ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ Ασχολείται με: Κίνηση των ατόμων (ιόντων) μέσα στο πλέγμα. Προσέγγιση: Born Oppenheimer. (Αδιαβατική προσέγγιση) Η συνολική ενέργεια των ατόμων παίζει το ρόλο δυναμικού, εντός του οποίου κινούνται τα επιμέρους άτομα. Μικρή αλληλεπίδραση δυναμικής ενέργειας των ατόμων και της ενέργειας των ηλεκτρονίων. Ειδική θερμότητα, θερμική διαστολή, θερμική αγωγιμότητα Αλληλεπίδραση με ακτινοβολία. Φαινόμενα μεταφοράς

Αδιαβατική Προσέγγιση (Born Oppenheimer ) Συνολική Ενέργεια = Ενέργεια Ιόντων + Ενέργεια ηλεκτρονίων + ενέργεια αλληλεπίδρασης ιόντος –ηλεκτρονίου Προσέγγιση Born Oppenheimer Προσέγγιση Αδιαβατική Προσέγγιση Παγωμένων φωνονίων Φαινόμενα μεταφοράς Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

ΔΥΝΑΜΙΚΟ Αρμονική προσέγγιση Συμβολισμός: n-οστή στοιχειώδης κυψελίδα Άτομο α Συμβολισμός: Απομάκρυνση από θέση ισορροπίας Αρμονική προσέγγιση Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Σταθερές σύζευξης Σταθερές σύζευξης (Μεταξύ οιονδήποτε ατόμων) Σταθερές σύζευξης (Μεταξύ οιονδήποτε ατόμων) Δύναμη (ελκτική) στο α-άτομο της n-στής κυψελίδας στην j-κατεύθυνση, αν το β-άτομο της m-στής κυψελίδας στην i-κατεύθυνση Ιδιότητες σταθερών σύζευξης: Συμμετρία μετατόπισης Δράση- Αντίδραση Αναλλοίωτο της Δυναμικής ενέργειας σε απειροστή μετατόπιση Αναλλοίωτο της Δυναμικής ενέργειας σε απειροστή στροφή Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Εξίσωση κίνησης Νόμος Νεύτωνα Λύση - Απαίτηση !!! Ανηγμένα Πλάτη [L] [M]-1/2 Εξίσωση κινήσεως Εξίσωση κινήσεως Μη τετριμμένες λύσεις Σχέση διασποράς Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Εφαρμογή: Γραμμική διατομική αλυσίδα Αλληλεπιδρούν μόνο γειτονικά άτομα με την ίδια "σταθερά f " Συνολική δύναμη σε κάθε άτομο μηδενική. Δείκτες α, β ={1,2}, {i,j,k} ={x} Δείκτης m ={n-1,n,n+1) Εξίσωση κινήσεως (γενική): Δύναμη που ασκεί στον "εαυτό" (2f) του ένα άτομο όταν εκτρέπεται κατά u0 με το σύνολο των δυνάμεων που ασκούν τα άλλα άτομα σε αυτό όταν αυτά κινούνται κατά - u0. (2f) Παρατηρείστε Εξίσωση κινήσεως: Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Εφαρμογή: Γραμμική διατομική αλυσίδα Λύση ( όχι γενική !, επιθυμητή !!): Σχέση διασποράς Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Σχέσεις διασποράς: ιδιότητες  (q) = (-q)  (q) = (q+2π/a) Γενίκευση  = j(q) όπου j=1, 2,…3(a+b), 3ρ Καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό Την αλληλεπίδραση με την ακτινοβολία (ταχύτητα διαδόσεως, διασπορά, μήκος κύματος κλπ) Θερμικές ιδιότητες (Ειδική θερμότητα, αγωγιμότητα, αναρμονικότητα) Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Γραφική παράσταση σχέσεως διασποράς A Β A' Β' Κύρια στοιχεία: Δύο κλάδοι διασποράς "Ακουστικός" Μηδενίζεται για q 0 Η μέγιστη συχνότητα καθορίζεται από την βαριά μάζα M. Τα δύο είδη ατόμων κινούνται σε φάση. (Μόνο για q0 !!!) "Οπτικός" Εμφανίζεται αν ρ  2 (άτομα/ κυψελίδα) Δεν μηδενίζεται η συχνότητα Η ελάχιστη συχνότητα καθορίζεται από την ελαφρά μάζα m. Η μέγιστη συχνότητα εξαρτάται και από τις δύο μάζες. Χάσμα Συχνοτήτων Εξαρτάται από τη "διαφορά" μαζών Διαφορετική διασπορά ( Εύρος ταινίας). Παρατηρείστε και εδώ την ισοδυναμία σημείων που "απέχουν" κατά n G Παρατηρείστε ότι το εύρος του ακουστικού κλάδου είναι περίπου τριπλάσιο του οπτικού. ( M/m=2 ). Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Επίδραση του λόγου μαζών op ac Παρατηρείστε την εξάρτηση του χάσματος μεταξύ του ακουστικού και του οπτικού κλάδου. Αυξάνεται όσο αυξάνει ο λόγος Μ / m. Παρατηρείστε τον μηδενισμό του χάσματος για M = m Παρατηρείστε ότι το εύρος συχνοτήτων του ακουστικού και του οπτικού κλάδου μειώνονται με το λόγο Μ/m. Θυμηθείτε ότι τα εν λόγω εύρη δίδονται από τις εκφράσεις: Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Πλάτη Ειδικά σημεία: q  0 Τα άτομα κινούνται εν φάσει α λ >> α Με τη βοήθεια της σχέσεως διασποράς προκύπτει ότι Ειδικά σημεία: q  0 α Τα άτομα κινούνται εν φάσει λ >> α Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Πλάτη Ειδικά σημεία: q  0, λ   α λ >> α Τα άτομα κινούνται εκτός φάσεως αντιστρόφως ανάλογα προς το λόγο των μαζών των.. Ειδικά σημεία: q  / ( λ=2α) α λ = 2 α  Κινούνται μόνο τα βαρέα άτομα!! (Γειτονικά βαρέα κινούνται αντίθετα) α λ = 2 α Κινούνται μόνο τα ελαφρά άτομα!! (Γειτονικά ελαφρά κινούνται αντίθετα) Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Πλάτη ταλάντωσης διατομικής αλυσίδας n-1 n n+1 M m α2 f1 f2 α1 α1-α2 Παρατηρείστε ότι θεωρούνται δύο διαφορετικές σταθερές δύναμης. Εξάρτηση του λόγου των πλατών του, "ελαφρύ" προς "βαρύ", για διάφορες τιμές των παραμέτρων. Η πλέον γενική εμφανίζεται στο άνω αριστερό σχήμα και η πλέον συμμετρική στο κάτω δεξιό. Παρατηρείστε ότι, γενικά, ο οπτικός κλάδος παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβολή, απ΄ ότι ο ακουστικός Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

