.χ. Οι κινήσεις των πτερύγων των αεροπλάνων υπό διαφόρων αεροδυναμι- κών δυνάμεων μελετώνται με μοντέλα μαθηματικά, όπου ειδικά ο ιδιόχωρος πίνακα ενέχει σπουδαίο ρόλο. Στην Οικονομία η συμπεριφορά της ,υπό την επίδραση των διαφόρων δυνάμεων της αγοράς - τα πάνω και τα …κάτω της, μπορεί να μελετηθεί με μοντέλο μαθηματι- κό στο οποίο βασικό ρόλο παίζει ο ιδιόχωρος πίνακα. Στις εφαρμογές θα έχουμε την ευκαιρία να δούμε μία περίπτωση με γαλακτοβιο- μηχανίες , θέμα επίκαιρο σήμερα λόγω εναρμονισμένων πρακτικών. Στην επαναληπτική επίλυση των γραμμικών συστημάτων ο ιδιόχωρος του επανα- ληπτικού πίνακα αποτέλεσε το κλειδί για την εξασφάλιση του κριτηρίου σύγκλισης της επαναληπτικής μεθόδου. Εξ άλλου, στην θεωρία καμπύλων και επιφανειών ο ιδιόχωρος του πίνακα των δευτεροβάθμιων όρων απλοποιεί την διαδικασία μελέτης των. Τέλος, η μελέτη των δυναμικών συστημάτων είναι στενά συνυφασμένη με την αξιοποίηση των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων, κ.λ.π.

2. Κύριες Κατευθύνσεις Πινάκων 2. Κύριες Κατευθύνσεις Πινάκων Η βασική εξίσωση προσδιορισμού του ιδιόχωρου είναι η : το λ καλείται ιδιοτιμή του Α και το το αντίστοιχο ιδιοδιανυσμα του , ή , κύρια κατεύθυνση του πίνακα Α . Μια άλλη ενδιαφέρουσα ανάγνωση της (1) είναι « να προσδιορισθούν οι τιμές του λ για τις οποίες το ομογενές γραμμικό σύστημα (1) έχει μη τετριμμένη λύση ». Εξάλλου η (1) γράφεται και ως : οπότε η ιδιοτιμή λ μπορεί να εκληφθεί ως η τιμή εκείνη της σταθεράς που μηδενίζει την ορίζουσα-χαρακτηριστικό πολυώνυμο βαθμού ίσου με την διάσταση του πίνακα Α: και εξασφαλίζει μη μηδενική λύση (στην ουσία μία απειρία συγγραμμικών λύσεων) στο γραμμικό ομογενές σύστημα (2). Αυτή η απειρία λύσεων του ομογενούς συστήματος,συνιστά την κύρια κατεύ- θυνση του πίνακα Α ,που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ , αποτελεί ένα υπόχωρο – τον ιδιόχωρο της ιδιοτιμής λ , με διάσταση τουλάχιστον ένα.

Παρατηρήσεις : (α) Εξάλλου, εάν συμβεί και ο πίνακας είναι ο μοναδιαίος, τότε κάθε διάνυσμα είναι και κύρια διεύθυνση με αντίστοιχη ιδιοτιμή την μονάδα. Πάντως , το φυσικό είναι, για κάθε τετραγωνικό πίνακα διάστασης ν, τα ιδιοδιανύσματα του να είναι πλήθους ν, που εάν συμβεί και ο πίνακας να είναι διαγώνιος, τότε τα ιδιοδιανύσματα είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων των συντεταγμένων, με αντίστοιχες ιδιοτιμές τα διαγώνια στοι-χεία του πίνακα, όπως συμβαίνει στον παρακάτω πίνακα Α: (β) Φυσικά, εάν ο ιδιόχωρος ενός πίνακα είναι πλήρης (της ίδιας διάστασης με τον πίνακα ) , τότε η δράση του πίνακα καθορίζεται πλήρως από τα ιδιο- διανύσματα και τις ιδιοτιμές του. Π.χ. για το τυχαίο διάνυσμα: το γινόμενο : θα είναι το διάνυσμα :

Παράδειγμα 1. Στους παρακάτω πίνακες, οι ιδιόχωροι τους είναι : Στον (α), ιδιοτιμές : ο ω (πολλαπλότητα 4) > Jordan block ιδιοδιανύσματα : το μοναδικό Στον (β), ιδιοτιμές : ο ω (πολλαπλότητα 4) ιδιοδιανύσματα : τα δύο ,και Στον (γ), ιδιοτιμές : ο ω (πολλαπλότητα 4) ιδιοδιανύσματα : τα τρία , και το και Στον (δ), ιδιοτιμές : ο ω (πολλαπλότητα 4),καθώς - ως διαγώνιος – και τα αντίστοιχα 4 ιδιοδιανύσματα :τα ,

3. Ιδιότητες Ιδιοτιμών και Ιδιοδιανυσμάτων : Η βασική εξίσωση προσδιορισμού των ιδιοτιμών είναι η (3), που ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση ( χ.ε. ) του πίνακα Α, εάν δε αναπτύξουμε την ορίζουσα γράφεται : που ως αλγεβρική εξίσωση έχει στο C ν ακριβώς ρίζες. Αυτές είναι οι ν ιδιοτιμές (eigenvalues,ή latent roots,ή proper values), ή χαρακτηριστικές τιμές ,του πίνακα Α ,και για πραγματικούς πίνακες Α μπορεί ,ως γνωστό, να είναι είτε μιγαδικές είτε πραγματικές είτε άλλες πραγματικές και άλλες μιγαδικές είτε πολλαπλές . Αντίστοιχα, γιά κάθε ιδιοτιμή λ ,το σύστημα (2) κέκτηται μη τετριμμένη λύση την που ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα (eigenvector , ή latent vector , ή proper vector ), ή χαρακτηριστικό διάνυσμα του Α. Τέλος ,λόγω του (2) εάν είναι μία λύση του , τότε λύση του θα είναι και κάθε με μια αυθαίρετη σταθερά .

Έτσι,με κάποιο κριτήριο έχουμε εκπρόσωπο του, που είτε α) το κανονικοποιεί( normalised ),ή β) το τυποποιεί ( standardised ). Η κανονικοποίηση προκαλεί μία από τις τρείς (3) στάθμες να είναι ίση με την μονάδα : Η τυποποίηση προκαλεί κάθε συντεταγμένη να είναι μεταξύ των 0.1 και 1.0. Δηλαδή στο τυποποιημένο ιδιοδιάνυσμα έχουμε : 0.1 1.0 , κ=1,2,… . Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα Α, οι ιδιοτιμές του πληρούν τις : (α) (β) Εάν (γ) Ο πίνακας (δ) Ο πίνακας (ε) Ο πίνακας

Προφανώς η εξίσωση ( 3 ) παραμένει αμετάβλητη για τον ,άρα ο ανά- 4. O Ανάστροφος Πίνακας Προφανώς η εξίσωση ( 3 ) παραμένει αμετάβλητη για τον ,άρα ο ανά- στροφος πίνακας έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον Α. Τα ιδιοδιανύσματα όμως θα πληρούν την αντίστοιχη της ( 1 ), που γράφεται: Δηλαδή,τα ιδιοδιανύσματα του ανάστροφου πίνακα είναι αριστερά ιδιοδια- νύσματα του αρχικού. Παράδειγμα 2. Στον πίνακα Α, που ακολουθεί : οι ιδιοτιμές του είναι οι : Άσκηση 1. Δείξτε ότι : και επαληθεύσατε το με τα παραπάνω.

5. Βασική ιδιότητα του Χαρακτηριστικού πολυωνύμου Θεώρημα Cayley – Hamilton: « Κάθε τετραγωνικός πίνακας επαληθεύει την χαρακτηριστική του εξίσωση ». Παράδειγμα 3. Στον πίνακα Α που ακολουθεί , η χαρακτηριστική του εξίσωση είναι : Εύκολα δε υπολογίζουμε τα : οπότε εάν τα αντικαταστήσουμε στην χαρακτηριστική του εξίσωση έχουμε : Παρατήρηση :Συνέπεια του θεωρήματος είναι η ύπαρξη διαιρετών του μηδενός, στους πίνακες . Π.χ.,το γινόμενο των παρακάτω δύο πινάκων μηδενίζεται: χωρίς να είναι κάποιος από τους παράγοντες μηδενικός . Άρα από την σχέση : Α.Β=Α.Δ δεν έπεται η ισότητα Β=Δ.

6. Το Ελάχιστο Πολυώνυμο ( ε.π. ) 6. Το Ελάχιστο Πολυώνυμο ( ε.π. ) Το ελάχιστο πολυώνυμο( the minimum / minimal polynomial )είναι το μη μηδενικό μονικό πολυώνυμο ελαχίστου βαθμού ,που μηδενίζεται από τον τετραγωνικό πίνακα. Υπάρχει πάντα ένα και συνδέεται στενά με το χ.π. του πίνακα. Αποδεικνύεται ότι το ε.π. έχει τους ίδιους πρώτους παράγοντες με το χ.π. Τέλος , το ε.π. διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Παράδειγμα 4. Στον παρακάτω πίνακα Α : η χαρακτηριστική του εξίσωση είναι η : ενώ το ελάχιστο πολυώνυμο είναι ένα από τα ακόλουθα : Ένας έλεγχος μας δίδει τα : οπότε ,προφανώς το ελάχιστο πολυώνυμο θα είναι το

7. Γενικές ιδιότητες ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ και ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 7. Γενικές ιδιότητες ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ και ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ (α) Σε απλές ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικώς ανεξάρτητα ( γ.α.) ιδιο-διανύσματα, ο δε πίνακας διαγωνοποιείται: όπου ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων του Α (modal matrix) και Λ ο διαγώνιος πίνακας των ιδιοτιμών του. Άσκηση 2. Δείξτε την παραπάνω γ.α. των ιδιοδιανυσμάτων. (β) Οι συμμετρικοί πίνακες έχουν πάντα πραγματικές ιδιο-τιμές και γραμμικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα . Άρα, πάντοτε διαγωνοποιούνται . (γ) Το ίδιο συμβαίνει στους ορθογώνιους πίνακες : καθώς και στους αντι-συμμετρικούς πίνακες(Skew symmetric) : Αμφότεροι διαγωνοποιούνται , πράγμα που αληθεύει για κάθε κανονικό πίνακα Α :

Παράδειγμα 5. Διαγωνοποίηση συμμετρικού πίνακα Στον συμμετρικό πίνακα Α : η χ.ε. είναι : Για το ιδιοδιάνυσμα της πρώτης ιδιοτιμής θα βρούμε την μη τετριμμένη λύση του : Για το ιδιοδιάνυσμα της δεύτερης ιδιοτιμής θα βρούμε την μη τετριμμένη λύση του : Τέλος, ο πίνακας που προκύπτει από το παρακάτω γινόμενο είναι ο διαγωνιος :

Παράδειγμα 6. Διαγωνοποίηση μη συμμετρικού πίνακα Παράδειγμα 6. Διαγωνοποίηση μη συμμετρικού πίνακα Στον μη συμμετρικό πίνακα Β : η χ.ε. είναι η : Τα ιδιοδιανύσματα του Β είναι : Για μεν την πρώτη ιδιοτιμή ,η μη μηδενική λύση του : Για δε την δεύτερη ιδιοτιμή ,η μη μηδενική λύση του : Εάν

(δ) Τα ιδιοδιανύσματα του ανάστροφου πίνακα είναι διορθογωνικά ( bi-orthogonal )με τα ιδιοδιανύσματα του αρχικού. Από την (1), παίρνοντας αναστρόφους , έχουμε : Παράλληλα,από την (5),με και πολλαπλασιασμό της εξ αριστερών επί : Από τις δύο προηγούμενες σχέσεις θα έχουμε : και επειδή έπεται ότι θα πρέπει : (ε) Τέλος, επειδή : και έτσι τελικά η (5.1) γίνεται : που αποτελεί την διαγωνοποίηση του αρχικού πίνακα μέσα στον ιδιόχωρο του, συνδέοντας τον Α με τους πίνακες των ιδιοτιμών ( Λ ), των δεξιών ( Χ ) και των αριστερών ( Ψ ) ιδιοδιανυσμάτων του . Άσκηση 3. Δείξτε ότι όμοιοι τετραγωνικοί πίνακες με ίδιο πλήρη modal matrix ( ίδιο πλήρες σύνολο ιδιοδιανυσμάτων ) πληρούν την συμμετρική ιδιότητα : Α . Β = Β . Α.

Παράδειγμα 7. Ο ιδιόχωρος των ακολούθων πινάκων : Παράδειγμα 7. Ο ιδιόχωρος των ακολούθων πινάκων : προσδιορίζεται από τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων. Α. Εύρεση ιδιοτιμών : Η χαρακτηριστική εξίσωση του Α είναι : Η χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα Β είναι : Β. Εύρεση ιδιοδιανυσμάτων:Το προσδιορίζον σύστημα για τον Α είναι : Άρα ο ιδιόχωρος του Α έχει το πλήρες σύστημα των Ιδιοδιανυσμάτων.

Το σύστημα για τον πίνακα Β είναι το : Πάλι από την σχέση (2), για τον πίνακα Β ,θα έχουμε: Δηλαδή , ο ιδιόχωρος του Β είναι ελλειματικός (Defective )και κέκτηται δύο μόνον ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα. Τέλος,αξίζει να σημειωθεί ότι ενώ οι δύο πίνακες Α και Β είχαν την ίδια χαρακτηριστική εξίσωση (και προφανώς τις ίδιες ιδιοτιμές),εν τούτοις τα ιδιοδιανύσματα τους είχαν εντελώς διαφορετική συμπεριφορά,με αποτέλεσμα ο μεν πρώτος πίνακας να διαγωνοποιείται , αφού έχει ένα πλήρες σύστημα ιδιοδιανυσμάτων,ενώ ο πίνακας Β να μην δια-γωνοποιείται. Άσκηση 4. Με κατάλληλο μετασχηματισμό διαγωνοποιήσατε τον Α.

(στ) Η περίπτωση πολλαπλών ιδιοτιμών και μη διαγωνοποιήσιμων πινάκων μας οδηγεί στην κανονική μορφή JORDAN , που στην ουσία είναι block–diagonal μορφή, με διαγώνια στοιχεία τα JORDAN- blocks και στοιχεία της κυρίας διαγωνίου τις πολ-λαπλές ιδιοτιμές,ενώ το πλήθος των blocks είναι ίσο με το πλήθος των γραμμικώς ανε-ξαρτήτων ιδιοδιανυσμάτων, του πίνακα. Π.χ., στην κανονική μορφή JORDAN (8) υπάρχουν πέντε (5) διαγώνια blocks με διαστάσεις 3,2,1,1 και 2, που σημαίνουν την παρουσία 5 γραμμικώς ανεξαρτήτων ιδιοδιανυσμάτων, αφού σε κάθε JORDAN block αντιστοιχεί , ένα μόνο ιδιοδιάνυσμα, ενώ οι εννέα ιδιοτιμές του είναι οι εξής : Ι. Ο 2 με αλγεβρική πολλαπλότητα(α.π.) 5 και γεωμετρική (γ.π.) 2, ΙΙ. ο 5 με α.π. 2 και γ.π. 1, ΙΙΙ. ο -3 με α.π. 2 και γ.π. ομοίως 2 ( η γ.π. είναι ίση με το πλήθος των γραμμικώς ανεξαρτήτων διανυσμάτων που συνδέονται με μία ιδιοτιμή) : (ζ) Η βασική δομή των JORDAN blocks είναι άνω τριγωνικοί πίνακες, της μορφής:

μπορεί να μελετηθεί παίρνοντας την ακόλουθη περίπτωση και διερευνώντας τι συμβαίνει στα δύο ιδιοδιανύσματα του πίνακα J : του οποίου οι δύο ιδιοτιμές α και β είναι διάφορες αλλήλων. Από την σχέση (2) , εύκολα υπολογίζουμε τα δύο αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα , που είναι τα : Προφανώς,όταν τα δύο ιδιοδιανύσματα ταυτίζονται με το πρώτο. Αυτή η διαπίστωση είναι γενικώτερη και μπορεί να αποδειχθεί ότι το γενικό Jordan block, ν - τάξεως : κέκτηται μία ιδιοτιμή, την α ( πολ. ν) και ένα μόνο ιδιοδιάνυσμα το Αριθμητική Ανάλυση 6/19

που σημαίνει ότι η αντίστοιχη ιδιοτιμή έχει γεωμετρική πολλαπλό-τητα ίση με 1, ενώ η αλγεβρική της πολλαπλότητα είναι ν. Παράδειγμα 8. Στον προηγούμενο απλό πίνακα(8), οι ιδιοτιμές του είναι οι 2,5 και -3 , ενώ τα ιδιοδιανύσματα του θα βρεθούν από την λύση του (2). Έτσι γιά την ιδιοτιμή λ=2 ,θα έχουμε το σύστημα : Αριθμητική Ανάλυση 7/19

