Μαθηματικοί Υπολογισμοί Χειμερινό Εξάμηνο η Διάλεξη Δημιουργία Συναρτήσεων με Ημιτονοειδή Δεκέμβρη 2002

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 2 Περιεχόμενα  Συχνότητα, Πλάτος και Φάση  Συναρτήσεις από Τυχαία Ημιτονοειδή Κύματα  Αθροίσματα πολλών Ημιτονοειδών Κυμάτων  Συναρτήσεις με Διαφορετικά Φάσματα  Λευκά Παράσιτα  Ημιτονοειδή Κύματα σε 2 Διαστάσεις  Κατασκευή Τυχαίων 2δ Συναρτήσεων  Κατασκευάζοντας Όρη Πολυθρόνες  Που καταλήγουμε;

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 3 Εισαγωγή Η προσέγγιση συναρτήσεων με πολυώνυμα αποτελεί την βάση για σειρές Taylor, επαναλήψεις Newton­Raphson, κανόνα του Simpson, κλπ. Όπως θα δούμε, είναι χρήσιμο να προσεγγίσουμε συναρτήσεις και με αθροίσματα ημιτονοειδών κυμάτων, μεταβλητής συχνότητας και πλάτους. Οι σειρές Fourier, ή παραστάσεις πεδίου συχνότητας, αυτές χρησιμοποιούνται για:  Ανάλυση σημάτων ομιλίας – πχ όταν προσπαθούμε να αναγνωρίσουμε ομιλία με χρήση υπολογιστή.  Επεξεργασία ηχητικών ή οπτικών σημάτων για να εξαλείψουμε τα παράσιτα.  Ανίχνευση περίπλοκες περιοδικότητες σε δεδομένα, όπως αρχεία κλιματολογίας.  Δημιουργία τυχαίας-κατασκευής οπτικών αισθήσεων – πχ βουνά που δείχνουν ρεαλιστικά για το φόντο κινούμενων σχεδίων στον υπολογιστή.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 4 Συχνότητα, Πλάτος και Φάση Ένα κύμα ημίτονου μπορεί να γραφθεί ως εξής: y(x) = A sin(2πx + φ) Όπου, A είναι το πλάτος του κύματος ημιτόνου, f είναι η συχνότητά του (σε Hertz (κύκλοι /δευτερόλεπτο) εάν x παριστά χρόνο), και φ είναι η φάση του κύματος ημιτόνου. > plot(sin(2*Pi*x),x=­2..2); > plot(1.5*sin(2*Pi*0.6*x+1),x=­2..2);

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 5 Συναρτήσεις από Τυχαία Ημιτονοειδή Κύματα Ορίστε ένα πρόγραμμα Maple το οποίο δημιουργεί μια 1δ συνάρτηση αθροίζοντας πολλά κύματα ημιτόνου με τυχαίες φάσεις: waves1 := proc (x, ampl, maxf, n) local i, f, result, phase, scale; scale := 1/sqrt(n); result := 0; for i from 1 to n do f := maxf*i/n; phase := stats[random,uniform[0,2*Pi]](); result := result + evalf(scale*ampl(f)*sin(2*Pi*f*x+phase)); od; result; end: Τα n κύματα ημιτόνου έχουν ισαπέχουσες συχνότητες από σχεδόν μηδέν μέχρι το maxf. Το πλάτος των κυμάτων ημιτόνου μπορεί να μεταβάλλονται με την συχνότητα, σύμφωνα με την συνάρτηση ampl. Οι φάσεις των κυμάτων ημιτόνου επιλέγονται τυχαία, ακολουθώντας μια ομοιόμορφη κατανομή, από όλες τις πιθανές φάσεις.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 6 Αθροίσματα πολλών Ημιτονοειδών Κυμάτων Εάν αθροίσουν ένα μεγάλο αριθμό κυμάτων ημιτόνου, δεν είναι πια προφανές ότι η τελική συνάρτηση που δημιουργείται κατασκευάσθηκε από κύματα ημιτόνου: > w := waves1(x,f­>1/(1+f^2),5,3); w := sin ( x ) sin( x ) sin( x ) > plot(w,x=­1..1); > w := waves1(x,f­>1/(1+f^2),5,300): > plot(w,x=­1..1);

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 7 Συναρτήσεις με Διαφορετικά Φάσματα Το πως μοιάζει η τυχαία συνάρτηση εξαρτάται από το τρόπο με τον οποίο το πλάτος μεταβάλλεται ως προς την συχνότητα – αυτό ονομάζεται φάσμα. > plot(waves1(x,f­>1/(1+f^2),10,1000), x=­1..1); > plot(waves1(x,f­>1/(1+f^2)^0.5,10,1000), x=­1..1);

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 8 Λευκά Παράσιτα Όταν το πλάτος είναι ανεξάρτητο της συχνότητας (επίπεδο φάσμα), καταλήγουμε σε αυτό που ονομάζουμε λευκό παράσιτο: > plot(waves1(x,f­>1,10,1000), x=­1..1); Για πραγματικά λευκά παράσιτα, δεν υπάρχει άνω φράγμα για την συχνότητα, αλλά στην περίπτωση αυτή δεν μπορούμε να τα σχεδιάσουμε. Τα λευκά παράσιτα είναι «λευκά» επειδή περιέχουν ίσες ποσότητες κάθε συχνότητας, όπως ακριβώς το λευκό φως περιέχει ίσα ποσά όλων των χρωμάτων.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 9 Ημιτονοειδή Κύματα σε 2 Διαστάσεις Μπορούμε να ορίσουμε κύματα ημιτόνου και σε 2 διαστάσεις, με μια εξίσωση της μορφής: z(x,y) = A sin(2πf[cos(θ)x + sin(θ)y] + φ) Εδώ, το θ παριστά την κατεύθυνση στην οποία κινείται τα κύματα ημιτόνου. Η συνάρτηση είναι σταθερή στην κάθετη κατεύθυνση. > plot3d(sin(2*Pi*(cos(1)*x+sin(1)*y)), x=­ ,y=­ ,grid=[50,50]);

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 10 Κατασκευή Τυχαίων 2δ Συναρτήσεων Ορίστε ένα πρόγραμμα Maple το οποίο σχηματίζει μια 2δ συνάρτηση αθροίζοντας πολλά κύματα ημιτόνου με τυχαίες φάσεις, και τυχαίες κατευθύνσεις κυμάτων: waves2 := proc (x, y, ampl, maxf, n) local i, f, k, result, phase, angle, scale; scale := 1/sqrt(n); result := 0; for i from 1 to n do f := maxf*i/n; phase := stats[random,uniform[0,2*Pi]](); angle := stats[random,uniform[0,2*Pi]](); k := cos(angle)*x + sin(angle)*y; result := result + evalf(scale*ampl(f)*sin(2*Pi*f*k+phase)); od; result; end: Μια χρήση της συνάρτησης αυτής είναι η κατασκευή τεχνητών βουνών, για γραφικά στον υπολογιστή.

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 11 Κατασκευάζοντας Όρη Πολυθρόνες > plot3d(waves2(x,y,f­>exp(­f^2),10,500), x=­ ,y=­ ,grid=[50,50]); > plot3d(waves2(x,y,f­>1/(1+f^2),10,500), x=­ ,y=­ ,grid=[50,50]);

Μαθηματικοί Υπολογισμοί 12 Που καταλήγουμε; Μπορούμε, αθροίζοντας κύματα ημιτόνου, να παράγουμε μια ποικιλία από ενδιαφέρουσες συναρτήσεις. Μπορούμε όμως να παράγουμε οποιαδήποτε συνάρτηση με αυτόν το τρόπο; Όχι ακριβώς, αλλά μπορούμε να παραστήσουμε με αυτό τον τρόπο μια ευρεία γκάμα συναρτήσεων. Το γεγονός αυτό έχει σημαντικές επιπτώσεις:  Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αθροίσματα κυμάτων ημιτόνου σαν προσεγγίσεις συναρτήσεων, ακριβώς όπως κάναμε χρησιμοποιώντας πολυώνυμα.  Μπορούμε να gain insight into a function εξετάζοντας την παράστασή της σε σχέση με κύματα ημιτόνου.  Μπορούμε να καθορίσουμε το αποτέλεσμα της εφαρμογής μιας γραμμικής πράξης σε μία συνάρτηση εξετάζοντας πώς η πράξη αυτή επηρεάζει καθένα από τα συνιστώντα κύματα ημιτόνου. Η τελευταία αυτή παρατήρηση είναι σημαντική όταν προσπαθούμε να αναλύσουμε την επίδραση φίλτρων σε συναρτήσεις – όπως ηχητικά φίλτρα που χρησιμοποιούνται σε στερεοφωνικά συστήματα.