Tάσος Μπούντης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών Μη Γραμμικά Φαινόμενα στον Ηλεκτρομαγνητισμό (ηλεκτρικές ταλαντώσεις) ΚΟΚΚΙΝΗ ΟΜΑΔΑ Tάσος Μπούντης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών Θερινό Σχολείο Φυσικής: 28 Ιουνίου – 1η Ιουλίου, 2010, Εστία Επιστημών Πάτρας

1. Γραμμικά Κυκλώματα Γραμμικές Ταλαντώσεις σε ένα RLC κύκλωμα σε σειρά: Η ως άνω πειραματική διάταξη παριστάνεται σχηματικά από το διάγραμμα: Αντιστάτης Πυκνωτής Πηνίο Οι νόμοι σχέσεων δυναμικού, ρεύματος και φορτίου για τα «δομικά στοιχεία» αυτά είναι:

Με δεδομένο ότι ο νόμος του Kirchoff για τα δυναμικά είναι: όπου V(t) το δυναμικό της πηγής, παίρνουμε την εξίσωση: Παραγωγίζοντας την (1) ως προς τον χρόνο και διαιρώντας με την παράμετρο L έχουμε: Aν το δυναμικό της πηγής είναι σταθερό, έχουμε την εξίσωση:

Αν ορίσουμε τις παραμέτρους: Μπορούμε να γράψουμε την (3) στη μορφή: Ερώτημα 1ον: (α) Τι μας θυμίζει η εξίσωση (4); Μήπως αν θέταμε α=0 θα την αναγνωρίζαμε ως την εξίσωση γραμμικού ταλαντωτή με συχνότητα ω0; Ποια θα ήταν η λύση της; Ασφαλώς, μια περιοδική ταλάντωση: Για α > 0 όμως η λύση της (4) είναι πιο δύσκολη. Για να την βρούμε θα δοκιμάσουμε μια εκθετική έκφραση της μορφής: Και θα πάρουμε, αντικαθιστώντας στην (4):

Επειδή δεν θέλουμε Α=0 και est ≠ 0, πρέπει να ισχύει: Η δευτεροβάθμια αυτή εξίσωση έχει δύο ρίζες: , Επομένως η γενική λύση της εξίσωσης (4) γράφεται: (β) Τι συμπεραίνετε από την μορφή της (7); Βλέπετε ότι καθώς το t→∞ , I(t) → 0 ; Εισάγουμε τώρα την παράμετρο «απωλειών»: και γράφουμε την (7):

Διακρίνουμε έτσι δύο περιπτώσεις: Ασθενών «απωλειών»: ζ < 1 Ισχυρών «απωλειών»: ζ > 1 Περίπτωση 1η: Η λύση γράφεται: με που οδηγεί σε απόσβεση, δηλ. I(t)→ 0 , με ταλαντώσεις συχνότητας ωd ! Περίπτωση 2η: και οδηγεί σε απόσβεση, δηλ. I(t)→ 0 , χωρίς ταλαντώσεις!

Εδώ θέτουμε L=C=1 I(t) → t (γ) Πως θα απεικονίζαμε τις παραπάνω συμπεριφορές στο φασικό επίπεδο Ι, υ=dI/dt ; (δ) Τι θα γινόταν αν αντί για σταθερά παροχή πηγής θέταμε στην στην (1):

2. Το μη γραμμικό κύκλωμα Chua Τι βλέπουμε στο κύκλωμα του σχήματος; α) 4 γραμμικά στοιχεία: 2 πυκνωτές, έναν αντιστάτη και ένα πηνίο β) Ένα μη γραμμικό στοιχείο, τη «δίοδη λυχνία» του Chua που αναπαριστάται από το άνω δεξιά κύκλωμα και περιγράφεται από την κατά περιοχές γραμμική συνάρτηση (βλ. σχημα):

Ερώτημα 2ο : (a) Πως οδηγούν οι νόμοι του Kirchoff στις εξισώσεις: όπου υi το δυναμικό στον πυκνωτή Ci i=1,2, iL το ρεύμα στο πηνίο L . (b) Αλλάζοντας μεταβλητές από , και , σε x, y,z, παίρνουμε τις ακόλουθες αδιάστατες εξισώσεις Chua με 2 αδιάστατες παραμέτρους α και β :

Θέτοντας για τις παραμέτρους α = 15 Θέτοντας για τις παραμέτρους α = 15.6, m0 = -8/7 , m1 = -5/7, και μεταβάλλοντας την παράμετρο β από β = 25 to β = 51, παρατηρούμε στο 3-διάστατο χώρο φάσεων του συστήματος, x, y, z μια οδό στο χάος μέσω ακολουθίας διπλασιασμού περιόδων:

…η οποία οδηγεί στο υπέροχα πολύπλοκο σχήμα ενός παράξενου ελκυστή με τη μορφή «διπλού παπύρου»: …η γεωμετρική ανάλυση του οποίου δίνεται από το σχήμα δεξιά! Ερώτηση 1η : Γιατί η ύπαρξη 3 διαστάσεων είναι η ελάχιστη που επιτρέπει την εμφάνιση αυτών των σχημάτων;

3. Το μη γραμμικό κύκλωμα van der Pol: H συνάρτηση που συνδέεται με το μη γραμμικό στοιχείο: θα μπορούσε να αντικατασταθεί και με άλλη παρόμοια μορφή: Πράγματι, θέτοντας i = φ(υ) = γυ3 – αυ , όπως το κάτωθι:

Το μη γραμμικό κύκλωμα που επινόησε ο van der Pol στα 1920 κατασκευάζεται σήμερα εύκολα ως “tunnel diode” που έχει την σχέση δυναμικού – ρεύματος: Ερώτημα 3ο : (α) Δείξτε ότι οι κλασικές εξισώσεις του Ηλεκτρισμού για το ως άνω κύκλωμα γράφονται ως εξής: (β) Συνδυάζοντας τις εξισώσεις αυτές δείξτε ότι γράφονται ως μία συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης που λέγεται εξίσωση van der Pol:

γ) Κάνοντας τους μετασχηματισμούς: δείξτε ότι η εξίσωση του van der Pol παίρνει τη μορφή: Η εξίσωση αυτή δεν εμφανίζει χάος (γιατί;) παρουσιάζει όμως το πολύ ενδιαφέρον φαινόμενο ενός άλλου είδους απλών ελκυστών που λέγονται οριακοί κύκλοι: Οδηγεί για κάθε ε>0 όλες τις τροχιές στο επίπεδο x, y=dx/dt’, σε ταλαντώσεις με συχνότητα που εξαρτάται μόνο από το ε>0.

4. Άλλα μη γραμμικά φαινόμενα στον Ηλεκτρομαγνητισμό: Α) Φορτισμένο σωματίδιο υπό την επίδραση σταθερού μαγνητικού πεδίου και ηλεκτροστατικού κύματος Η κίνηση ενός πρωτονίου σε μαγνητικό πεδίο Β0 και υπό την επίδραση κύματος που διαδίδεται κάθετα στο μαγνητικό πεδίο περιγράφεται από μια Χαμιλτώνια συνάρτηση της μορφής:

Αφού οι ορμές Px , Py είναι ολοκληρώματα της κίνησης, μπορούμε αρχικά να υποθέσουμε ότι είναι Px = Py = 0 χωρίς βλάβη γενικότητας. Έτσι, μετά από μερικούς απλούς μετασχηματισμούς κλίμακας η Χαμιλτώνια συνάρτηση γράφεται: όπου ε μια παράμετρος ανάλογη του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου του κύματος. Γράφοντας τώρα: και κατασκευάζοντας μια επιφάνεια τομής ρ(tk), θ2(tk) για χρόνους tk όπου θ1(tk)= π, παίρνουμε τα ακόλουθα σχήματα που δείχνουν την χαοτική συμπεριφορά του συστήματος και πως αυτή αλλάζει με την παράμετρο ε > 0.

Β) Φορτισμένο σωματίδιο υπό την επίδραση δύο ηλεκτροστατικών κυμάτων Στο πρόβλημα αυτό η Χαμιλτώνια συνάρτηση γράφεται P(tk ) q(tk ) Επιφάνεια τομών για την Χαμιλτώνια (*) με t=2πk , a=4 , b=6, ε=0.1.