Για την λύση του (9), παρατηρούμε τα εξής : Από την πρώτη εξίσωση θα έχουμε : έστω κ, Από την δεύτερη εξίσωση θα έχουμε : Από την τρίτη εξίσωση θα έχουμε : Από την 4η εξίσωση θα έχουμε : Από την 5η «» «» : Από την 6η «» «» : Από την 7η «» «» : Από την 8η «» «» : έστω λ, Από την 9η «» «» : Άρα το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 2 είναι το : που προφανώς γράφεται που δίδει όλα τα ιδιοδιανύσματα που συνδέονται με την ιδιοτιμή 2.

Για την ιδιοτιμή 5 θα έχουμε το παρόμοιο με το (9) σύστημα (10): για το οποίο με παρόμοια διαδικασία μπορούμε εύκολα να έχουμε : οπότε όλα τα ιδιοδιανύσματα που συνδέονται με την ιδιοτιμή 5 είναι τα:

Τέλος, για την ιδιοτιμή -3 , θα έχουμε το σύστημα (11) : από το οποίο με παρόμοιο τρόπο παίρνουμε την λύση : και την γενική μορφή των ιδιοδιανυσμάτων που συνδέονται με την -3 :

8. Οι Μετασχηματισμοί Ομοιότητας ( Similarity Transformations ): Στην & 1,με την σχέση (5.1) : είχαμε μία πρώτη γεύση του μετασχηματισμού ομοιότητας που κύριο χαρακτηριστικό του είναι ότι διατηρεί τις ιδιοτιμές του πίνακα Α στον Λ . Ο λόγος είναι απλός , διότι για τον οποιοδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα Χ ,έχουμε εύκολα τις σχέσεις : Άρα, ο πίνακας Α και ο μετασχηματισμένος - έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές - ονομάζονται όμοιοι, ενώ τα ιδιοδιανύσματα τους μετασχηματίζονται στα : Παρατήρηση : Στην περίπτωση που ο Χ αποτελεί τον πίνακα των ιδιοδιανυ- σμάτων, τότε ο μετασχηματισμός ομοιότητας οδηγεί σε πίνακα διαγώνιο , όπως ο Λ , πράγμα που απλοποιεί την συμπερι- φορά του αρχικού πίνακα Α και διευκολύνει τον υπολογισμό των δυνάμεων του Α . Π.χ.,για τον υπολογισμό των δυνάμεων θα έχουμε : όπότε, αρκεί να υψωθεί ο διαγώνιος πίνακας στην δύναμη.

Εφαρμογή στην Αναλυτική Γεωμετρία Άσκηση 5. Να ευρεθεί η χαρακτηριστική εξίσωση ,οι ιδιοτιμές τα ιδιοδια- νύσματα καθώς και το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα: 9. Εφαρμογή στην Αναλυτική Γεωμετρία – 2 Διαστάσεις Ως γνωστόν οι κωνικές τομές αποτελούν τις καμπύλες που παριστούν οι δευτεροβάθμιες εκφράσεις: που μελετώνται με την βοήθεια του πίνακα της κωνικής τομής :

Εφαρμογή – Πίνακας κωνικής τομής Εφαρμογή – Πίνακας κωνικής τομής ως εξής : Ο υποπίνακας των δευτεροβάθμιων όρων : ενέχει βασική σημασία στην μελέτη των παραπάνω καμπύλων. Πιο συγκεκριμένα,ο πίνακας (3),ως συμμετρικός διαγωνοποιείται πάν- τοτε με την βοήθεια ενός καταλλήλου μετασχηματισμού : με τα λ να είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Φ και τα ιδιοδιανύσματα του να είναι οι στήλες του Μ, που εάν κανονικοποιηθούν( normalised ),

Εφαρμογή – Μετασχηματισμοί στροφής και μεταφοράς τότε , ο πίνακας Μ καθίσταται ορθογώνιος, και παριστά τον μετασχηματισμό στροφής που οδηγεί την κωνική τομή στην κανονική της μορφή. Πιό συγκεκριμένα, η στροφή θα είναι η : οπότε η (1) γίνεται : ή, μετά τις πράξεις και την απαλοιφή του όρου του γινομένου: και εφόσον τα λ είναι διάφορα του μηδενός με τον μετασχηματισμό μετα- φοράς( translation) της αρχής των αξόνων :

Εφαρμογή – Κανονική μορφή κωνικής τομής Εφαρμογή – Κανονική μορφή κωνικής τομής οπότε η (1) φέρεται στην κανονική της μορφή, που είναι ( έλλειψη η υπερβολή) : Τέλος, εάν κάποια ιδιοτιμή είναι μηδέν, έστω η δεύτερη,τότε ο μετασχη- ματισμός μεταφοράς θα είναι ο : οπότε η (1) φέρεται στην παραβολική κανονική μορφή,που είναι : Άσκηση 6 :Να τεθούν στην κανονική τους μορφή οι καμπύλες :

10. Εφαρμογή στην Αναλυτική Γεωμετρία – 3 Διαστάσεις 10. Εφαρμογή στην Αναλυτική Γεωμετρία – 3 Διαστάσεις Στην τριδιάστατη περίπτωση με παρόμοιο τρόπο θα έχουμε την εξίσω-ση των επιφανειών (Quadric surface ): που η μελέτης της επιτυγχάνεται με την βοήθεια του πίνακα της επιφάνειας ( the matrix of the quartic surface ): Ο υποπίνακας των δευτεροβάθμιων όρων, πάλι: ενέχει αποφασιστικό ρόλο στην ταξινόμιση των 17 περιπτώσεων που μπο- ρούν να προκύψουν.

Εφαρμογή στην Αναλυτική Γεωμετρία – 3 Διαστάσεις Εφαρμογή στην Αναλυτική Γεωμετρία – 3 Διαστάσεις Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Φ θα δώσουν την μορφή της επιφά- νειας καθώς και την στροφή των αξόνων που θα απαλείψουν τους όρους των γινομένων, ενώ η μεταφορά που θα ακολουθήσει θα θέσει την επιφάνεια στην κανονική της μορφή. Παράδειγμα 9. Ας μελετήσουμε την επιφάνεια : Οι ιδιοτιμές του πίνακα των δευτεροβάθμιων όρων, είναι : οπότε η στροφή θα δίδεται από τον μετασχηματισμό :

Εφαρμογή στην Αναλυτική Γεωμετρία – 3 Διαστάσεις Εφαρμογή στην Αναλυτική Γεωμετρία – 3 Διαστάσεις που ακολουθεί : και παράγει την μορφή : Νέος μετασχηματισμός μεταφοράς στο ( 1 1/ -1/ ): θα φέρει την επιφάνεια στην κανονική της μορφή ( πραγματικό ελλειψοειδές): Άσκηση 7: Να μελετηθεί η επιφάνεια :

OI 17 περιπτώσεις επιφανειών 2ου βαθμού , στον Χώρο: 1-2 : Πραγματικό και Φανταστικό Ελλειψοειδές - 3-4 : Υπερβολοειδές ενός ή δύο τμημάτων - 5-6 : Ελλειπτικό ή Υπερβολικό Παραβολοειδές - 7-8 : Πραγματικός και Φανταστικός Ελλειπτικός Κύλινδρος- 9-10 : Υπερβολικός ή Παραβολικός Κύλινδρος- 11-12: Πραγματικά ή Φανταστικά Παράλληλα Επίπεδα- 13-14: Τεμνόμενα Πραγματικά ή Φανταστικά Επίπεδα- : Δευτεροβάθμιος Κώνος - : Γραμμή : Σημείο

11. Τα Εργαστήρια της 7ης Εβδομάδας 11. Τα Εργαστήρια της 7ης Εβδομάδας Εργαστήριο 13ο. Στον συμμετρικό πίνακα που ακολουθεί : να ευρεθεί ο ιδιόχωρος του ( Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα ). Στην συνέχεια, να διαγωνοποιηθεί με κατάλληλο μετασχηματισμό και να υπολογισθεί ο . Τέλος, ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του Α? Εργαστήριο 14ο. Στον παρακάτω πίνακα : να ευρεθεί ο ιδιόχωρος του και να εξετασθεί εάν ο Β διαγωνοποιείται. Στην συνέχεια, να σχηματισθεί ο πίνακας και να υπολογισθεί το γινόμενο Τι συμπέρασμα συνάγετε γιά τον πίνακα Β?