3 Διαστάσεις (Πραγματικά Υλικά) 3 Διαστάσεις (Πραγματικά Υλικά) LO:? TO:? LA:? TA:? Si Θεωρία Πείραμα  L 1 THz = 4.1310-15 eV = 33.3 cm-1. Η εμφάνιση του οπτικού κλάδου οφείλεται την παρουσία τουλάχιστον δύο ατόμων στη στοιχειώδη Αν διπλασιάσουμε την σταθερά κυψελίδας α2α τότε η 1 ζώνη Brillouin υποδιπλασιάζεται. Ότι βρίσκεται εκτός ζώνης πρέπει να αναχθεί εντός ζώνης. Έτσι προκύπτει ο οπτικός κλάδος 3N=3 ac+3N-3op GaAs, Si κλπ : 23 = 3+3 (2TA+LA+2TO+LO) Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Προσομοίωση Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Εφαρμογές (Infrared absorption in ionic crystals) 50 60 70 l(mm) Διαπερατότητα 100% Cl Na mNa= 23 amu = 23 1.6610-27 kg mCl= 35.5 amu = 35.5 1.6610-27 kg λ = 61μm ω (cm-1) λ (μm) f (N/m) GaAs 300 33,3 95,7 Si 520 19,2 112 C-H 3000 3,33 245 f= ? Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Σκέδαση από χρονικά μεταβαλλόμενες δομές Πλάτος στο Β 𝜌(𝐫(𝑡) : Μιγαδική πυκνότητα σκέδασης (Φάση , πλάτος σε σχέση με το προσπίπτον) Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Σκέδαση από χρονικά μεταβαλλόμενες δομές  Αinel  0  =0  (q) ℏ -ℏ0 ∓ ℏ(q) =0 Διατήρηση Ενέργειας Κινηματικές Εξισώσεις Μη ελαστικής Σκέδασης k – k0 ∓ q = G ℏk – ℏk0 ∓ ℏq - ℏG =0 Διατήρηση Ψευδο-Ορμής (Μέτρο G) Σκέδαση Raman Συμμετοχή από οπτικό κλάδο Σκέδαση Brillouin Συμμετοχή από ακουστικό κλάδο Οπτική περιοχή: Συμμετέχουν ταλαντώσεις για q ≃ 0 Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος

Σκέδαση από χρονικά μεταβαλλόμενες δομές Περιοχή ακτίνων X: Ενέργειες: 104 eV (λ =1,24 Å), λ[nm]=hc/E[eV]=1240 [eVnm]/E[eV] ΔΕ: 1eV (Δλ =-1,2410-4 Å) Δλ[nm] = - 1,24  10-5[nm eV] ΔΕ/Ε2 Ενέργειες φωνονίων: 1 - 100 meV ( λ = 1,24 10 7 – 1,24 10 5 Å) ΔΕ: 1 meV (Δλ =-1,2410 3 Å) Αν χρησιμοποιούμε ακτίνες Χ Για να επιτευχθεί αυτό Εξαιρετικά δύσκολο να βρεθούν κρύσταλλοι αυτής της τελειότητας 𝛥𝑑 𝑑 Εξαιρετικά δύσκολο να επιτευχθεί τόσο μικρό γωνιακό άνοιγμα Δθ. Σύγχροτρον Λύση: Σκέδαση θερμικών νετρονίων. Ε ( 100 meV – 1 eV ( λ = 1,24 10 5 – 1,24 10 4 Å) ΔΕ: 1 meV (ΔΕ/Ε = Δλ/λ = 10-2- 10-3) Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος